③当x≥5时,原不等式可化为x-1-(x-5)<2,该不等式不成立.
综上,原不等式的解集为(-∞,4).
9.解决线性规划问题有三步
(1)画:
画出可行域(有图象).
(2)变:
将目标函数变形,从中抽象出截距或斜率或距离.
(3)代:
将合适的点代到原来目标函数中求最值.
利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题:
(1)截距型:
如求z=y-x的取值范围.
(2)条件含参数型:
①已知x,y满足约束条件且z=y-x的最小值是-4,则实数k=-2,
②已知x,y满足约束条件且存在无数组(x,y)使得z=y+ax取得最小值,则实数a=.
(3)斜率型:
如求的取值范围.
(4)距离型(圆半径平方型R2):
如求(x-a)2+(x-b)2的取值范围.
[问题9] 已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a等于( )
A.3B.2
C.-2D.-3
答案 B
解析 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,若z=ax+y的最大值为4,则最优解为x=1,y=1或x=2,y=0,经检验知x=2,y=0符合题意,所以2a+0=4,此时a=2.
易错点1 忽视等比数列中q的范围
例1 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则数列{an}的公比q=________.
易错分析 没有考虑等比数列求和公式Sn=中q≠1的条件,本题中q=1恰好符合题目条件.
解析 ①当q=1时,S3+S6=9a1,S9=9a1,
∴S3+S6=S9成立.
②当q≠1时,由S3+S6=S9,
得+=.
∴q9-q6-q3+1=0,即(q3-1)(q6-1)=0.
∵q≠1,∴q3-1≠0,∴q6=1,∴q=-1.
答案 1或-1
易错点2 忽视分类讨论
例2 若等差数列{an}的首项a1=21,公差d=-4,求:
Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
易错分析 要去掉|an|的绝对值符号,要考虑an的符号,对n不讨论或讨论不当容易导致错误.
解 an=21-4(n-1)=25-4n.
当n≤6时,Sk=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+an=-2n2+23n;
当n≥7时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=(a1+a2+a3+…+a6)-(a7+a8+…+an)
=2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+a8+…+an)=2n2-23n+132.
所以Sn=
易错点3 已知Sn求an时忽略n=1
例3 数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),求数列{an}的通项an.
易错分析 an=Sn-Sn-1成立的条件是n≥2,若忽略对n=1时的验证则出错.
解 因为an+1=2Sn,所以Sn+1=3Sn,所以=3.
因为S1=a1=1,
所以数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列,Sn=3n-1(n∈N*).
所以当n≥2时,an=2Sn-1=2×3n-2(n≥2),
所以an=
易错点4 数列最值问题忽略n的限制
例4 已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)()n(n∈N*),则数列{an}的最大项是( )
A.第6项或第7项B.第7项或第8项
C.第8项或第9项D.第7项
易错分析 求解数列{an}的前n项和Sn的最值,无论是利用Sn还是利用an来求,都要注意n的取值的限制,因为数列中可能出现零项,所以在利用不等式(组)求解时,不能漏掉不等式(组)中的等号,避免造成无解或漏解的失误.
解析 因为an+1-an=(n+3)()n+1-(n+2)()n=()n·,当n<7时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=7时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>7时,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<…<a7=a8>a9>a10…,
所以此数列的最大项是第7项或第8项,故选B.
答案 B
易错点5 裂项法求和搞错剩余项
例5 在数列{an}中,an=++…+,又bn=,则数列{bn}的前n项和为( )
A.B.
C.D.
易错分析 裂项相消后搞错剩余项,导致求和错误.一般情况下剩余的项是对称的,即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的.
解析 由已知得an=++…+
=(1+2+…+n)=,
从而bn===4(-),
所以数列{bn}的前n项和为
Sn=4[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=4(1-)=.故选D.
答案 D
易错点6 线性规划问题最优解判断错误
例6 P(x,y)满足|x|+|y|≤1,求ax+y的最大值及最小值.
易错分析 由ax+y=t,得y=-ax+t,欲求t的最值,要看参数a的符号.忽视参数的符号变化,易导致最值错误.
解 ①当a<-1时,直线y=-ax+t分别过点(-1,0)与(1,0)时,ax+y取得最大值与最小值,其值分别为-a,a.
②当-1≤a≤1时,直线y=-ax+t分别为(0,1)与(0,-1)时,ax+y取得最大值与最小值,其值分别为1,-1.
③当a>1时,直线y=-ax+t分别过点(1,0)与(-1,0)时,ax+y取得最大值与最小值,其值分别为a,-a.
易错点7 运用基本不等式忽视条件
例7 函数y=的最小值为________.
易错分析 应用基本不等式求函数最值,当等号成立的条件不成立时,往往考虑函数的性质,结合函数的单调性,同时注意函数的定义域.
解 y===+.
设t=,则t≥2,所以函数变为f(t)=t+(t≥2).这时,f(t)在[2,+∞)