浙江省杭州外国语学校届高三上学期期中考试数学文试题及答案.docx
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浙江省杭州外国语学校届高三上学期期中考试数学文试题及答案
浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试
数学文科试卷
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟
2．整场考试不准使用计算器
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则（）
A．B．或C．D．
2.已知向量,,,则“”是“”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3.右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，
样本重量均在内，其分组为，，
，则样本重量落在内的频数为（）
A．B．C．D．
4.执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．B．C．D．
5.函数图象的一条对称轴方程可以为（）
A．B．C．D．
6.函数在区间内的零点个数是（）
A．B．C．D．
7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出的是（）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
8．实数满足,若的最大值为13,则实数的值为（）
A.2B.C.D.5
9.已知双曲线，点A（﹣1，0），在双曲线上任取两点P，Q满足AP⊥AQ，则直线PQ恒过定点（ ）
A．
（3，0）
B．
（1，0）
C．
（﹣3，0）
D．
（4，0）
10.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意，；
（2）对任意，.
则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：
本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．已知
12.复数（其中为虚数单位）的虚部为
13.从3男2女这5位舞蹈选手中，随机（等可能）抽出2人参加舞蹈比赛，恰有一名女选手的概率是
14.设F1，F2是椭圆C：
（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|:
|AF2|=3:
4，则椭圆的离心率为 ．
15.如图所示是一个四棱锥的三视图，
则该几何体的体积为
16.已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为
17．非零向量，夹角为，且，则的取值范围为
三、解答题：
本大题共5题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分14分）
在中,分别是角的对边，且.
（Ⅰ）求的大小;
（Ⅱ）若，,求的面积.
19．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．
（Ⅰ）证明：
EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．
20．（本题满分14分）
已知是等差数列，公差为，首项，前项和为.令,的前项和.数列满足，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范围.
21．（本小题满分15分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点的切线方程；
（Ⅱ）对一切,恒成立,求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，试讨论在内的极值点的个数.
22．（本小题满分15分）
已知圆过定点，圆心在抛物线上，、为圆与轴的交点．
（Ⅰ）当圆心是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．
（Ⅱ）当圆心在抛物线上运动时，是否为一定值？
请证明你的结论．
（Ⅲ）当圆心在抛物线上运动时，记，，求的最大值，并求出此时圆的方程．
浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试
数学文科试卷答卷
浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学文科试卷
班级：
姓名：
考号：
考场：
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题：
11.12.13.
14.15.16.
17.
三、解答题：
18．（本小题满分14分）
在中,分别是角的对边，且.
（Ⅰ）求的大小;
（Ⅱ）若，,求的面积.
19.（本小题满分14分）
如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．
（Ⅰ）证明：
EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．
20．（本小题满分14分）
已知是等差数列，公差为，首项，前项和为.令,的前项和.数列满足，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范围.
21．（本小题满分15分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点的切线方程；
（Ⅱ）对一切,恒成立,求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，试讨论在内的极值点的个数.
22.（本小题满分15分）
已知圆过定点，圆心在抛物线上，、为圆与轴的交点．
（Ⅰ）当圆心是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．
（Ⅱ）当圆心在抛物线上运动时，是否为一定值？
请证明你的结论．
（Ⅲ）当圆心在抛物线上运动时，记，，求的最大值，并求出此时圆的方程．
浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试
数学文科试卷答案
一．选择题：
每小题5分，共50分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
C
D
B
C
C
A
B
二．填空题：
本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．12.13.14.
15.16.17.
三．解答题：
18．解：
（Ⅰ）由得：
，………………………………………………………………………4分
，又
………………………………………………………………………………………7分
（Ⅱ）由余弦定理得：
，…………………………………………………………………10分
又，
，……………………………………………………………12分
.……………………………………………14分
19．解：
证明：
（I）∵E，F分别是PC，PD的中点
∴EF∥CD又∵AB∥CD，∴AB∥EF，又∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB；
∴EF∥平面PAB；
解：
（Ⅱ）取线段PA中点M，连接EM，则EM∥AC
故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF所成角的大小
作MH⊥AF，垂足为H，连接EH
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A
∴AB⊥平面PAD
∴EF⊥平面PAD∵MH⊂平面PAD
∴EF⊥MH
∴MH⊥平面ABEF
∴∠MEH是ME与平面ABEF所成角
在Rt△EHM中，EM=AC=，MH=
∴sin∠MEH==
∴AC与平面ABEF所成角的正弦为
20.解：
（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为
所以
则……………………………………………………………3分
则解得
所以………………………………………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由…………………………11分
因为随着的增大而增大，所以时，最小值为
所以…………………………………………………………………………………14分
21．解：
（Ⅰ）由题意知,所以
又，
所以曲线在点的切线方程为………………………5分
（Ⅱ）由题意:
即
设,则
当时,；当时,
所以当时，取得最大值
故实数的取值范围为.……………………………………………………10分
（Ⅲ），，
①当时,∵∴存在使得
因为开口向上，所以在内,在内即在内是增函数,在内是减函数
故时，在内有且只有一个极值点,且是极大值点.………………12分
②当时,因
又因为开口向上
所以在内则在内为减函数，故没有极值点…………14分
综上可知：
当，在内的极值点的个数为1；当时,在
内的极值点的个数为0.…………………………………………………………15分
22．解：
（1）抛物线的顶点为，准线方程为，圆的半径等于1，圆的方程为．弦长………………………4分
（2）设圆心，则圆的半径，
圆的方程是为：
…………6分
令，得，得，，
是定值．………………8分
（3）由
（2）知，不妨设，，，．
．………………11分
当时，．………………12分
当时，．
当且仅当时，等号成立…………………………14分
所以当时，取得最大值，此时圆的方程为．………………………………15分
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