内蒙古中考数学重点题型专项训练二次函数综合题.docx
《内蒙古中考数学重点题型专项训练二次函数综合题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《内蒙古中考数学重点题型专项训练二次函数综合题.docx（41页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
内蒙古中考数学重点题型专项训练二次函数综合题
二次函数综合题
类型一与角度有关的问题
★1.抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A，B（A在B
的左侧），与y轴交于点C.
（1）求直线BC的解析式；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB＝∠ABC，利用图
①求点P的坐标；
（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图②比较∠OCQ与
∠OCA的大小，并说明理由．
第1题图
解：
（1）当y＝0时，得0＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－1，x2＝3，
∴B点的坐标为（3，0），
当x＝0，得y＝3，即C点坐标为（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx＋3（k≠0），
将点B（3，0）代入得0＝3k＋3，解得k＝－1，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3；
（2）由
（1）可知OB＝OC＝3，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
抛物线对称轴为x＝1，
设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，
当点P在x轴上方时，如解图①，
第1题解图①
∵∠APB＝∠ABC＝45°，且PA＝PB，
∴∠PBA＝180°－45°＝67.5°，
2
∠DPB＝12∠APB＝22.5°，
∴∠PBD＝67.5°－45°＝22.5°，
∴∠DPB＝∠DBP，
∴DP＝DB，
在Rt△BDE中，BE＝DE＝2，由勾股定理可得，BD＝22，
∴PE＝2＋22，
∴P（1，2＋22）；
当点P在x轴下方时，由对称性可知P点坐标为（1，－2－
22），
综上可知，抛物线的对称轴上存在点P,使∠APB=∠ABC，P
点坐标为（1，2＋22）或（1，－2－22）；
（3）如解图②，作点A关于y轴对称的点F，
点F的坐标为（1，0），
则∠OCA＝∠OCF，
设直线CF的解析式为y＝kx＋b，
把点C（0，3），F（1，0）代入求得k＝－3，b＝3，
则直线CF的解析式为y＝－3x＋3，
y＝－3x＋3
联立y＝－x2＋2x＋3，
x1＝0
解得y1＝3，
x2＝5
y2＝－12，
直线CF与抛物线的交点坐标为
（0，3）、（5，－12），第1题解图②设点Q的坐标为
（a，－a2＋2a＋3），
当0＜a＜5时，∠OCF＜∠OCQ，则∠OCA＜∠OCQ；
当a＝5时，∠OCF＝∠OCQ，则∠OCA＝∠OCQ；
当a＞5时，∠OCF＞∠OCQ，则∠OCA＞∠OCQ.
类型二线段及周长问题
★1.如图，抛物线y＝－14x2＋bx＋c的图象过点A（4，0），
B（－4，－4），且抛物线与y轴交于点C，连接AB，BC，AC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的点，求△PBC周长的最小值及此
时点P的坐标；
（3）若E是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过E作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于F、D两点.请问是否存
在这样的点E，使DE＝2DF？
若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
第1题图
解：
（1）∵抛物线y＝－14x2＋bx＋c的图象经过点A（4，0），B（－4，－4），
－
1
164bc0
1
4
b
，
2
∴
1
，解得
－
164bc4
c2
4
∴抛物线的解析式为y＝－14x2＋12x＋2；
（2）由抛物线y＝－14x2＋12x＋2可得其对称轴为直线x＝
1
2
－1＝1，点C的坐标为（0，2），
2（－4）
如解图，作点C关于对称轴x＝1的点C′，则C′的坐标为（2，2），连接
BC’；
即BC′＝（24）2（24）2＝62，
BC′与对称轴的交点即为所求点P，连第1题解图
接CP，
此时△PBC的周长最小．
设直线BC′的解析式为y＝kx＋m，
∵点B（－4，－4），C′（2，2），
∴2km2
，解得k1
，
4km4
m0
∴直线BC′的解析式为y＝x，
将x＝1代入y＝x，得y＝1，
∴点P坐标为（1，1）．
∴BC＝42（24）2213.
∵△PBC的周长为CP＋BC＋PB＝BC＋BC′，
∴△PBC周长的最小值为213＋62；
（3）由点A（4，0），B（－4，－4）可得直线AB的解析式为y＝12x－2，设点E（x，12x－2），其中－4F（x，－14x2＋12x＋2），DE＝|12x－2|＝2－12x，DF＝|－14x2＋12x＋2|，
当2－12x＝－12x2＋x＋4，即点F位于x轴上方，解得x1＝－1，x2＝4（舍去），
将x＝－1代入y＝
1
x－2，得到y＝－
5
，∴E（－1，－
5
），
2
2
2
当2－12x＝12x2－x－4，即点F位于x轴下方，
解得x1＝－3，x2＝4（舍去），将x＝－3代入y＝12x－2，得到y＝－72，∴E（－3，－72）．
综上所述：
点E的坐标为：
（－1，－52），（－3，－72）．
★2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，过点A的抛物线y＝ax2＋bx与直线y＝－x＋4交于另一点B，且点B的横坐标为1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上一个动点（点P不与点A、B重合），过点
P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作
MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，
设PF的长为t，
①求MN与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值
范围）；
②当MN取最大值时，连接ON，直接写出sin∠BON的值．
第2题图
解：
（1）∵y＝－x＋4与x轴交于点A，
∴A（4，0），
∵点B的横坐标为1，且直线y＝－x＋4经过点B，∴B（1，3），
∵抛物线y＝ax2＋bx经过A（4，0），B（1，3），
16a4b0
，
∴
3
ab
a1
解得.
b4
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x；
（2）①如解图①，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，
第2
∵B（1，3），A（4，0），
∴OD＝1，BD＝3，OA＝4，
∴AD＝3，
∴AD＝BD，
∵∠BDA＝90°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°，
∵MC⊥x轴，
∴∠ANC＝∠BAD＝45°，
∴∠PNF＝∠ANC＝45°，
∵PF⊥MC，
∴∠FPN＝∠PNF＝45°，
∴NF＝PF＝t，
∵∠PFM＝∠ECM＝90°，
第2题解图①
∴PF∥EC，
∴∠MPF＝∠MEC，
∵ME∥OB，
∴∠MEC＝∠BOD，
∴∠MPF＝∠BOD，
∴tan∠BOD＝tan∠MPF，
∴ODBD＝MFPF＝3，
∴MF＝3PF＝3t，
∵MN＝MF＋FN，
∴MN＝3t＋t＝4t；
②如解图②，作BG⊥ON于G点，
第2题解图②
当过点M的直线与直线AB平行且与抛物线只有一个交点时，MN取最大，
∴设与AB平行的直线y＝－x＋b，
当－x2＋4x＝－x＋b；即x2－5x＋b＝0，
25
＝25－4b＝0，解b＝4.
25
∴直线y＝－x＋4，
∴抛物线y＝－x2＋4x与y＝－x＋254的交点M（52，154），
∴N点的横坐标为52，N点的纵坐标为－52＋4＝32，即N（52，
32），
∴ON的解析式为y＝53x，
∵BG⊥ON，
5
设BG的解析式为y＝－3x＋b，
将B（1，3）代入y＝－
5
x＋b，解得b＝
14
，
3
3
514
∴BG的解析式为y＝－3x＋3，
y
3
x
x
35
5
17
联立
5
14，解得
21，
y
x
y
3
3
17
3521
即G（17，17）．
∴由勾股定理，得OB＝1232＝10，
BG＝（17351）2（17213）2＝61734，
634
∴sin∠BON＝BG＝17＝685.
OB1085
★3如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A（3，0），B（1，0），
交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|最大？
若
存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
解：
（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A（3，0），B（1，0），
93bc0
b－4
，
∴
，解得
1bc0
c3
∴抛物线解析式为y＝x2－4x＋3；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴点C（0，3），
则直线AC的解析式为y＝－x＋3，
设点P（x，x2－4x＋3），
∵PD∥y轴，
∴点D（x，－x＋3），
39
∴PD＝（－x＋3）－（x2－4x＋3）＝－x2＋3x＝－（x－2）2＋4，∵a＝－1<0，
∴当x＝32时，线段PD的长度有最大值94；
（3）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，
∴MA＝MB，
由三角形的三边关系，|MA－MC|∴当M、B、C三点共线时，|MA－MC|最大，即为BC的长
度，
设直线BC的解析式为y＝kx＋m（k≠0），
km0
k3
，
则
，解得
m3
m3
∴直线BC的解析式为y＝－3x＋3，
∵抛物线y＝x2－4x＋3的对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，y＝－3×2＋3＝－3，
∴点M（2，－3），
即抛物线对称轴上存在点M（2，－3），使|MA－MC|最大．类型三面积问题
★1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且此抛物线的顶点坐标为M（－1，
4）．
（1）求此抛物线的解析式；
升级会员 