内蒙古中考数学重点题型专项训练二次函数综合题.docx

1、内蒙古中考数学重点题型专项训练二次函数综合题二次函数综合题类型一 与角度有关的问题1.抛物线yx22x3与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的解析式；(2)抛物线的对称轴上存在点P，使APBABC，利用图求点 P 的坐标；(3)点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图比较OCQ与OCA 的大小，并说明理由第 1 题图解：(1)当y0时，得0x22x3，解得x11，x23，B 点的坐标为(3，0)，当 x0，得 y3，即 C 点坐标为(0，3)，设直线 BC 的解析式为 ykx3(k0)，将点 B(3，0)代入得03k3，解得 k1，直线 BC 的解析式为 yx3；(2)

2、由(1)可知OBOC3，BOC 为等腰直角三角形，ABC45，抛物线对称轴为 x1，设抛物线对称轴交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E，当点 P 在 x 轴上方时，如解图，第 1 题解图APBABC45，且 PAPB，PBA1804567.5，2DPB12APB22.5，PBD67.54522.5，DPBDBP，DPDB，在 RtBDE中，BEDE2，由勾股定理可得，BD22，PE222，P(1，222)；当点 P 在 x 轴下方时，由对称性可知 P 点坐标为(1，222)，综上可知，抛物线的对称轴上存在点 P,使APB=ABC，P点坐标为(1，222)或(1，222)；（3）如解图，作

3、点A关于y轴对称的点F，点 F 的坐标为(1，0)，则OCAOCF，设直线 CF 的解析式为 ykxb，把点 C(0，3)，F(1，0)代入求得 k3，b3，则直线 CF 的解析式为 y3x3，y3x3联立yx22x3，x10解 得 y13 ，x25y212，直线 CF 与抛物线的交点坐标为(0，3)、(5，12)，第1题解图设点 Q 的坐标为(a，a22a3)，当 0a5 时，OCFOCQ，则OCAOCQ；当 a5时，OCFOCQ，则OCAOCQ；当 a5时，OCFOCQ，则OCAOCQ.类型二 线段及周长问题1. 如图，抛物线y14x2bxc的图象过点A(4，0)，B(4，4)，且抛物线与

4、 y 轴交于点 C，连接 AB，BC，AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的点，求PBC周长的最小值及此时点 P 的坐标；(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴的平行线，分别交抛物线及 x 轴于 F、D 两点.请问是否存在这样的点 E，使 DE2DF？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.第 1 题图解：(1)抛物线y14x2bxc的图象经过点A(4，0)，B(4，4)，116 4bc 014b ，2 1，解得 16 4bc4c 24抛物线的解析式为 y14 x212 x2；（2）由抛物线y14x212x2 可得其对称轴为直线x12 1

5、 1，点 C 的坐标为(0，2)，2 (4)如解图，作点 C 关于对称轴 x1的点 C，则 C的坐标为(2，2)，连接BC；即 BC (2 4)2 (2 4)262，BC与对称轴的交点即为所求点 P，连 第 1 题解图接 CP，此时PBC 的周长最小设直线 BC的解析式为 ykxm，点 B(4，4)，C(2，2)， 2km 2，解得 k 1，4km4m 0直线 BC的解析式为 yx，将 x1代入 yx，得 y1，点 P 坐标为(1，1)BC 42 (2 4)2 213 .PBC 的周长为 CPBCPBBCBC，PBC 周长的最小值为21362；(3)由点A(4，0)，B(4，4)可得直线AB的

6、解析式为y12x2，设点E(x，12x2)，其中4x4，则F(x，14 x212x2)，DE|12x2|212x，DF|14 x212x2|，当 212x12x2x4，即点F位于x轴上方，解得 x11，x24(舍去)，将 x1代入 y1x 2，得到y5，E(1，5)，222当 212x12x2x4，即点F位于x轴下方，解得 x13，x24(舍去)，将 x3代入 y12x2，得到 y72，E(3，72)综上所述：点 E 的坐标为：(1，52)，(3，72)2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 yx4与 x 轴交于点 A，过点 A 的抛物线 yax2bx与直线 yx4交于另一点 B，

7、且点 B 的横坐标为1.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上一个动点(点P不与点A、B重合)，过点P 作 PMOB 交第一象限内的抛物线于点 M ，过点 M 作MCx 轴于点 C，交 AB 于点 N，过点 P 作 PFMC 于点 F，设 PF 的长为 t，求 MN 与 t 之间的函数关系式(不要求写出自变量 t 的取值范围)；当 MN 取最大值时，连接 ON，直接写出sinBON 的值第 2 题图解：(1)yx4与x轴交于点A，A(4，0)，点 B 的横坐标为1，且直线 yx4经过点 B，B(1，3)，抛物线 yax2bx 经过 A(4，0)，B(1，3)，16a 4b 0， 3a

8、b a 1解得 .b 4抛物线的解析式为 yx24x；(2)如解图，作BDx轴于点D，延长MP交x轴于点E，第 2B(1，3)，A(4，0)，OD1，BD3，OA4，AD3，ADBD，BDA90，BADABD45，MCx 轴，ANCBAD45，PNFANC45，PFMC，FPNPNF45，NFPFt，PFMECM90，第 2 题解图PFEC，MPFMEC，MEOB，MECBOD，MPFBOD，tanBODtanMPF，ODBDMFPF3，MF3PF3t，MNMFFN，MN3tt4t；如解图，作 BGON 于 G 点，第 2 题解图当过点 M 的直线与直线 AB 平行且与抛物线只有一个交点时，

9、MN 取最大，设与 AB 平行的直线 yxb，当x24xxb；即 x25xb0，25254b0，解b4 .25直线 yx4，抛物线 yx24x 与 yx254的交点 M(52，154)，N 点的横坐标为52，N 点的纵坐标为52432，即 N(52，32 )，ON 的解析式为 y53 x，BGON，5设 BG 的解析式为 y3 xb，将 B(1，3)代入 y5xb，解得 b14，335 14BG 的解析式为 y3 x3，y 3xx 35517联立514 ，解得21 ，y x y 331735 21即 G(17，17)由勾股定理，得 OB 12 32 10 ，BG (17351)2 (1721

10、3)261734，634sinBONBG 17 685 .OB 10 853 如图，抛物线yx2bxc过点A(3，0)，B(1，0)，交 y 轴于点 C，点 P 是该抛物线上一动点，点 P 从 C 点沿抛物线向 A 点运动(点 P 不与点 A 重合)，过点 P 作 PDy 轴交直线 AC 于点 D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MAMC|最大？若存在，请求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)抛物线yx2bxc过点A(3，0)，B(1，0)，9 3bc 0b 4， ，解得 1bc 0c 3抛物线解析式为

11、 yx24x3；(2)令x0，则y3，点 C(0，3)，则直线 AC 的解析式为 yx3，设点 P(x，x24x3)，PDy 轴，点 D(x，x3)，3 9PD(x3)(x24x3)x23x(x2)24，a10，当 x32时，线段 PD 的长度有最大值94；(3)由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，MAMB，由三角形的三边关系，|MAMC|BC，当 M、B、C 三点共线时，|MAMC|最大，即为 BC 的长度，设直线 BC 的解析式为 ykxm(k0)，k m 0k 3，则 ，解得 m 3m 3直线 BC 的解析式为 y3x3，抛物线 yx24x3的对称轴为直线 x2，当 x2时，y3233，点 M(2，3)，即抛物线对称轴上存在点 M(2，3)，使|MAMC|最大类型三 面积问题1.如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A、B两点，与 y 轴交于点 C(0，3)，且此抛物线的顶点坐标为 M(1，4)(1)求此抛物线的解析式；