高三一轮复习热点题型32课时1导数与函数的单调性1Word文档格式.docx
《高三一轮复习热点题型32课时1导数与函数的单调性1Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三一轮复习热点题型32课时1导数与函数的单调性1Word文档格式.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
0恒成立，
∴a∈[1，＋∞）时，
函数y＝f（x）在R上单调递减．
②当0<
a<
1时，
由f′（x）>
0得（1－a）（ex＋1）>
1，
即ex>
－1＋，解得x>
ln，
当0<
由f′（x）<
0得（1－a）（ex＋1）<
即ex<
－1＋，解得x<
ln.
∴a∈（0,1）时，
函数y＝f（x）在（ln，＋∞）上单调递增，
在（－∞，ln）上单调递减．
∴综上，当a≥1时，f（x）在R上单调递减；
1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．
思维升华
（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
（2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
（3）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f（x）＝x3，f′（x）＝3x2≥0（f′（x）＝0在x＝0时取到），f（x）在R上是增函数．
讨论函数f（x）＝（a－1）lnx＋ax2＋1的单调性．
解 f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝＋2ax＝.
①当a≥1时，f′（x）>
0，故f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
②当a≤0时，f′（x）<
0，故f（x）在（0，＋∞）上单调递减；
③当0<
1时，令f′（x）＝0，解得x＝，则当x∈（0,）时，f′（x）<
0；
当x∈（，＋∞）时，f′（x）>
0，故f（x）在（0,）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增．
题型三 利用函数单调性求参数
例3 设函数f（x）＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1.
（1）求b，c的值；
（2）若a>
0，求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）＝f（x）＋2x，且g（x）在区间（－2，－1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
解
（1）f′（x）＝x2－ax＋b，
由题意得即
（2）由
（1）得，f′（x）＝x2－ax＝x（x－a）（a>
0），
当x∈（－∞，0）时，f′（x）>
当x∈（0，a）时，f′（x）<
当x∈（a，＋∞）时，f′（x）>
0.
所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（a，＋∞），单调递减区间为（0，a）．
（3）g′（x）＝x2－ax＋2，
依题意，存在x∈（－2，－1），
使不等式g′（x）＝x2－ax＋2<
0成立，
即x∈（－2，－1）时，a<
（x＋）max＝－2，
当且仅当x＝即x＝－时等号成立．
所以满足要求的a的取值范围是（－∞，－2）．
引申探究
在本例3（3）中，
1．若g（x）在（－2，－1）内为减函数，如何求解？
解 方法一 ∵g′（x）＝x2－ax＋2，且g（x）在（－2，－1）内为减函数，
∴g′（x）≤0，即x2－ax＋2≤0在（－2，－1）内恒成立，
∴即
解之得a≤－3，
即实数a的取值范围为（－∞，－3]．
方法二 ∵g′（x）＝x2－ax＋2，
由题意可得g′（x）≤0在（－2，－1）上恒成立，
即a≤x＋在（－2，－1）上恒成立，
又y＝x＋，x∈（－2，－1）的值域为（－3，－2]，
∴a≤－3，∴实数a的取值范围是（－∞，－3]．
2．若g（x）的单调减区间为（－2，－1），求a的值．
解 ∵g（x）的单调减区间为（－2，－1），
∴x1＝－2，x2＝－1是g′（x）＝0的两个根，
∴（－2）＋（－1）＝a，即a＝－3.
3．若g（x）在（－2，－1）上不单调，求a的取值范围．
解 由引申探究1知g（x）在（－2，－1）上为减函数，a的范围是（－∞，－3]，
若g（x）在（－2，－1）上为增函数，可知a≥x＋在（－2，－1）上恒成立，又y＝x＋的值域为（－3，－2]，
∴a的范围是[－2，＋∞），
∴函数g（x）在（－2，－1）上单调时，a的取值范围是
（－∞，－3]∪[－2，＋∞），
故g（x）在（－2，－1）上不单调，实数a的取值范围是
（－3，－2）．
思维升华 已知函数单调性，求参数范围的两个方法
（1）利用集合间的包含关系处理：
y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集．
（2）转化为不等式的恒成立问题：
即“若函数单调递增，则f′（x）≥0；
若函数单调递减，则f′（x）≤0”来求解．
已知函数f（x）＝exlnx－aex（a∈R）．
（1）若f（x）在点（1，f
（1））处的切线与直线y＝x＋1垂直，求a的值；
（2）若f（x）在（0，＋∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．
解
（1）f′（x）＝exlnx＋ex·
－aex＝（－a＋lnx）ex，
f′
（1）＝（1－a）e，由（1－a）e·
＝－1，得a＝2.
（2）由
（1）知f′（x）＝（－a＋lnx）ex，
若f（x）为单调递减函数，则f′（x）≤0，在x>
0时恒成立．
即－a＋lnx≤0，在x>
所以a≥＋lnx，在x>
令g（x）＝＋lnx（x>
则g′（x）＝－＋＝（x>
由g′（x）>
0，得x>
1；
由g′（x）<
0，得0<
1.
故g（x）在（0,1）上为单调递减函数，在[1，＋∞）上为单调递增函数，此时g（x）的最小值为g（x）＝1，但g（x）无最大值（且无趋近值）．
故f（x）不可能是单调递减函数．
若f（x）为单调递增函数，
则f′（x）≥0，在x>
0时恒成立，即－a＋lnx≥0，在x>
0时恒成立，
所以a≤＋lnx，在x>
0时恒成立，由上述推理可知此时a≤1.
故实数a的取值范围是（－∞，1]．
5．分类讨论思想研究函数的单调性
典例 （12分）已知函数f（x）＝lnx，
g（x）＝f（x）＋ax2＋bx，其中函数g（x）的图象在点（1，g
（1））处的切线平行于x轴．
（1）确定a与b的关系；
（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性．
思维点拨 依据g（x）的切线条件可得g′
（1）＝0得a，b关系，代g（x）后消去b，对a进行分类讨论确定g′（x）的符号．
规范解答
解
（1）依题意得g（x）＝lnx＋ax2＋bx，
则g′（x）＝＋2ax＋b.[2分]
由函数g（x）的图象在点（1，g
（1））处的切线平行于x轴得：
g′
（1）＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1.[4分]
（2）由
（1）得g′（x）＝
＝.
∵函数g（x）的定义域为（0，＋∞），
∴当a＝0时，g′（x）＝－.
1，由g′（x）<
1，[6分]
当a>
0时，令g′（x）＝0，得x＝1或x＝，[7分]
若<
1，即a>
，
1或0<
0，得<
[9分]
若>
1，即0<
或0<
0，得1<
若＝1，即a＝，在（0，＋∞）上恒有g′（x）≥0.[11分]
综上可得：
当a＝0时，函数g（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减；
时，函数g（x）在（0,1）上单调递增，
在（1，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增；
当a＝时，函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增；
时，函数g（x）在（0，）上单调递增，
（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．[12分]
温馨提醒
（1）含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：
①方程f′（x）＝0是否有根；
②若f′（x）＝0有根，求出根后是否在定义域内；
③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．
（2）本题求解先分a＝0或a>
0两种情况，再比较和1的大小．
[方法与技巧]
1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′（x）>
0，f′（x）<
0的解区间，并注意定义域．
2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．
3．已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．
[失误与防范]
1．f（x）为增函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0且在（a，b）内的任一非空子区间上f′（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
2．注意两种表述“函数f（x）在（a，b）上为减函数”与“函数f（x）的减区间为（a，b）”的区别．
3．讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽略函数的间断点.
A组 专项基础训练
（时间：
35分钟）
1．函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（ ）
A．（－∞，2）B．（0,3）
C．（1,4）D．（2，＋∞）
答案 D
解析 函数f（x）＝（x－3）ex的导数为f′（x）＝[（x－3）ex]′＝ex＋（x－3）ex＝（x－2）ex.
由函数导数与函数单调性的关系，得当f′（x）>
0时，函数f（x）单调递增，
此时由不等式f′（x）＝（x－2）ex>
0，解得x>
2.
2．下面为函数y＝xsinx＋cosx的递增区间的是（ ）
A．（，）B．（π，2π）
C．（，）D．（2π，3π）
答案 C
解析 y′＝（xsinx＋cosx）′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈（，）时，恒有xcosx>
3．若函数f（x）＝2x3－3mx2＋6x在区间（2，＋∞）上为增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A．（－∞，2）B．（－∞，2]
C．（－∞，）D．（－∞，]
解析 ∵f′（x）＝6x2－6mx＋6，
当x∈（2，＋∞）时，f′（x）≥0恒成立，
即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．
令g（x）＝x＋，g′（x）＝1－，
∴当x>
2时，g′（x）>
0，即g（x）在（2，＋∞）上单调递增，
∴m≤2＋＝，故选D.
4．已知函数f（x）＝x3＋ax＋4，则“a>
0”是“f（x）在R上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 f′（x）＝x2＋a，当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，
故“a>
0”是“f（x）在R上单调递增”的充分不必要条件．
5．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2－x），且当x∈（－∞，1）时，（x－1）f′（x）<
0，设a＝f（0），b＝f（），c＝f（3），则（ ）
A．a<
b<
cB．c<
a
C．c<
bD．b<
c<
解析 依题意得，当x<
1时，f′（x）>
0，f（x）为增函数；
又f（3）＝f（－1），且－1<
0<
<
因此有f（－1）<
f（0）<
f（），
即有f（3）<
f（），c<
b.
6．函数f（x）＝x－lnx的单调递减区间为________．
答案 （0,1）
解析 函数的定义域是（0，＋∞），
且f′（x）＝1－＝，
令f′（x）<
0，解得0<
1，所以单调递减区间是（0,1）．
7．已知a≥0，函数f（x）＝（x2－2ax）ex，若f（x）在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是________．
答案 [，＋∞）
解析 f′（x）＝（2x－2a）ex＋（x2－2ax）ex
＝[x2＋（2－2a）x－2a]ex，
由题意当x∈[－1,1]时，f′（x）≤0恒成立，
即x2＋（2－2a）x－2a≤0在x∈[－1,1]时恒成立．
令g（x）＝x2＋（2－2a）x－2a，
则有
即
解得a≥.
8．已知函数f（x）＝－2x2＋lnx（a>
0）．若函数f（x）在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________．
答案 （0，]∪[1，＋∞）
解析 f′（x）＝－4x＋，
若函数f（x）在[1,2]上为单调函数，
即f′（x）＝－4x＋≥0或f′（x）＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h（x）＝4x－，则h（x）在[1,2]上单调递增，
所以≥h
（2）或≤h
（1），
即≥或≤3，
又a>
0，所以0<
a≤或a≥1.
9．已知函数f（x）＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于直线y＝x.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
解
（1）对f（x）求导得f′（x）＝－－，
由f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于直线y＝x知f′
（1）＝－－a＝－2，解得a＝.
（2）由
（1）知f（x）＝＋－lnx－，
则f′（x）＝.
令f′（x）＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f（x）的定义域（0，＋∞）内，故舍去．
当x∈（0,5）时，f′（x）<
0，
故f（x）在（0,5）内为减函数；
当x∈（5，＋∞）时，f′（x）>
故f（x）在（5，＋∞）内为增函数．
综上，f（x）的单调增区间为（5，＋∞），单调减区间为（0,5）．
10．（2015·
沈阳质检）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝ax＋b.
（1）若f（x）与g（x）在x＝1处相切，求g（x）的表达式；
（2）若φ（x）＝－f（x）在[1，＋∞）上是减函数，求实数m的取值范围．
解
（1）由已知得f′（x）＝，
∴f′
（1）＝1＝a，a＝2.
又∵g
（1）＝0＝a＋b，∴b＝－1，
∴g（x）＝x－1.
（2）∵φ（x）＝－f（x）＝－lnx在[1，＋∞）上是减函数．
∴φ′（x）＝≤0在[1，＋∞）上恒成立．
即x2－（2m－2）x＋1≥0在[1，＋∞）上恒成立，
则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞），
∵x＋∈[2，＋∞），∴2m－2≤2，m≤2.
故实数m的取值范围是（－∞，2]．
B组 专项能力提升
25分钟）
11．设函数f（x）＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．1<
a≤2B．a≥4
C．a≤2D．0<
a≤3
解析 ∵f（x）＝x2－9lnx，
∴f′（x）＝x－（x>
当x－≤0时，有0<
x≤3，
即在（0,3]上原函数是减函数，
∴a－1>
0且a＋1≤3，解得1<
a≤2.
12．已知f（x）是可导的函数，且f′（x）<
f（x）对于x∈R恒成立，则（ ）
A．f
（1）<
ef（0），f（2016）>
e2016f（0）
B．f
（1）>
C．f
（1）>
ef（0），f（2016）<
D．f
（1）<
解析 令g（x）＝，
则g′（x）＝（）′＝
＝<
所以函数g（x）＝是单调减函数，
所以g
（1）<
g（0），g（2016）<
g（0），
即<
，<
故f
（1）<
e2016f（0）．
13．若函数f（x）＝－x3＋x2＋2ax在[，＋∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．
答案 （－，＋∞）
解析 对f（x）求导，
得f′（x）＝－x2＋x＋2a＝－（x－）2＋＋2a.
当x∈[，＋∞）时，
f′（x）的最大值为f′（）＝＋2a.
令＋2a>
0，解得a>
－.
所以a的取值范围是（－，＋∞）．
14．已知函数f（x）＝－x2＋4x－3lnx在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
答案 （0,1）∪（2,3）
解析 由题意知f′（x）＝－x＋4－
＝－，
由f′（x）＝0得函数f（x）的两个极值点为1和3，
则只要这两个极值点有一个在区间（t，t＋1）内，
函数f（x）在区间[t，t＋1]上就不单调，
由t<
1<
t＋1或t<
3<
t＋1，得0<
t<
1或2<
3.
15．已知函数f（x）＝alnx－ax－3（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f
（2））处的切线的倾斜角为45°
，对于任意的t∈[1,2]，函数g（x）＝x3＋x2·
[f′（x）＋]在区间（t,3）上总不是单调函数，求m的取值范围．
解
（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
且f′（x）＝，
0时，f（x）的增区间为（0,1），
减区间为（1，＋∞）；
当a<
0时，f（x）的增区间为（1，＋∞），减区间为（0,1）；
当a＝0时，f（x）不是单调函数．
（2）由
（1）及题意得f′
（2）＝－＝1，
即a＝－2，
∴f（x）＝－2lnx＋2x－3，f′（x）＝.
∴g（x）＝x3＋（＋2）x2－2x，
∴g′（x）＝3x2＋（m＋4）x－2.
∵g（x）在区间（t,3）上总不是单调函数，
即g′（x）＝0在区间（t,3）上有变号零点．
由于g′（0）＝－2，∴
当g′（t）<
即3t2＋（m＋4）t－2<
0对任意t∈[1,2]恒成立，
由于g′（0）<
0，故只要g′
（1）<
0且g′
（2）<
即m<
－5且m<
－9，即m<
－9；
由g′（3）>
0，即m>
所以－<
m<
－9.
即实数m的取值范围是（－，－9）．
升级会员 