高考一轮复习函数与方程.docx

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高考一轮复习函数与方程

第8讲　函数与方程

【2015年高考会这样考】

1．考查具体函数的零点的取值范围和零点个数．

2．利用函数零点求解参数的取值范围．

3．利用二分法求方程的近似解．

【复习指导】

（1）准确理解函数零点的概念，方程的根、函数与x轴的交点，三者之间的区别与联系，能够实现彼此之间的灵活转化，并能利用特殊点的函数值，根据零点存在性定理来判断函数零点所在的区间；

（2）灵活运用函数图象，将函数零点转化为两个函数图象的交点，注重数形结合思想的应用．

基础梳理

1．函数的零点

（1）函数零点的定义

对于函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．

（2）几个等价关系

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

（3）函数零点的判定（零点存在性定理）

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）零点的分布

根的分布（m＜n

＜p为常数）

图象

满足条件

x1＜x2＜m

m＜x1＜x2

x1＜m＜x2

f（m）＜0

m＜x1＜x2＜n

m＜x1＜

n＜x2＜p

只有一根在

（m，n）之间

或f（m）·f（n）＜0

3.二分法求方程的近似解

（1）二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

（2）给定精确度ε，用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤如下：

①确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε；②求区间（a，b）的中点c；③计算f（c）；

（ⅰ）若f（c）＝0，则c就是函数的零点；

（ⅱ）若f（a）·f（c）＜0，则令b＝c（此时零点x0∈（a，c））；

（ⅲ）若f（c）·f（b）＜0，则令a＝c（此时零点x0∈（c，b））．

④判断是否达到精确度ε.即：

若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复②③④.

一个口诀

用二分法求函数零点近似值的口诀为：

定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？

精确度上来判断．

两个防范

（1）函数y＝f（x）的零点即方程f（x）＝0的实根，是数不是点．

（2）若函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f（a）·f（b）＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，

f（a）·f（b）＞0，f（x）在区间（a，b）上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．

三种方法

函数零点个数的判断方法：

（1）直接求零点：

令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

（2）零点存在性定理：

利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；

（3）利用图象交点的个数：

画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

双基自测

1．（2011·福建）若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）．

A．（－1,1）

B．（－2,2）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

解析　由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：

判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2，故选C.

答案　C

2．若函数y＝f（x）在R上递增，则函数y＝f（x）的零点（　　）．

A．至少有一个B．至多有一个

C．有且只有一个D．可能有无数个

答案　B

3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是（　　）．

A．①②B．①③C．①④D．③④

答案　B

4．（2011·新课标全国）在下列区间中，函数f（x）＝ex＋4x－3的零点所在的区间为

（　　）．

A.B.

C.D.

解析　因为f＝e＋4×－3＝e－2＜0，f＝e＋4×－3＝e－1＞0，所以f（x）＝ex＋4x－3的零点所在的区间为.

答案　C

5．（人教A版教材习题改编）已知函数f（x）＝x2＋x＋a在区间（0,1）上有零点，则实数a的取值范围是________．

解析　函数f（x）＝x2＋x＋a在（0,1）上递增．由已知条件f（0）f

（1）<0，即a（a＋2）<0，解得－2

答案　（－2,0）

考向一　函数零点与零点个数的判断

【例1】►（2010·福建）函数f（x）＝的零点个数为（　　）．

A．3B．2C．7D．0

[审题视点]函数零点的个数⇔f（x）＝0解的个数⇔函数图象与x轴交点的个数．

解析　法一　由f（x）＝0得

或解得x＝－3，或x＝e2.

因此函数f（x）共有两个零点．

法二　函数f（x）的图象如图所示

可观察函数f（x）共有两个零点．

答案　B

对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑：

（1）结合函数图象；

（2）根据零点存在定理求某些点的函数值；（3）利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等．

【训练1】函数f（x）＝log3x＋x－3的零点一定在区间（　　）．

A．（0,1）B．（1,2）C．（2,3）D．（3,4）

解析　法一　函数f（x）＝log3x＋x－3的定义域为（0，＋∞），并且在（0，＋∞）上递增连续，又f

（2）＝log32－1＜0，f（3）＝1＞0，∴函数f（x）＝log3x＋x－3有唯一的零点且零点在区间（2,3）内．

法二　方程log3x＋x－3＝0可化为log3x＝3－x，在同一坐标系中作出y＝log3x和y＝3－x的图象如图所示，可观察判断出两图象交点横坐标在区间（2,3）内．

答案　C

考向二　有关二次函数的零点问题

【例2】►是否存在这样的实数a，使函数f（x）＝x2＋（3a－2）x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

[审题视点]可用零点定理去判断，注意对函数端点值的检验．

解　∵Δ＝（3a－2）2－4（a－1）＝9a2－16a＋8＝92＋＞0

∴若实数a满足条件，则只需f（－1）·f（3）≤0即可．

f（－1）·f（3）＝（1－3a＋2＋a－1）·（9＋9a－6＋a－1）

＝4（1－a）（5a＋1）≤0.

所以a≤－或a≥1.

检验：

（1）当f（－1）＝0时，a＝1.所以f（x）＝x2＋x.

令f（x）＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.

方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.

（2）当f（3）＝0时，a＝－，此时f（x）＝x2－x－.

令f（x）＝0，即x2－x－＝0，

解之得x＝－或x＝3.

方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.

综上所述，a＜－或a＞1.

解决二次函数的零点问题：

（1）可利用一元二次方程的求根公式；

（2）可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；（3）利用二次函数的图象列不等式组．

【训练2】关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时

（1）有两不同正根；

（2）不同两根在（1,3）之间；

（3）有一根大于2，另一根小于2；

（4）在（1,3）内有且只有一解

解　设f（x）＝x2－2ax＋a＋2，

Δ＝4a2－4（a＋2）＝4（a2－a－2）＝4（a－2）（a＋1）．

（1）由已知条件解得a>2.

（2）由已知条件解得2

（3）由已知条件f

（2）<0，解得a>2.

（4）由已知条件f

（1）f（3）<0解得

检验：

当f（3）＝0，a＝时，方程的两解为x＝，x＝3，

当f

（1）＝0，即a＝3时，方程的两解为x＝1，x＝5，

可知≤a<3.当⇒a＝2.

即a＝2时f（x）＝x2－4x＋4＝（x－2）2方程的解x1＝x2＝2

∴a＝2，综上有a＝2或≤a<3.

考向三　函数零点性质的应用

【例3】►已知函数f（x）＝－x2＋2ex＋t－1，g（x）＝x＋（x>0，其中e表示自然对数的底数）．

（1）若g（x）＝m有零点，求m的取值范围；

（2）确定t的取值范围，使得g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．

分析：

（1）可结合图象也可解方程求之．

（2）利用图象求解．

[审题视点]画出函数图象，利用数形结合法求函数范围．

解　

（1）法一　∵g（x）＝x＋≥2＝2e，

等号成立的条件是x＝e.

故g（x）的值域是[2e，＋∞），

因而只需m≥2e，则g（x）＝m就有零点．

法二　作出g（x）＝x＋的图象如图：

可知若使g（x）＝m有零点，则只需m≥2e.

法三　解方程由g（x）＝m，

得x2－mx＋e2＝0.

此方程有大于零的根，故

等价于，故m≥2e.

（2）若g（x）－f（x）＝0有两个相异的实根，即g（x）＝f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，作出g（x）＝x＋（x>0）的图象．

∵f（x）＝－x2＋2ex＋t－1

＝－（x－e）2＋t－1＋e2.

其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为t－1＋e2.

故当t－1＋e2>2e，即t>－e2＋2e＋1时，g（x）与f（x）有两个交点，即g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．

∴t的取值范围是（－e2＋2e＋1，＋∞）．

　此类利用零点求参数的范围的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了，这也体现了，当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解．

【训练3】已知函数f（x）＝ax3－2ax＋3a－4在区间（－1,1）上有一个零点．

（1）求实数a的取值范围；

（2）若a＝，用二分法求方程f（x）＝0在区间（－1,1）上的根．

解　

（1）若a＝0，则f（x）＝－4与题意不符，∴a≠0，

∴f（－1）·f

（1）＝8（a－1）（a－2）＜0，∴1＜a＜2.

（2）若a＝，则f（x）＝x3－x＋，

∴f（－1）＞0，f

（1）＜0，f（0）＝＞0，

∴零点在（0,1）上，又f＝0，

∴f（x）＝0的根为.

难点突破6——如何利用图象求解函数零点问题

数形结合是重要的思想方法之一，也是高考考查的热点问题，利用函数图象判断方程是否有解，有多少个解是常见常考的题型，数形结合法是求函数零点个数的有效方法，其基本思路是把函数分成两个函数的差，分析的基本思想是分析后的函数图象比较容易做出，则函数零点个数就是两函数图象交点的个数．

一、判定函数零点的个数

【示例】►（2011·陕西）函数f（x）＝－cosx在[0，＋∞）内（　　）．

A．没有零点B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点

二、判断零点的范围

【示例】►（2011·山东）已知函数f（x）＝logax＋x－b（a＞0，且a≠1）．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n＋1），n∈N*，则n＝________.