高中数学 第1章 统计案例 11 独立性检验1学案 苏教版选修12Word格式文档下载.docx
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（3）查对临界值，作出判断．
要点一 2×
2列联表和χ2统计量
例1 根据下表计算：
不看电视
看电视
男
37
85
女
35
143
χ2≈________.（结果保留3位小数）
答案 4.514
解析 χ2＝
≈4.514.
规律方法 利用χ2＝
，准确代数与计算，求出χ2的值．
跟踪演练1 已知列联表：
药物效果与动物试验列联表
患病
未患病
服用药
10
45
55
未服药
20
30
50
75
105
则χ2≈________.（结果保留3位小数）
答案 6.109
≈6.109.
要点二 独立性检验
例2 为了研究人的性别与患色盲是否有关系，某研究所进行了随机调查，发现在调查的480名男性中有39名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为人的性别与患色盲有关系吗？
解 由题意列出2×
患色盲
未患色盲
总计
男性
39
441
480
女性
6
514
520
955
1000
由公式得χ2的观测值
x0＝
≈28.225.
因为P（χ2≥10.828）≈0.001，且28.225＞10.828，
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患色盲与人的性别有关系，男性患色盲的概率要比女性大得多．
规律方法 独立性检验可以通过2×
2列联表计算χ2的值，然后和临界值对照作出判断．
跟踪演练2 调查在2～3级风的海上航行中男女乘客的晕船情况，结果如下表所示：
晕船
不晕船
男人
12
25
女人
24
34
22
49
71
根据此资料，你是否认为在2～3级风的海上航行中男人比女人更容易晕船？
解 假设H0：
海上航行和性别没有关系，χ2＝
≈0.08.
因为χ2<
2.706，所以我们没有理由认为男人比女人更容易晕船．
要点三 独立性检验的应用
例3 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：
mm）的值落在（29.94,30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：
甲厂
分组
[29.86，
29．90）
[29.90，
29．94）
[29.94，
29．98）
[29.98，
30．02）
[30.02，
30．06）
[30.06，
30．10）
[30.10，
30．14）
频数
63
86
182
92
61
4
乙厂
29
159
76
62
18
（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
（2）由以上统计数据填下面2×
2列联表，并计算是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.
优质品
非优质品
解
（1）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为
＝72%；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为
＝64%.
（2）
360
320
680
140
180
500
≈7.353＞6.635，
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
规律方法
（1）解答此类题目的关键在于正确利用χ2＝
计算χ2的值，再用它与临界值的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决．
（2）此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不难理解掌握．
跟踪演练3 下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：
得病
不得病
干净水
52
466
518
不干净水
94
218
312
146
684
830
（1）这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；
（2）若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．
解
（1）假设H0：
传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式得：
≈54.21，
∵54.21＞10.828，所以假设H0不成立．
因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用水的卫生程度有关．
（2）依题意得2×
5
9
31
14
72
此时，χ2＝
≈5.785.
由于5.785＞5.024所以我们有97.5%的把握认为该种疾病与饮用水的卫生程度有关．
两个样本都能统计得到传染病与饮用水的卫生程度有关这一相同结论，但
（1）中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，
（2）中我们只有97.5%的把握肯定结论的正确性.
1．下面是一个2×
21
73
8
33
46
则表中a＝________.b＝________.
答案 52 60
解析 ∵a＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.
2．为了考查长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查301名女性，得到如表所示的列联表，试根据表格中已有数据填空.
经常头晕
很少头晕
长发
①
121
短发
②
③
④
则空格中的数据分别为：
①________；
②________；
③________；
④________.
答案 86 180 229 301
解析 最右侧的合计是对应行上的两个数据的和，由此可求出①和②；
而最下面的合计是相应列上的两个数据的和，由刚才的结果可求得③④.
3．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是________．（填序号）
①若χ2>
6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；
③若从χ2统计量中得出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
答案 ③
解析 对于①，99%的把握是通过大量的试验得出的结论，这100个吸烟的人中可能全患肺病也可能都不患，是随机的，所以①错；
对于②，某人吸烟只能说其患病的可能性较大，并不一定患病；
③的解释是正确的．
4．为研究学生的数学成绩与学生学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：
成绩优秀
成绩较差
兴趣浓厚的
64
兴趣不浓厚的
95
103
189
学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？
解 由公式得：
≈38.459.
∵38.459>
10.828，∴有99.9%的把握认为，学生学习数学的兴趣与数学成绩是有关的．
1.独立性检验的思想：
先假设两个事件无关，计算统计量χ2的值．若χ2值较大，则假设不成立，认为两个事件有关．
2．独立性检验的步骤：
（1）作出假设H0：
（2）计算χ2的值；
一、基础达标
1．当χ2>
2.706时，就有________的把握认为“x与y有关系”．
答案 90%
2．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：
优秀
及格
甲班
11
乙班
19
90
则随机变量χ2的观测值约为________．
答案 0.600
解析 根据列联表中的数据，可得随机变量χ2的观测值x0＝
≈0.600.
3．分类变量X和Y的列表如下，则下列说法判断正确的是________．（填序号）
①ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱；
②ad－bc越大，说明X与Y的关系越强；
③（ad－bc）2越大，说明X与Y的关系越强；
④（ad－bc）2越接近于0，说明X与Y的关系越强．
4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
爱好
40
60
不爱好
110
由χ2＝
算得，
≈7.8.
附表：
P（χ2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是________．
①在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；
②在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”；
③有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；
④有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”．
解析 根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>
6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
5．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表：
年龄
不超过40岁
超过40岁
吸烟量不多于20支/天
15
65
吸烟量多于20支/天
100
则有________的把握确定吸烟量与年龄有关．
答案 99.9%
解析 利用题中列联表，代入公式计算χ2＝
≈22.16>
10.828，
所以我们有99.9%的把握确定吸烟量与年龄有关．
6．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些情况，具体数据如下表：
专业
性别
非统计专业
统计专业
13
23
7
27
为了判断主修统计专业是否与性别有关，根据表中的数据，得χ2＝
≈4.844.因为χ2≈4.844>
3.841，所以判断主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．
答案 5%
解析 因为4.844>
3.841，则有95%的把握认为两事件有关系，因此判断出错的可能性为5%.
7．在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：
分数段
29～
41～
51～
61～
70
71～
80
81～
91～
午休考
生人数
47
不午休
考生人数
17
51
67
3
（1）根据上述表格完成列联表：
及格人数
不及格人数
午休
（2）根据列联表可以得出什么样的结论？
对今后的复习有什么指导意义？
解
（1）根据题表中数据可以得到列联表如下：
135
200
145
235
380
（2）计算可知，午休的考生及格率为P1＝
＝
，不午休的考生的及格率为P2＝
，则P1>
P2，因此，可以粗略判断午休与考生考试及格有关系，并且午休的及格率高，所以在以后的复习中考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态．
二、能力提升
8．在2×
2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的________倍．
答案 2
解析 由公式χ2＝
中所有值变为原来的2倍，
得（χ2）′＝
＝2χ2，
故χ2也变为原来的2倍．
9．下列说法正确的是________．（填序号）
①对事件A与B的检验无关，即两个事件互不影响；
②事件A与B关系越密切，χ2就越大；
③χ2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据；
④若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生．
答案 ②
解析 对于①，事件A与B的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定两事件互不影响，故①错．②是正确的．对于③，判断A与B是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助于概率运算，故③错．对于④，两事件A与B有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A发生B一定发生，故④错．
10．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：
无效
有效
男性患者
女性患者
44
79
设H0：
服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2的值约为________，从而得出结论：
服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．
答案 4.882 5%
解析 由公式计算得χ2≈4.882>
3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．
11．下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：
晚上
白天
男婴
A
B
女婴
E
C
98
D
那么，A＝________，B＝________，C＝________，D＝________，E＝________.
答案 47 92 88 82 53
解析 由列联表知识得
解得
12．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示.
又发作过
心脏病
未发作过
心脏搭桥手术
157
196
血管清障手术
167
68
324
392
试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有没有差别．
解 假设病人又发作过心脏病与做过心脏搭桥手术还是血管清障手术没有关系．由表中数据得a＝39，b＝157，c＝29，d＝167，a＋b＝196，c＋d＝196，a＋c＝68，b＋d＝324，n＝392，由公式得χ2＝
≈1.779.因为χ2≈1.779<
2.706，所以不能得出病人又发作过心脏病与做过心脏搭桥手术还是血管清障手术有关系的结论，即这两种手术对病人又发作过心脏病的影响没有差别．
三、探究与创新
13．在某校高三年级一次全年级的大型考试的数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分成绩优秀的人数如下表所示，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀有关系？
物理优秀
化学优秀
总分优秀
数学优秀
228
225
267
数学非优秀
156
99
注：
该年级在此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人．
解 列出数学成绩与物理成绩的2×
2列联表如下：
物理非优秀
132
737
880
371
869
1240
将表中数据代入公式，得χ
的观测值为
x1＝
≈270.1>
10.828.
列出数学成绩与化学成绩的2×
化学非优秀
724
381
859
x2＝
≈240.6>
列出数学成绩与总分成绩的2×
总分非优秀
93
781
366
874
x3＝
≈486.1>
由上面的分析知，χ2的观测值都大于10.828，说明在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀都有关系．
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