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即单位时间单位面积上溶质扩散的量。
菲克第一定律的另一种叙述：
原子的扩散通量与浓度梯度成正比（J=-Ddc/dx）
由于扩散有方向性，故J为矢量,对于三维有如下公式：
菲克第一定律是质点扩散定量描述的基本方程。
它适于稳定扩散（浓度分布不随时间变化），同时又是不稳定扩散（质点浓度分布随时间变化）动力学方程建立的基础。
2.2菲克第二定律（Fick’sSecondLaw）
2.2.1菲克第二定律的推导
通过测定某体积元中流入和流出的流量差，可以确定扩散过程中任意一点浓度随着时间的变化。
如有两个相距离为dx的平行面，通过横截面积为A，相距为dx的微小体积元前后的流量分别为J1和J2。
由物质平衡关系可得出：
流入Adx体积元的物质量减去流出该体积的量即为积存在微小体积元中的物质量。
物质流入速率=J1A
物质流出速率
物质积存速率
物质在微体积中积聚速率可表示为：
∴
代入第一定律，则有
也可写作
三维菲克第二定律形式：
菲克第二定律主要适于不稳定扩散。
3.扩散的布朗运动理论
3.1爱因斯坦（Einstein）扩散方程
爱因斯坦（Einstein）用统计方法得到扩散方程，并使宏观扩散系数与扩散扩散质点的微观运动得到联系。
（推导过程见教材P230~231）
3.2爱因斯坦（Einstein）方程简单推导过程
3.2.1公式推导
图7-2一维扩散
设晶体沿x轴方向有一很小的组成梯度，如图7-2,若两个相个相距为r的相邻点阵面分别记作1和2，则原子沿x轴方向向左或右移动时，每次跳跃的距离为r。
平面1上单位面积扩散溶质原子数为n1,平面2上为n2。
跃迁频率f是一个原子每秒内离开平面跳跃次数的平均值。
因此δt时间内跃出平面1的原子数为n1fδt,这些原子中一半到右边平面2，另一半到左边平面。
同样，从δt时间内从平面2跃迁到平面1的原子数1/2n2fδt。
由此得出从平面1到平面2的流量为
若n1/r=C1,n2/r=C2和（C1-C2）/r=-∂C/∂x,可以将量（n1-n2）和浓度单位体积原子数联系起来。
因此流量为：
和菲克第一定律相比较则有:
，若跃迁发生在三个方向，则上述值将减少三分之一，因此三维无充扩散系数为：
3.2.2公式意义
该公式只适于无序扩散（无规行走扩散）——无外场推动下，由热起伏而使原子获得迁移激活能从而引起原子移动，其移动方向完全是无序的、随机的，实质是布朗运动。
r是原子跃迁距离或自由行程。
对晶体，r是由晶体结构决定的，可用晶格常数a0来表示。
对于体心立方晶体，
可跃迁的邻近位置数为8，则有：
为了适应不同的结构状态，上式可改写成如下一般关系：
D=γa02f
其中γ称为几何因子，与最邻近的可跃迁的位置数有关。
F是原子跃迁频率，也就是在给定温度下，单位时间内，每一个晶体中的原子成功地跳越势垒的跃迁次数。
可以用绝对反应速度理论的方法，即原子克服势垒的活化过程求得：
4.扩散过程的推动力、微观机构与扩散系数
4.1扩散的一般推动力
4.1.1扩散推动力的推导
根据广泛适用的热力学理论，扩散过程的发生与否将与体系中化学位有根本的关系。
物质从高化学位流向低化学位是一普遍规律。
因此表征扩散推动力的应是化学位梯度。
一切影响扩散的外场（电场、磁场、应力场等）都可统一于化学位梯度之中，且仅当化学位梯度为零时，系统扩散方可达到平衡。
设一多组分体系中，i组分的质点沿x方向扩散所受到的力应等于该组分化学位在x方向上梯度的负值：
Fi=-∂ui/∂x
相应的质点运动平均速度Vi正比于作用力Fi:
Di=RTBi（1+∂lnγi/∂lnNi）
4.1.2扩散系数的一般热力学关系
式中（1+∂lnγi/∂lnNi）称为扩散系数的热力学因子。
对于理想混合体系活度系数γi=1,此时Di=Di*=RTBi。
通常称Di*为自扩散系数，而Di为本征扩散系数。
对于非理想混合体系存在两种情况：
（1）（1+∂lnγi/∂lnNi）>
0,Di>
0,为正常扩散。
物质将由高浓度流向低浓度处，扩散结果使溶质趋于均匀化。
（2）（1+∂lnγi/∂lnNi）<
0,Di<
0,为反常扩散或逆扩散。
扩散结果使溶质偏聚或分相。
4.2质点迁移的微观机构与扩散系数
4.2.1扩散的微观机构
A.空位机构：
晶格中由于本征热缺陷或杂质离子不等价取代而存在空位，于是空位周围格点上的原子或离子就可能跳入空位，此时空位与跳入空位的原子分别作了相反方向的迁移。
B空位机构的特点：
是固体材料中质点扩散的主要机构，较大离子的扩散多半是通过空位机构进行的。
（如图7-3,7-4所示）
C间隙机构：
质点通过间隙进行扩散的现象。
D间隙机构的特点:
间隙机构引起的晶格变形大，间隙原子相对晶格位上的原子尺寸越小，间隙越容易发生。
图7-3扩散微观机构示意图
图7-4形成新的化合物或固溶体的扩散过程
4.2.3扩散机构和扩散系数的关系
（1）简单氧化物的空位扩散过程
晶体一章中我们知道,空位的浓度为:
又有公式:
代入公式:
D=γa02f
得公式:
或
因空位来源于本征热缺陷,故该扩散系数称为本征扩散或自扩散系数Q称为扩散活化能，空位扩散活化能由空位形成能和空位迁移能两部分组成。
（2）间隙扩散扩散过程
扩散以间隙机构进行，由于晶体中间隙原子往往很小，所以实际上间隙原子所有邻近的间隙位都是空着的。
因此间隙机构扩散时可供间隙原子跃迁的位置几率可近似地看成为1。
和空位扩散活化能相比，间隙扩散活化能为间隙原子迁移能，表示式为：
（3）缺金属型的氧化物中的阳离子空位扩散过程
造成这种非化学计量空位的原因往往是环境中氧分压升高迫使部分Fe2+、Mn2+等二价过渡金属离子变成三价金属离子：
（4）缺氧氧化物的氧离子空位型
以ZrO2为例，高温氧分压的降低导致如下缺陷反应发生：
（5）扩散与温度的关系
图7-5在缺氧的氧化物中,扩散与温度关系示意图
4.2.5扩散名词含义
表7-1扩散系数的通用符号和名词含义
分类
名称（或又名）
符号
含义
晶体内部原子的扩散
无序扩散系数（RandomDiffusion）
不存在化学位梯度时质点的扩散过程
自扩散系数（SelfDiffusion）
不存在化学位梯度时原子的扩散过程（Onlytherandom-walkdiffusionprocess.,nochemicalpotentialgradients）
示踪物扩散系数（TracerDiffusion）
示踪原子在无化学位梯度时扩散
晶格扩散系数（CrystalDiffusion）
（又名）原子扩散系数
体积扩散系数VolumeDiffusion）
指晶体内或晶格内的任何扩散过程（Anydiffusionprocesswithinthebulkorlatticeofthecrystal.）
本征扩散系数（IntrinsicDiffusion）
指仅仅由本身点缺陷作为迁移载体的扩散（Aprocesswhenonlynativepointdefects（thermallycreated）arethevehiclefortransport）
互扩散系数（Interdiffusion）
（又名）化学扩散系数（Chemical-Potential）
有效扩散系数（EffectiveDiffusion）
在化学位梯度下的扩散
区域扩散（AreaDiffusion）
晶界扩散系数（BoundaryDiffusion）
沿晶界发生的扩散
界面扩散系数（InterfaceDiffusion）
沿界面发生的扩散
表面扩散系数SurfaceDiffusion
沿表面发生的扩散
位错扩散系数DislocationDiffusion
沿位错管的扩散
缺陷扩散（DefectDiffusion）
空位扩散系数VacancyDiffusion
空位跃迁入邻近原子，原子反向迁入空位
间隙扩散系数IntersticeDiffusion
间隙原子在点阵间隙中迁移
非本征扩散系数ExtrinsicDiffusion
指非热能引起的扩散，例如由杂质引起的缺陷而进行的扩散（Diffusionviadefectsnotcreatedfromthermalenergy,e.g.,impurities）
5.影响扩散系数的因素
扩散系数是决定扩散速度的重要参量。
讨论影响扩散系数因素的基础是基于公式：
上式表明，扩散系数主要决定于温度和活化能。
而扩散活化能还受到扩散物质和扩散介质性质以及杂质和温度等的影响。
5.1扩散物质性质的影响
5.2扩散介质结构的影响
5.3位错、晶界和表面对扩散的影响
处于晶体表面、晶面和位错处的原子位能总高于正常晶格上的原子，它们扩散所需要的活化能也较小，相应的扩散系数较大。
因此晶界、表面和位错往往会成为原子（缺陷）扩散的快速通道，从而对扩散速度产生重要的影响。
5.4杂质（第三组分）的影响
6.固相反应机理
6.1固相反应的定义
广义：
凡是有固相参与的化学反应都可称为固相反应。
狭义：
固相反应物之间发生化学生成新的固相产物的过程。
6.2固相反应的特点：
在扩散中我们知道，即使在较低温度下，固体中的质点也可能扩散迁移，并随温度升高扩散速度以指数规律增长。
A．固相反应非均相反应，因此参与反应的固相相互接触是反应物间发生化学作用和物质输送的先决条件。
B．固态物质间的反应是直接进行的，气相或液相没有或不起重要作用。
C．固相反应开始温度远低于反应物的熔融或系统的低共熔温度，通常相当于一种反应物开始呈现显著扩散作用的温度，此称为泰曼温度或烧结温度。
一般来说金属为0.3~0.4Tm;
盐类和硅酸盐分别约为0.57Tm和0.8~0.9Tm。
速度较慢，一般包括相界面上的反应和物质迁移两个过程。
D．当反应物之一存在有多晶转变时，则转变温度通常也是反应开始变为显著的温度。
6.3固相反应的分类：
A．按参加反应物质状态划分：
（1）纯固相反应
（2）有液相参与的反应
（3）有气体参与的反应
B．按反应的性质分：
（1）氧化反应
（2）还原反应（3）加成反应（4）置换反应（5）分解反应
C．按反应机理分：
（1）化学反应速度控制过程；
（2）晶体长大控制过程；
（3）扩散控制过程
6.4固相反应的机理
图7-6
A．反应物相互接触
B．接触表面发生反应
C．反应产物通过产物层传输
7.固相反应动力学方程
7.1固相反应一般动力学关系
固相反应的基本特点在于反应通常是由几个简单的物理化学过程，如化学反应、扩散、结晶、熔融、升华等步骤构成。
现以金属氧化过程为例，建立整体反应速度与各阶段反应速度间的定量关系。
图7-7
7.2化学反应动力学范围
7.2.1均相反应
化学反应是固相反应过程的基本环节。
由物理化学可知，对于均相二元反应系统，若化学反应依反应式mA+nB→pC进行，则化学反应速率的一般表达式为：
式中CA、CB、CC分别代表A、B和C的浓度；
K为反应速率常数。
它与温度间存在阿累尼乌斯关系：
K为常数，△GR为反应活化能
7.2.2非均相反应
所谓的转化率一般定义为参与反应的一种反应物,在反应过程中占反应了的体积分数。
设反应物颗粒呈球状、半径为R。
则经t时间反应后，反应物颗外层x厚度已被反应，测定义转化率G：
固相化学反应中动力学一般方程式可写成：
式中n为反应级数，K为反应速率常数。
F为反应截面。
当反应物颗粒为球形时，
7.3扩散动力学范围
7.3.1抛物线型速度方程
此方程由平板扩散模型导出。
图7-8
设平板状物质A与B相互接触和扩散生成了厚度为x的AB化合物层。
随后A质点通过AB层扩散到B-AB界面继续反应。
若化学反应速度远大于扩散速度，则过程由扩散控制。
经dt时间，通过AB层迁移的A物质量为dm,平板间接触面积为S；
浓度梯度为dc/dx,则按菲克定律有：
如图所示，A物质在a、b两点处的浓度分别为100%和0%，上式可改写成
由于A物质迁移量dm是比例于Sdx,故
积分得：
F4（G）=x2=2K4’Dt=K4t
反应产物层厚度与时间的平方根成比例。
这是一个重要的基本关系，可以描述各种物理或化学的扩散控制过程并有一定的精确度。
但是由于采用的是平板模型，忽略了反应物间接触面积随着时间变化的因素，使方程的准确度和适用性都受到局限。
7.3.2杨德尔方程（Jander’s）
7.3.2.1杨德尔方程的推导
粉状物料作为原料，在反应过程中，颗粒间接触面积是不断变化的，简单的方法来测定大量粉状颗粒上反应产物层厚度是困难的。
为此，杨德尔在抛物线速度方程基础上采用了“球体模型”导出了扩散控制的动力学关系。
图7-9
杨德尔假设：
（1）反应物是半径为R0的等径球粒；
（2）反应物A是扩散相，即A成分总是包围着B的颗粒，而且A、B同产物C是完全接触的，反应自球表面向中心进行；
（3）A在产物层中的浓度梯度是线性的的，而扩散层截面积一定。
于是：
反应物颗粒初始体积
未反应部分的体积
产物的体积
式中x为反应产物层厚度。
令以B物质为基准的转化程度为G，则
代入抛物线速度方程式得：
即
其中KJ称为杨德尔速度常数。
7.3.2.2杨德尔方程的局限性
1．只适应转化率很小（G很小，即x/R很小），将球型模型转化率代入平板模型抛物线方程式。
2．仅反应物和生成物的比重一样
3．适用稳定扩散。
7.3.2.3杨德尔方程的应用
如果固相反应是由扩散控制的，根据
KJ为斜率，KJ随温度变化而变化（为什么？
）
图7-10
7.3.2.4反应活化能求法：
T1时→KJ（T1）和T2时→KJ（T2）
和
两式消元得：
7.3.3金斯特林格方程
7.3.3.1金斯特林格方程的推导
杨德尔方程只能适用于转化率不大的情况，金斯特林格认为实际反应开始以后生成产物层是一个球壳而不是一个平面。
为此，金斯特林格提出了如图所示的反应扩散模型；
图7-11
当反应物A和B混合均匀后，若A熔点低于B，A可以通过表面扩散或通过气相扩散而布满整个B的表面。
在产物层AB生成之后，反应物A在产物层中扩散速率远大于B、并且在整个反应过程中，反应生成物球壳内壁（即B界面）上，由于化学反应速率远大于扩散速率，扩散到B界面的反应物A可马上与B反应生成AB，其扩散相A浓度恒为零。
故整个反应速度完全由A在生成物球壳AB中的扩散速率所决定。
设单位时间内通过4πr2球面扩散入产物层AB中A的量为dmA/dt,由扩散第一定律：
dmA/dt=D4πr2（
c/
r）r=R-x=M（x）
并设这是稳定扩散过程，因而单位时间内将有相同数量的A扩散通过任一指定的r球面，其量为M（x）。
若反应生成物AB密度为ρ，分子量为μ和AB中A的分子数为n,令ρ·
n/μ=ε。
这时产物层4πr2·
dx体积中积聚A的量为：
（1）
（2）
由
（1）式移项并积分可得：
（3）
把（3）式代入
（2）式令K0=D/ε·
C0得：
（4）
积分上式得：
（5）
将球形颗粒转化率关系式
代入上式得金斯特林格动力学方程式：
）（6）
（7）
7.3.3.2金斯特林格方程和杨德尔方程的比较
金斯特林格方程比杨德尔方程能适用于更大的反应程度。
一般来说杨氏方程仅适用转化率G<
0.3,而金氏方程适合转化率G<
0.8。
此外，金斯特林格方程有较好的普遍性，从其方程本身可以得到进一步说明。
令ξ=x/R,由
式得：
（7）
作
关系曲线，得产物层增厚速率dx/dt随ξ变化规律。
图7-12
当ξ很小即转化率很低时，dx/dt=K/x,方程转化为抛物线。
此时金斯特林格方程等价于杨德尔方程。
随着ξ增大dx/dt很快下降并经历一最小值（ξ=0.5）逐渐上升。
当ξ→1（或ξ→0）时，dx/dt→∞，这说明在反应的初期或终期扩散速率极快，故反应进入化学反应动力学范围，其速率由化学反应速率控制。
比较
令
得：
依上式作关于转化率G图线，由此可见当G值较小时，Q=1，这说明两方程一致。
随着逐渐增加，Q值不断增大，尤其到反应后期Q值随G陡然上升。
这意味着两方程偏差越来越大。
因此，如果说金斯特林格方程能够描述转化率很大情况下的固相反应。
图7-13
7.3.3.3扩散控制的方程的局限性
金斯特林格方程并非对所有扩散控制的固相反应都能适用。
从以上推导可以看出，杨德尔方程和金斯特林格方程均以稳定扩散为基本假设，它们之间所不同的仅在于其几何模型的差别。
就是说，不同的颗粒形状的反应物必然对应着不同形式的动力学方程。
表7.2
7.4影响固相反应的因素
7.7.1反应物化学组成与结构的影响
化学组成与结构是影响固相反应的内因，是决定反应方向和反应速率的重要因素。
A.从热力学角度看，在一定温度、压力条件下，反应可能进行的方向是自由自由焓减少（△G<
0）的方向。
而且△G的负值越大，反应的热力学推动力也越大。
B.从结构上看，反应物的结构状态质点间的化学键性质以及各种缺陷的多少都将反应速率产生影响。
（实验证明，同组成的反应物，其结晶状态、晶型由于其热历史不同易出现很大的差别，从而影响到这种物质的反应活性。
在同一反应系统中，固相反应速度与各反应物间的比例有关。
7.7.2反应物颗粒尺寸及分布的影响
颗粒尺寸大小主要是通过以下途径对固相反应起影响：
A.颗粒尺寸愈小，比表面积愈大，反应界和扩散截面增加，反应产物层厚度减少，反应速度增大。
同时，按威尔表面学说，粒度愈小，键强分布曲线变平，弱键比率增加，反应和扩散能力增强。
B.颗粒尺寸直接反映在各动力学方程中的速度常数K，因为K是反比于颗粒半径R02。
C.同一反应物系由于物料颗粒尺寸不同，反应速度可能会属于不同动力学范围控制。
D.实际生产中往往不可能控制均等的物料粒径，反应物料粒径的分布对反应速率的影响也很重要。
7.7.3反应温度和压力与气氛的影响
A．温度：
是影响固相反应速度的重要外部条件之一。
一般温度升高均有利于反应进行。
由于温度升高，固体结构中的质点热振动动能增大、反应能力和扩散能力均得增强。
对于化学反应其速率数
，扩散系数
，温度升高均提高扩散系数或反应速率常数。
B．压力：
对于纯固相反应，压力的提高可显著地改善粉料颗粒之间的接触状态，增大接触面积，加速物质传递过程，使反应速度增加。
但对于有液相、气相参与的固相反应中，扩散过程主要不是通过固相粒子直接接触进行的。
因此提高压力有时并不表现出积极作用。
（
C．气氛：
气氛对固相反应也许有重要影响影响。
它可通过改变固体吸附特性而影响表面反应活性。
对于非化学计量的化合物，气氛可直接影响晶体表面缺陷的浓度和扩散机构与速度。
（见扩散章节）
7.7.4矿化剂及其它影响因素
矿化剂：
在固相反应体系中加入小量非反应物物质或由于某些可能存在于原料中的杂质则常会对反应产生特殊作用，它们在反应过程中不与反应物或反应产物起化学反应，但它们以不同的方式和程度影响着反应的某些环节。
1）影响晶核的生成速率；
2）影响结晶速率及晶格结构；
3）降低体系共熔点，改善液相性质等。
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