山东省大教育联盟学校届高三毕业班下学期开学收心大联考数学试题及答案.docx

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山东省大教育联盟学校届高三毕业班下学期开学收心大联考数学试题及答案

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山东省大教育联盟学校

2021届高三毕业班下学期开学收心大联考

数学试题

2021年3月

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．若集合A＝，B＝，则

A．ABB．ABC．A＝BD．AB＝

2．已知aR，则“0＜a＜1”是“xR，”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则＝

A．B．C．D．

4．5名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革—庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后5名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有

A．36种B．48种C．72种D．120种

5．著名数学家华罗庚先生曾说过：

“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中,经常用函数的图象来研究函数的性质,也经常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征,如函数在[,]的图像大致为

AB

CD

6．已知抛物线的焦点到双曲线E：

（a＞0,b＞0）的渐近线的距离不大于,则双曲线E的离心率的取值范围是

A．（1,]B．（1,2]C．[,）D．[2,）

7．已知三棱锥P—ABC中,△ABC是以角A为直角的直角三角形,AB＝AC＝2,PB＝PC,PA＝,O1为△ABC的外接圆的圆心,cos∠PAO1＝,那么三棱锥P—ABC外接球的体积为

A．B．C．D．

8．已知定义在[,]上的函数满足,且当x[,1]时,,若方程有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是

A．（,]B．（,]C．（,]D．（,]

二、 多项选择题（本大题共4小题,每小题5分, 共计20分．在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．已知i为虚数单位,则下列结论正确的是

A．复数的虚数部为

B．复数的共轭复数

C．复数在复平面对应的点位于第二象限

D．复数z满足R,则R

10．已知a＞0,b＞0,则下列结论正确的是

A．若,则

B．若,则

C．若＞＞0,则

D．若,则

11．已知（＞0）,则下列说法正确的是

A．若的最小正周期为,则

B．若在（0,）内无零点,则

C．若在（0,）内单调,则

D．若时,直线是函数图象的一条对称轴

12．如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km,P点正东方向12km处有一个城镇,假设一个人驾驶小船的平均行进速度为3km/h,步行的平均速度为5km/h,时间t（单位：

h）表示他从小岛到城镇的时间,x（单位：

km）表示此人将船停在海岸距P点处的距离．设,,则

A．函数为减函数

B．

C．当时,此人从小岛到城镇花费的时间最少

D．当时,此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h

三、填空题（本大题共4小题, 每小题5分,共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家,他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书,题材广泛、妙趣横生,深受广大读者喜爱．下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：

文章首先告诉我们,古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）．如果两个埃及分数与的和可以表示成等．从,,,…,,这100个埃及分数中挑出不同的3个,使得它们的和为1,这三个分数是．（按照从大到小的顺序排列）

14．设,则的值为．

15．若数列满足：

,（n≥3）,n,则称数列为斐波那契数列．斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线,如图1中的实线部分（正方形内的数字与为所在正方形的边长,每个正方形中的曲线与正方形的两边构成圆心角为90°的扇形）．自然界中存在许多这样的图案,比如向日葵种子的排列、芦荟叶子的排列等（如图2）．若一母线长为16的圆锥的底面周长恰好等于图1的螺旋曲线的长度,则该圆锥的侧面积为．

第15题第16题

16．在日常生活中,石子是我们经常见到的材料,比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子,它的主要成分是碳酸钙．某雕刻师计划在底面边长为2m,高为4m的正四棱柱形的石料ABCD—A1B1C1D1中,雕出一个四棱锥O—ABCD和球M的组合体,其中O为正四棱柱的中心,当球的半径r取最大值时,该雕刻师需去除的石料约重kg．（其中≈3.14,石料的密度＝2.4g/cm3,质量）

四、解答题（本大题共6小题,共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知数列的前n项和为,且满足,n．

（1）求数列的通项公式；

（2）设的前n项和为,证明：

．

18．（本小题满分12分）

如图,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,在①b＝c；②2bcosC＋c＝2a；③．这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答．

已知a＝1,C＝,D是边AC上的一点,∠ADB＝,若,求△ABD的面积．

19．（本小题满分12分）

2019年6月25日,《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全国人大常委会审议,草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定．草案提出,国家推行生活垃圾分类制度．为了了解人民群众对垃圾分类的认识,某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人（其中450人为女性）的得分（满分：

100分）数据,统计结果如表所示：

得分

[30,40）

[40,50）

[50,60）

[60,70）

[70,80）

[80,90）

[90,100）

男性人数

女性人数

（1）由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（,210）,近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）,请利用正态分布的知识求P（50.5＜Z＜94）；

（2）把市民分为对垃圾分类“比较了解”（不低于60分的）和“不太了解”（低于60分的）两类,请完成如下2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关？

不太了解

比较了解

合计

男性

女性

合计

（3）从得分不低于80分的被调查者中采用分层抽样的方法抽取10名,再从这10人中随机抽取3人,求抽取的3人中男性人数的分布列及数学期望．

参考数据：

①；

②若X~N（,）,则P（﹣＜X＜＋）≈0.6827,P（﹣2＜X＜＋2）≈0.9545,P（﹣3＜X＜＋3）≈0.9973．

参考公式：

独立性检验统计量,其中．

临界值表：

P（）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

20．（本小题满分12分）

如图,已知平面BCE⊥平面ABC,直线DA⊥平面ABC,且DA＝AB＝AC．

（1）求证：

DA∥平面EBC；

（2）若∠BAC＝,DE⊥平面BCE,求二面角A—BD—E的余弦值．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C：

（a＞b＞0）的离心率为,点P（,）在C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点,H（0,）,试判断在椭圆C上是否存在三个不同点Q,M,N（其中M,N的纵坐标不相等）,满足,且直线HM与直线HN倾斜角互补？

若存在,求出直线MN的方程,若不存在,说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数（x＞0,a＞0）,曲线在点（1,）处的切线在y轴上的截距为．

（1）求a；

（2）讨论函数（x＞0）和（x＞0）的单调性；

（3）设,,求证：

（n≥2）．