中考数学压轴题函数与几何图形综合题.docx

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中考数学压轴题函数与几何图形综合题

函数与几何图形的综合题

1.已知抛物线y=ax2+bx-8（a≠0）的对称轴是直线x=1，

（1）求证：

2a+b=0；

（2）若关于x的方程ax2+bx-8=0，有一个根为4，求方程的另一个根.

解：

（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴-=1，

∴2a+b=0；

（2）∵关于x的方程ax2+bx-8=0，有一个根为4，

∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），

∵抛物线的对称轴为x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），

∴方程的另一个根为x=-2．

2.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y轴交于点A，并且经过点B（3，n）．

（1）求点B的坐标；

（2）如果抛物线y=ax2-4ax+4a-1（a＞0）与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围.

第2题图

解：

（1）把x=3代入y=x+1，得y=3+1=4，∴点B的坐标为B（3，4）；

（2）由题意可知线段AB的解析式为：

y=x+1（0≤x≤3），

∵y=ax2-4ax+4a-1=a（x-2）2-1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），

∵点A（0，1），点B（3，4），

∵当抛物线y=ax2-4ax+4a-1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时，

∴4a−1≥1，32a−4×3a+4a−1＜4①或4a−1＜1，32a−4×3a+4a−1≥4②

解①得≤a＜5，②无解，

综上所述，当≤a＜5时，抛物线与线段AB有一个公共点.

第2题解图

3.已知抛物线y=2x2+bx+c经过点A（2，-1）．

（1）若抛物线的对称轴为x=1，求b，c的值．

（2）求证：

抛物线与x轴有两个不同的交点；

（3）设抛物线顶点为P，若O、A、P三点共线（O为坐标原点），求b的值

解：

（1）由题意得：

8+2b+c＝−1，=1.

解得：

b＝−4，c＝−1；

（2）证明：

把A（2，-1）代入抛物线y=2x2+bx+c得：

8+2b+c=-1，c=-9-2b，

Δ=b2-4×2×c=b2-8（-9-2b）=（b+8）2+8＞0，

∴抛物线与x轴有两个不同的交点；

（3）∵A（2，-1），O（0，0），

∴直线OA的解析式为：

y=.

∵O、A、P三点共线，∴P在直线OA上，

设P（a,）,

则,解得：

b=-8或-9.

4.已知二次函数y=ax2-4ax+3a．

（Ⅰ）求该二次函数的对称轴；

（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；

（Ⅲ）若二次函数的图象开口向下，对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．

解：

（Ⅰ）对称轴x=-=2.

（Ⅱ）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，

∴当x=2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），

∴4a-8a+3a=2，∴a=-2，

∴y=-2x2+8x-6，

∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，

∴当x=1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．

∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，

∴当x=4时，y取到在2≤x≤4上的最小值-6．

∴当1≤x≤4时，y的最小值为-6，即Q（4，-6）．

∴△OPQ的面积为4×（2+6）-2×2÷2-4×6÷2-（4-2）×（2+6）÷2=10；

（Ⅲ）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，

∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，

∴t+1≤5，

∴t≤4，

∴t的最大值为4.

5.已知直线y＝2x＋m与抛物线y＝ax2＋ax＋b有一个公共点M（1，0），且a＜b.

（1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）说明直线与抛物线有两个交点；

（3）直线与抛物线的另一个交点记为N，若－1≤a≤－，求线段MN长度的取值范围．

解：

（1）∵抛物线过点M（1，0），

∴a＋a＋b＝0，即b＝－2a，

∵y＝ax2＋ax＋b＝ax2＋ax－2a＝a（x＋）2－，

∴抛物线顶点Q的坐标为（－，－）；

（2）∵直线y＝2x＋m经过点M（1，0），

∴0＝2×1＋m，解得m＝－2，

把y＝2x－2代入y＝ax2＋ax－2a，得ax2＋（a－2）x－2a＋2＝0①，

∴Δ＝（a－2）2－4a（－2a＋2）＝9a2－12a＋4，

又∵a＜b，b＝－2a，∴a＜0，b＞0，

∴Δ＝9a2－12a＋4＞0，

∴方程①有两个不相等的实数根，

∴直线与抛物线有两个交点；

（3）把y＝2x－2代入y＝ax2＋ax－2a，得ax2＋（a－2）x－2a＋2＝0，

即x2＋（1－）x－2＋＝0，

∴[x＋（－）]2＝（－）2，解得x1＝1，x2＝－2，

将x＝－2代入y＝2x－2得y＝－6，

∴点N（－2，－6），

由勾股定理可得，

MN2＝[（－2）－1]2＋（－6）2＝－＋45＝20（－）2，

∵－1≤a≤－，则－2≤≤－1，

∴－＜0，

∴MN＝2（－）＝3－，

又∵－1≤a≤－，

∴5≤MN≤7.

6.在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y＝x＋4经过A，C两点．在AC上方的抛物线上有一动点P，设点P的横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，过点P作PD∥y轴交AC于点D，当线段PD取得最大值时，求m的值.

第6题图

解：

（1）∵直线y＝x＋4经过A，C两点，

∴A（－4，0），C（0，4），

又∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，C两点，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋4；

（2）∵抛物线的解析式为y＝－x2－x＋4，且点P的横坐标为m（－4

∴P（m，－m2－m＋4），

∵PD∥y轴，直线AC的解析式为y＝x＋4，

∴D（m，m＋4），

∴PD＝－m2－m＋4－（m＋4）＝－m2－2m＝－（m＋2）2＋2，

∴当m＝－2时，线段PD取得最大值.

7.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D.

（1）求抛物线的解析式及sin∠ACP的值；

（2）设点P的横坐标为m.连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9∶10？

若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．

第7题图

解：

（1）由x＋1＝0，得x＝－2，

∴A（－2，0），

由x＋1＝3，得x＝4，∴B（4，3）．

∵y＝ax2＋bx－3经过A、B两点，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2-x－3；

如解图，设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．

∵PC∥y轴，

∴∠ACP＝∠AEO.

∴sin∠ACP＝sin∠AEO＝＝＝；

（2）存在，m＝或.

【解法提示】如解图，过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为点F、G.

由图中几何关系可知∠FDP＝∠DCP＝∠AEO，

∴cos∠FDP＝cos∠AEO＝＝＝，

在Rt△PDF中，DF＝cos∠FDP·PD＝PD＝－（m2－2m－8）．

又∵BG＝4－m，

F

G

∴＝＝＝.

当＝＝时，解得m＝；

当＝＝时，解得m＝.第7题解图

∴m＝或.

8.如图，抛物线y＝x2－x－2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MOM′C，那么是否存在点M，使四边形MOM′C为菱形？

若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由；

第8题图

解：

（1）令y＝0，则x2－x－2＝0，

解得x1＝4，x2＝－1，

∵点A在点B的左侧，∴A（－1，0），B（4，0），

令x＝0，则y＝－2，

∴C（0，－2）；

（2）存在点M，使四边形MOM′C为菱形．

如解图，连接MM′，

设M点坐标为（x，x2－x－2）（0＜x＜4），

∵四边形MOM′C是菱形，

∴MM′垂直平分OC，

∵OC＝2，

∴M点的纵坐标为－1，第8题解图

∴x2－x－2＝－1，

解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去），

∴M点的坐标为（，－1）.

9.如图，一次函数y＝－x＋2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A、B两点.

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，求当t取何值时，MN有最大值？

最大值是多少？

（3）在

（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

解：

（1）∵y＝－x＋2分别交y轴、x轴于A、B两点，

令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝4，

∴A、B点的坐标为：

A（0，2），B（4，0），

将A（0，2），B（4，0）分别代入y＝－x2＋bx＋c中，

得，解得，

∴抛物线的解析式为：

y＝－x2＋x＋2；

（2）点N的坐标为（t，－t2＋t＋2），点M的坐标为（t，－t＋2），

∴MN＝－t2＋t＋2－（－t＋2）＝－t2＋4t＝－（t－2）2＋4（0

∴当t＝2时，MN有最大值，最大值为4；

（3）由

（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5），

①当以AN和AM为对角线时，AD∥MN且AD＝MN，

∴点D在y轴上，设D（0，a），

由AD＝MN，得|a－2|＝4，解得a1＝6，a2＝－2，第9题解图

∴D1（0，6），D2（0，－2）；

②当以MN为对角线时，

由中点坐标公式可得xA＋xD3＝xM＋xN，yA＋yD3＝yM＋yN，∴xD3＝4，yD3＝4，

∴D3（4，4），综上所述，点D的坐标为（0，6）或（0，－2）或（4，4）．

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；

（3）是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？

若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

第10题图

解：

（1）由抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A（0，4）和C（8，0）可得，

∴，解得.

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4；

（2）∵∠AOP＝∠PEB＝90°，∠OAP＝∠EPB＝90°－∠APO，

∴△AOP∽△PEB，则＝＝2，

∵AO＝4，P（t，0），

∴PE＝2，OE＝OP＋PE＝t＋2，

又∵DE＝OA＝4，

∴点D的坐标为（t＋2，4），

∴点D落在抛物线上时，有－（t＋2）2＋（t＋2）＋4＝4，

解得t＝3或t＝－2，

∵t＞0，∴t＝3.

故当t为3时，点D落在抛物线上；

（3）存在，理由：

由

（2）知△AOP∽△PEB，

则＝＝2，

∵P（t，0），即OP＝t.∴BE＝.

①当0＜t＜8时，

若△POA∽△ADB，则＝，

即＝，

整理得t2＋16＝0，∴t无解；第10题解图

若△POA∽△BDA，则＝，即＝，

解得t1＝－2＋2或t2＝－2－2（舍去）