中考初中数学圆的最值问题含答案分析Word文件下载.docx
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为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE
面积的最小值是（
B．1
6．（2013市中区模拟）如图，已知
A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，﹣6），⊙C的
圆心坐标为（0，7），半径为5．若P是⊙C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则
△ABD面积的最大值是（
A．63
B．31
C．32
D．30
7．（2013枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，
那么∠OAP的最大值是（
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
二．填空题（共12小题）
8．（2013武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，知足
AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是
AE=DF．连结
．
CF交
BD于点
G，连结
BE交
9．（2015黄陂区校级模拟）如图，在
Rt△ABC中，∠ACB=90°
，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且
AD=2，
M为BD的中点，在D点运动过程中，线段
CM长度的取值范围是
10
．（2012宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°
，∠ABC=45°
，AB=2
，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径
画⊙O分别交AB，AC于E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为
11
．（2015峨眉山市一模）如图，已知直线
l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=10，OA与⊙O订交于点P，AB与⊙O
相切于点B，BP的延伸线交直线
l于点C．若⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则半径
r的
取值范围是：
12
．（2013长春模拟）如图，在
△ABC中，∠C=90°
，AC=12，BC=5，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别
订交于点P、Q，则PQ长的最小值为
13
．（2013陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点
C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°
，点E、F分别是AC、BC的中点，
直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为
7，则GE+FH的最大值为
14
．（2013咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3
，⊙O的半径为
1，点P是AB边上的动点，过点
P作⊙O的
一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为
15
．（2013内江）在平面直角坐标系
xOy中，以原点O为圆心的圆过点
A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、
C两点，则弦BC的长的最小值为
16
．（2011苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点
O为圆心，2为半径
画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过
P作⊙O切线与x轴订交于点A，与y轴
订交于点B．则线段AB的最小值是
17
．（2015秋江阴市校级期中）如图，
⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与
⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为28，且DE=4，则sin∠ODE=
18．（2014春兴化市校级月考）以下图，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比率函数y=图象上的两点，动点P（x，
0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是．
19．（2015泰兴市二模）如图，定长弦中点，过点C作CP⊥AB于点P，若三．解答题（共5小题）
CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的
CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是．
20．（2013武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O
为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于
点E，BC=a，AC=b．
（1）求证：
AE=b+a；
（2）求a+b的最大值；
（3）若m是对于x的方程：
x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．
21．（2014春泰兴市校级期中）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，知足AE=DF．连结CF交BD于G，连结BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决以下问题：
BE⊥AG；
（2）求线段DH的长度的最小值．
22．已知：
如图，AB是⊙O的直径，在AB的双侧有定点C和动点P，AB=5，AC=3．点P在上运动（点P不与A，
B重合），CP交AB于点D，过点C作CP的垂线，与PB的延伸线交于点Q．
（1）求∠P的正切值；
（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；
（3）当点P运动到什么地点时，CQ取到最大值求此时CQ的长．
23．（2013日照）问题背景：
如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们能够作出点B对于
l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．
（1）实践运用：
如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°
，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则
BP+AP的最小值为．
（2）知识拓展：
如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°
，∠BAC的均分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
24．（2012苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线左边半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为
PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．
l相切于点A，点P是直径AB
C，PC与⊙O交于点D，连结
（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；
（2）当x为什么值时，PDCD的值最大最大值是多少
25、如图，在等腰
Rt△ABC中，∠C=90°
，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点
E不与点A重合），
过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，
线段EF长度的最小值为
A
E
F
EO
D
O
B
C
26、如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，
则⊙O半径的最小值为（
）.
2
3
D.2
B.
C.
27、如图，已知直角△
AOB中，直角极点
O在半径为
1的圆心上，斜边与圆相切，延伸
AO，BO分别与圆交于C，D．试求四边形
ABCD面积的最小值．
2015年12月18日王军的初中数学组卷圆的最值问题
参照答案与试题分析
A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点
象限内一点，且
AC=2，设tan∠BOC=m，则m的取值范围是（
【考点】直线与圆的地点关系；
坐标与图形性质；
锐角三角函数的定义．
【剖析】C在以A为圆心，以2为半径的圆周上，只有当
OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，依据勾股
定理求出此时的
OC，求出∠BOC=∠CAO，依据解直角三角形求出此时的值，依据
tan∠BOC的增减性，即可求出答
案．
【解答】解：
C在以A为圆心，以
2为半径作圆周上，只有当
OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，
AC=2，OA=3，由勾股定理得：
OC=，
∵∠BOA=∠ACO=90，°
∴∠BOC+∠AOC=90，°
∠CAO+∠AOC=90，°
∴∠BOC=∠OAC，
tan∠BOC=tan∠OAC==，
跟着C的挪动，∠BOC愈来愈大，
∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°
，
∴tan∠BOC≥，
应选B．
【评论】本题考察认识直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确立∠BOC的变化范围是解本题的重点，题型比较好，可是有必定的难度．
2．（2013?
武汉模拟）如图∠BAC=60°
，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以
【考点】切线的性质．
【专题】计算题．
【剖析】连结AO并延伸，与圆O交于P点，当AF垂直于ED时，线段DE长最大，设圆O与AB相切于点M，连
接OM，PD，由对称性获得AF为角均分线，获得∠FAD为30度，依据切线的性质获得OM垂直于AD，在直角三角
形AOM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO的长，由AO+OP求出AP的长，即为圆P的半径，
由三角形AED为等边三角形，获得DP为角均分线，在直角三角形PFD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出PF的长，再利用勾股定理求出FD的长，由DE=2FD求出DE的长，即为DE的最大值．
连结AO并延伸，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大，连结OM，PD，可得F为ED的中点，
∵∠BAC=60，°
AE=AD，
∴△AED为等边三角形，
∴AF为角均分线，即∠FAD=30，°
在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°
，
∴OA=2，
∴PD=PA=AO+OP=3，
在Rt△PDF中，∠FDP=30°
，PD=3，∴PF=，
依据勾股定理得：
FD==，
则DE=2FD=3．
应选D
【评论】本题考察了切线的性质，等边三角形的判断与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，娴熟掌握切
线的性质是解本题的重点．
3．（2014?
武汉模拟）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C
两点．若⊙O的半径长为3，OP=，则弦BC的最大值为（）
A．2B．3C．D．3
【考点】垂径定理；
三角形中位线定理．
【剖析】当OP⊥AB时，弦BC最长，依据三角形相像能够确立答案．
当OP⊥AC时，弦BC最长，
又∵AC是直径，
∴∠CBA=90，°
所以△APO∽△ABC，
∴，
又∵OP=，
∴BC=2．
故答案选A．
【评论】本题考察了直径所对的圆周角是900这一性质的应用，以及怎样取线段最值问题的做法，用好三角形相像是解答本题的重点．
4．（2015?
黄陂区校级模拟）如图，扇形AOD中，∠AOD=90°
，OA=6，点P为弧AD上随意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的心里，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P
在弧AD上运动时，r的值知足（）
A．0＜r＜3B．r=3C．3＜r＜3D．r=3
【考点】三角形的内切圆与心里．
【剖析】连OI，PI，DI，由△OPH的心里为I，可获得∠PIO=180°
﹣∠IPO﹣∠IOP=180°
﹣（∠HOP+∠OPH）=135°
而且易证△OPI≌△ODI，获得∠DIO=∠PIO=135°
，所以点过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点O′O=3．
I在以OD为弦，而且所对的圆周角为135°
的一段劣弧上；
P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°
﹣135°
=45°
，得∠DO′O=90°
如图，连OI，PI，DI，
∵△OPH的心里为I，
∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180﹣°
∠IPO﹣∠IOP=180﹣°
（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OD，即∠PHO=90°
（∠HOP+∠OPH）=180﹣°
（180°
﹣90°
）=135，°
在△OPI和△ODI中，
∴△OPI≌△ODI（SAS），
∴∠DIO=∠PIO=135，°
所以点I在以OD为弦，而且所对的圆周角为135°
过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧DO取点P′，连P′D，P′O，
∵∠DIO=135，°
∴∠DP′O=180﹣135°
=45°
，°
∴∠DO′O=90，而°
OD=6，
∴OO′=DO′=3，
∴r的值为3．
应选：
D．
【评论】本题考察的是三角形的内切圆与心里，依据题意作出协助线，结构出全等三角形是解答本题的重点．
5．（2010?
苏州）如图，已知
A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣
1，0），半径为
1．若
D是⊙C上的一个动点，线段
DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）
A．2B．1C．D．
【考点】切线的性质；
三角形的面积；
相像三角形的判断与性质．
【专题】压轴题；
动点型．
【剖析】因为OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙O相切；
可连结CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可获得△ADC的面积；
易证得△AEO∽△ACD，依据相像三角形的面积比等于相像
比的平方，可求出△AOE的面积，从而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．【解答】解：
若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连结CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：
AD=2；
∴S△ACD=AD?
CD=；
易证得△AOE∽△ADC，
∴=（）2=（）2=，
即S△AOE=S△ADC=；
∴S△ABE=S△AOB﹣S△AOE=
×
2×
2﹣
=2﹣
；
另解：
利用相像三角形的对应边的比相等更简单！
C．
【评论】本题主要考察了切线的性质、相像三角形的性质、三角形面积的求法等知识；
能够正确的判断出
△BE面积
最小时AD与⊙C的地点关系是解答本题的重点．
6．（2013?
市中区模拟）如图，已知
A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，﹣6），⊙C的圆心坐标为（
0，7），半径
为5．若P是⊙C上的一个动点，线段
PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是（
A．63B．31C．32D．30
【考点】一次函数综合题．
【剖析】当直线BP与圆相切时，△ABD的面积最大，易证△OBD∽△PBC，依据相像三角形的对应边的比相等即可求得OD的长，则AD的长度能够求得，最后利用三角形的面积公式即可求解．
当直线BP与圆相切时，△ABD的面积最大．
连结PC，则∠CPB=90°
在直角△BCP中，BP===12．
∵∠CPB=90．°
∴∠DOB=∠CPB=90°
又∵∠DBP=∠CBP，
∴△OBD∽△PBC，
∴===，
∴OD=PC=．
∴AD=OD+OA=+8=，
∴S△ABD=AD?
OB=×
×
6=31．
【评论】本题考察了切线的性质，以及相像三角形的判断与性质，理解△ADB的面积最大的条件是重点．
7．（2013?
枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是
（）
含30度角的直角三角形．
【剖析】当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连结OP，依据切线的性质得OP⊥AP，由OB=AB得OA=2OP，然
后依据含30度的直角三角形三边的关系即可获得此时∠OAP的度数．
当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连结OP，如图，
则OP⊥AP，
∵OB=AB，∴OA=2OP，∴∠PAO=30．°
应选D．
【评论】本题考察了切线的性质：
圆的切线垂直于过切点的半径．也考察了含30度的直角三角形三边的关系．
二．填空题（共
12小题）
8．（2013?
武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，知足
AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1
CF交BD于点
BE交
【考点】正方形的性质．
【专题】压轴题．
【剖析】依据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，而后利用“边角边”证明△ABE和△DCF
全等，依据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS证”明△ADG和△CDG全等，依据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而获得∠1=∠3，而后求出∠AHB=90°
，取AB的中点O，连结OH、OD，依据直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半可得
OH=AB=1，利用勾股定理列式求出
OD，而后依据三角形的三边关系可知当
O、D、H三
点共线时，DH的长度最小．
在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=
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