第二学期高二数学理期末试题及答案.docx
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第二学期高二数学理期末试题及答案
高中二年数学（理）科试卷
第一部分选择题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.若，则等于（☆）
A．B．C．D．
2.5名运动员同时参加3项冠军争夺赛（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为：
（☆）
A．B．C．D．
3．某机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力
识图能力
由表中数据，求得线性回归方程为（），若某儿童记忆能力为12，则他识图能力为（☆）
．．．．
4．的展开式，系数最大的项是（☆）
A．第4项B．第4、5两项C．第5项D．第3、4两项
5.箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取一个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为（☆）
A．B．
C.D．
6．除以9的余数是（☆）
A．1B．2C．4D．8
7．随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为（☆）
A．B．C．D．
8.把座位编号为的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为（☆）
A.240B.144C.196D.288
9.李老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：
1
2
3
！
？
！
请小王同学计算的数学期望.尽管“？
”处完全无法看清，且两个“！
”处字迹模糊，但能断定这两个“！
”处的数值相同.据此，小王给出了的正确答案为（☆）
A．B．2C．7D．
10、已知袋中装有标号为1,2,3的三个小球，每次从中任取一个小球（取后放回），连取三次，则取到的小球的最大标号为3的概率为（☆）
A．B．C．D．
11、现安排甲乙丙丁戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文课代表，乙不当数学课代表，若丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，则不同的选法共有多少种（☆）
A、53B、67C、85D、91
12．记为一个位正整数，其中都是正整数，,,若对任意的正整数，至少存在另一个正整数，使得，则称这个数为“位重复数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为（☆）
A．1994个B．4464个C．4536个D．9000个D．9000个
第二部分非选择题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知随机变量服从正态分布，且，则☆
14.一盒子装有4只产品,其中有3只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P（B|A）＝☆
15.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4）.现从袋中任取一球，表示所取球的标号.若，,则的值为☆
16.计算，可以采用以下方法：
构造等式：
两边对求导得：
令，有
类比上述计算方法，计算☆
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）
17．（本小题满分12分）
已知与．
（Ⅰ）若，展开式中含项的系数相等，求实数的值；
（Ⅱ）若展开式中含项的系数相等，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查．调查结果：
接受调查总人数110人，其中男、女各55人；受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动．
（Ⅰ）请根据题目所提供的调查结果填写下列列联表；
看电视
运动
合计
女
男
合计
（Ⅱ）已知．能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？
（注：
，（其中为样本容量））
19．（本小题满分12分）
为支持”2015福州全国青年运动会”，某班拟选派4人为志愿者，经过初选确定5男4女共9名同学成为候选人，每位候选人当选志愿者的机会均等。
（1）求女生1人，男生3人当选时的概率？
（2）设至少有n名男同学当选的概率为，当时，n的最小值？
20.（本小题满分12分）
将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物次，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是,。
（Ⅰ）当为何值时，小球落入袋中的概率最大，并求出最大值；
（Ⅱ）在容器的入口处依次放入个小球，记为落入袋中的小球个数，
求的数学期望．
21．（本小题满分12分）
现有如下投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
（1）投资股市：
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概率
（2）购买基金：
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率
（Ⅰ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围；
（Ⅱ）丙要将家中闲置的20万元钱进行投资，决定在“投资股市”、“购买基金”，或“等额同时投资股市和购买基金”这三种方案中选择一种，已知，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？
（其中第三方案须考察两项获利之和的随机变量Z），给出结果并说明理由．
22．（本小题满分10分）选修4—4：
坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，倾斜角为的直线的参数方程是．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．
高中二年数学（理）科答案
DBCCBDDBBD.BB
1314、15.1116.
17．（本小题满分12分）
17．略解：
（Ⅰ）时与．
由题意得：
，………….（3分）
解得……………………………（6分）
（Ⅱ）由题意得，解得…………………..（9分）
∵，∴……………………（12分）
注：
要有简明的计算过程，只有结果没有过程，阅卷老师可酌情扣分。
18．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）根据题目所提供的调查结果,可得下列列联表：
看电视
运动
合计
女
30
25
55
男
20
35
55
合计
50
60
110
……6分
（Ⅱ）根据列联表中的数据，可计算的观测值：
，……10分
∵，
∴不能在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．
………12分
19．（本小题满分12分）
解：
（1）由于每位候选人当选的机会均等，9名同学中选4人共有种选法，其中女生1人且男生3人当选共有种选法，故可求概率……4分
（2）……6分
……8分
……10分
∴要使，n的最大值为2.……12分
20（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为事件.…………………………………………1分
而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故
…4分
∴当=时，取最小值，取最大值……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，
从而.……………8分
随机变量的所有可能取值为.且～.…………10分
∴……………12分
法2：
随机变量的所有可能取值为.
，，，，.
则的分布列为
0
……………………10分
故的数学期望为.…………………………………12分
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：
记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，
则，且A，B独立.……1分
由上表可知，，.
所以
=
.……3分
因为，所以.
又因为，，所以.
8
0
所以.………4分
（Ⅱ）解：
解：
假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：
万元），所以随机变量的分布列为：
则.……6分
假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：
万元），
所以随机变量的分布列为：
Y
4
0
则.……8分
假设丙选择“等额同时投资股市和购买基金”方案进行投资，
且记Z为丙购买基金的获利金额（单位：
万元），
Z可能取值为6,4,3,2,0，，，
，
，
所以随机变量Z的分布列为：
Z
6
4
3
2
0
…11分
∴最大
所以丙选择“投资股市”，才能使一年后的投资收益的数学期望较大．12分
22．（本小题满分10分）选修4—4：
坐标系与参数方程
解：
（1）由得……………3分
（2）将代入圆的方程得，
化简得.……………5分
设、两点对应的参数分别为、,则,………7分
,
∵
或.……………10分
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