高中数学 第四章 函数应用归纳测试题 北师大版必修1Word格式.docx

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4．函数f（x）的图像如图所示，则函数f（x）的零点个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

[解析]　因为f（x）与x轴有4个交点，所以共有4个零点．

5．若f（x）是一个二次函数，且满足f（2＋x）＝f（2－x），该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝（　　）

A．0B．2

C．4D．无法判断

[答案]　C

[解析]　由f（2＋x）＝f（2－x）知f（x）的图像关于x＝2对称．

∴x1＋x2＝4.

6．夏季高山温度从山脚起每升高100米，降低0.7摄氏度，已知山顶的温度是14.1摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为（　　）

A．1750米B．1730米

C．1700米D．1680米

[解析]　设从山脚起每升高x百米时，温度为y摄氏度，根据题意得y＝26－0.7x，山顶温度是14.1摄氏度，代入得14.1＝26－0.7x.∴x＝17（百米），

∴山的相对高度是1700米．

7．函数f（x）＝2x＋3x的零点所在的一个区间是（　　）

A．（－2，－1）B．（－1,0）

C．（0,1）D．（1,2）

[解析]∵f（x）＝2x＋3x，∴f（－1）＝－

<

0，f（0）＝1>

0，故选B.

8．已知函数f（x）的图像是连续不断的，x、f（x）的对应关系如下表：

x

1

2

3

4

5

6

f（x）

136.136

15.552

－3.92

10.88

－52.488

－232.064

则函数f（x）存在零点的区间为（　　）

A．区间[1,2]和[2,3]

B．区间[2,3]和[3,4]

C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]

D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]

[解析]　由图表可知，f

（2）>

0，f（3）<

0，f（4）>

0，

f（5）<

0.故选C.

9．若方程x2＋（m－2）x＋（5－m）＝0的两根都大于2，则m的取值X围是（　　）

A．（－5，－4]B．（－∞，－4]

C．（－∞，－2）D．（－∞，－5）∪（－5，－4]

[解析]　考查函数f（x）＝x2＋（m－2）x＋（5－m），由条件知它的两个零点都大于2，其图像如图所示．

由图可知，

即

∴－5<

m≤－4.故选A.

10．某商品零售价2015年比2014年上涨25%，欲控制2016年比2014年只上涨10%，则2016年应比2015年降价（　　）

A．15%B．12%

C．10%D．50%

[解析]　1＋10%＝（1＋25%）（1－x%），解得x＝12.

11．设二次函数f（x）＝x2－x＋a，若f（－t）<

0，则f（t＋1）的值（　　）

A．是正数B．是负数

C．是非负数D．正负与t有关

[解析]　因为f（t＋1）＝（t＋1）2－（t＋1）＋a＝t2＋t＋a，f（－t）＝t2＋t＋a，

又∵f（－t）<

0，所以f（t＋1）为负数．

12．（2014·

某某高考）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－3x.则函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点的集合为（　　）

A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}

C．{2－

，1,3}D．{－2－

，1,3}

[解析]　令x<

0，则－x>

∴f（－x）＝（－x）2－3（－x）＝x2＋3x，

又∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），

∴－f（x）＝x2＋3x，

∴f（x）＝－x2－3x（x<

0），

∴f（x）＝

.

∴g（x）＝

当x≥0时，由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.

当x<

0时，由－x2－4x＋3＝0，得x＝－2－

，

∴函数g（x）的零点的集合为{－2－

，1,3}．

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13．函数f（x）＝（x2－3）（x2－2x－3）的零点为________．

[答案]±

，3，－1

[解析]　令f（x）＝0，得x＝±

，或x＝3，或x＝－1.

14．用一根长为12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________．

[答案]　9m2

[解析]　设框架的一边长为xm，则另一边长为（6－x）m.

设框架面积为ym2，则y＝x（6－x）＝－x2＋6x＝－（x－3）2＋9（0<

x<

6），ymax＝9（m2）．

15．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且在（－∞，0）内的零点有2012个，则f（x）的零点的个数为________．

[答案]　4025

[解析]　因为f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内有2012个零点，由奇函数的对称性知，在（0，＋∞）内也有2012个零点，又x∈R，所以f（0）＝0，因此共4025个零点．

16．（2014·

某某高考）函数f（x）＝

的零点个数是________．

[答案]　2

[解析]　当x≤2，令x2－2＝0，得x＝－

；

当x>

0时，令2x－6＋lnx＝0，

即lnx＝6－2x，

在同一坐标系中，画出函数y＝6－2x与y＝lnx的图像如图所示．

由图像可知，当x>

0时，函数y＝6－2x与y＝lnx的图像只有一个交点，即函数f（x）有一个零点．

综上可知，函数f（x）有2个零点．

三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：

（1）f（x）＝－8x2＋7x＋1；

（2）f（x）＝x2＋x＋2；

（3）f（x）＝x3＋1.

[解析]　

（1）因为f（x）＝－8x2＋7x＋1

＝－（8x＋1）（x－1），

令f（x）＝0，可解得x＝－

或x＝1，

所以函数的零点为－

和1.

（2）令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝12－4×

1×

2＝－7<

0，所以方程无实数解．

所以f（x）＝x2＋x＋2不存在零点．

（3）因为f（x）＝x3＋1＝（x＋1）（x2－x＋1），

令（x＋1）（x2－x＋1）＝0，

解得x＝－1.所以函数的零点为－1.

18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2－x＋m的零点都在区间（0,2）内，某某数m的X围．

[解析]　由题意可得

解得0<

m≤

.所以实数m的取值X围是（0，

]．

19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝

若方程f（x）＝k无实数解，求k的取值X围．

[解析]　当x≥

时，函数f（x）＝lgx是增函数，

∴f（x）∈[lg

，＋∞]；

时，函数f（x）＝lg（3－x）是减函数，

∴f（x）∈（lg

，＋∞）．故f（x）∈[lg

，＋∞）．

要使方程无实数解，则k<

lg

故k的取值X围是（－∞，lg

）．

20．（本小题满分12分）某公司从2004年的年产值100万元，增加到10年后2014年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？

（ln（1＋x）≈x，lg2＝0.3，ln10＝2.30）

[解析]　设每年年增长率为x，

则100（1＋x）10＝500，即（1＋x）10＝5，

两边取常用对数，得

10·

lg（1＋x）＝lg5，

∴lg（1＋x）＝

＝

（lg10－lg2）＝

又∵lg（1＋x）＝

∴ln（1＋x）＝lg（1＋x）·

ln10.

∴ln（1＋x）＝

×

ln10＝

2.30＝0.161＝16.1%.

又由已知条件：

ln（1＋x）≈x得x≈16.1%.

故每年的平均增长率约为16.1%.

21．（本小题满分12分）是否存在这样的实数a，使函数f（x）＝x2＋（3a－2）x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？

若存在，求出X围；

若不存在，请说明理由．

[解析]　若实数a满足条件，则只需f（－1）f（3）≤0即可．

f（－1）f（3）＝（1－3a＋2＋a－1）（9＋9a－6＋a－1）＝4（1－a）（5a＋1）≤0，所以a≤－

或a≥1.

检验：

（1）当f（－1）＝0时a＝1，所以f（x）＝x2＋x.

令f（x）＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.

方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.

（2）当f（3）＝0时a＝－

，此时f（x）＝x2－

x－

令f（x）＝0，即x2－

＝0.

解得，x＝－

或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－

综上所述，a∈（－∞，－

）∪（1，＋∞）．

22．（本小题满分12分）某房地产公司要在荒地ABCDE（如图所示）上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：

如何设计才能使公寓占地面积最大？

求出最大面积（尺寸单位：

m）．

[分析]　解答本题可先进行分类讨论，在各种情况下列出函数关系式并求最值，然后比较得到所求解的情况．

[解析]　如图所示，设计长方形公寓分三种情况：

（1）当一顶点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB1面积最大，

∴S1＝SBCDB1＝5600m2.

（2）当一顶点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，

∴S2＝SAA1DE＝6000m2.

（3）当一顶点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE.

设MQ＝x（0≤x≤20），∴MP＝PQ－MQ＝80－x.

又OA＝20，OB＝30，则

∴

，∴QB＝

x，

∴MN＝QC＝QB＋BC＝

x＋70，

∴S3＝SMNDP＝MN·

MP＝（70＋

x）·

（80－x）

＝－

（x－

）2＋

当x＝

时，S3＝

.比较S1，S2，S3，得S3最大，

此时MQ＝

m，BM＝

m，

故当长方形一顶点落在AB边上离B点

m处时公寓占地面积最大，最大面积为

m2.