第21部分 轴对称Word格式文档下载.docx

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例1

（1）等腰三角形的一个角是32°

，求底角.

（2）等腰三角形的一个角是100°

分析：

等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角.

解：

（1）当32°

是底角时，底角即为32°

；

　　　　当32°

是顶角时，底角为

，即为74°

.

（2）因100°

只能是顶角，所以底角是

，即为40°

例2有一个等腰三角形，三边分别是3x－2,4x－3,6－2x,求等腰三角形的周长.

已知等腰三角形三边长，说明必有两边相等，但必须分三种情况分析.

（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，

　　　　则三边为1，1，4，

　　　　由于1＋1＜4，所以不成立；

（2）当3x－2＝6－2x时，

　　　　即

，则三边为

　　　　由于

，所以成立；

　　（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，

　　　　则三边为2.5，3，3，

　　　　由于2.5＋3＞3，所以成立.

由上可知等腰三角形周长为9或8.5.

注意涉及到边的问题时，可以按腰、底边分类讨论。

例3.如图的三角形测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂。

调整架身，使点A恰好在重锤线上。

这时BC处于水平位置，为什么？

∵AB=AC，BD=CD

∴AD⊥BC（三线合一）

∵使点AD恰好在重锤线上

∴BC处于水平位置

例4.上午8时，一条船从A处出发，以15海里/时的速度向

正北航行，9时45分到达B处。

从A测得灯塔C在北偏西26°

，

从B测得灯塔C在北偏西52°

求B、C两点的距离.

据题意得，∠A＝26°

，∠DBC＝52°

∵∠DBC＝∠A+∠C

∴∠A＝∠C＝26°

∴AB=BC

∵AB=

∴BC＝26.25（海里）

答：

B、C两点的距离为26.25海里.

注意“如果一个三角形的外角等于和它不相邻的一个内角的2倍，那么这是一个等腰三角形”，这是判定一个三角形为等腰三角形的重要方法。

例5已知：

如图，∠DAC是△ABC的外角，∠1=∠2,且AE∥BC。

求证:

AB=AC

证明:

∵AE∥BC

∴∠1=∠B（两直线平行,同位角相等）

∠2=∠C（两直线平行,内错角相等）

∵∠1=∠2

∴∠B=∠C

∴AB=AC（等角对等边）

例6如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°

，BD平分∠ABC，

CE平分∠ACB，CE与BD交于点O，求图中所有的等腰三角形.

识别等腰三角形关键寻找该三角形是否有两边相等或两个内角相等，一般用到三角形内角和与外角定理及等腰三角形性质与角平分线、平行线等性质.

∵AB＝AC，

　　∴∠ABC＝∠ACB＝

　　∵BD、CE平分∠ABC、∠ACB

　　∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝∠BCE＝36°

　　∴∠A＝∠ACE,∠A＝∠ABD,∠OBC＝∠OCB

　　∴△ABD、△ACE、△OBC是等腰三角形.

　　又∵∠BEC＝∠A＋∠ACE＝72°

　　　∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°

　　　∠BOE＝∠COD＝∠OBC＋∠OCB＝72°

　　∴∠BEC＝∠ABC，∠BDC＝∠ACB

　　∠BEO＝∠BOE，∠ODC＝∠COD

　∴△BOE、△COD、△BCE、△BCD是等腰三角形.

∴图中等腰三角形共有8个，分别是△ABC、△ABD、△ACE、△OBC、△BOE、△COD、△BCE、△BCD.

例7如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，

使CE＝CD，AB＝10cm.

（1）求BE的长；

（2）△BDE是什么三角形，为什么？

（1）欲求BE，即求BC与CE的和，而BC＝AB＝10cm，即求CE.CE在△DCE中，寻找关系CE＝CD，即求CD，D为AC的中点，则CD＝5cm.

（2）利用等边三角形的三线合一的性质，求∠DBE＝∠E.

（1）∵△ABC是等边三角形，

　　　　∴AB＝AC＝BC＝10cm

　　　　又D是AC的中点，

　　　　∴CD＝

AC＝5cm

　　　　又CD＝CE

　　　　∴CE＝5cm

　　　　BE＝BC＋CE＝10＋5＝15cm.

（2）△BDE是等腰三角形，理由：

　　　　∵等边△ABC，D是AC的中点，

　　　　∴∠ABC＝∠ACB＝60°

　　　　∠DBC＝

　　　　又∵CD＝CE

　　　　∴∠CDE＝∠CED

　　　　又∠ACB＝∠CDE＋∠CED

　　　　∴∠DEC＝

　　　　∴∠DBE＝∠CED

　　　　∴BD＝ED

　　　　∴△BDE是等腰三角形.

例8求证：

等腰三角形两底角的角平分线的交点到底边的两端点距离相等。

这是一个文字叙述的几何证明题。

因此首先要分清题设和结论。

根据题设和结论画出图形，并标上字母，再根据图形写出已知、求证，然后证明。

已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是两条角平分线，

并且BD、CE交于点O。

求证：

OB＝OC。

要证两条线段相等，我们目前有三种方法：

一是证这两条线段所在的两个三角形全等；

二是利用角平分线的性质定理；

三是利用等腰三角形的判定定理。

由于要证的两条线段OB、OC在同一个三角形中，故可考虑利用“等角对等边”。

将问题转化为证明这两条线段所对的两个角相等.

∵AB=AC（等角对等边）

∴∠ABC=∠ACB

∵BD、CE是两底角的平分线

∴∠OBC=

∠ABC，∠OCB=

∠ACB

∴∠OBC=∠OCB

∴OB＝OC。

强化训练

一、填空题

1.若等腰三角形的一边长为4cm，周长为10cm，则另外两边长为__________.

2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°

，则它的底角为__________.

3.在等腰三角形中，若一个内角是另一个内角的2倍，则它们的顶角为__________.

4.如图所示，∠A＝20°

，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEM＝__________.

　5.等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分为两部分的差为2cm，则该三角形的腰长为__________.

二、选择题

1.底和腰不相等的等腰三角形，其角平分线、中线和高一共有（）条.

A.3 

B.5 

C.7 

D.9

2.等腰三角形的底角与相邻角的关系是（）

A.底角大于等于相邻外角；

B.底角小于等于相邻外角

C.底角大于相邻外角；

D.底角小于相邻外角

3.如果一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°

，那么这个三角形的底角为（）度.

A.45°

B.67.5°

C.90°

D.135°

4.已知：

如图，在△ABC中，D、E是BC上两点，AD、AE分别平分∠BAE、∠DAC，若∠B=∠C，∠ADE=∠AED=2∠B，则图中共有（）个等腰三角形

B.4 

C.5 

D.6

5.下列命题正确的是（）

A.顶角相等的两个等腰三角形全等

B.等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半

C.△ABC中，∠C=2∠B，则AB=2AC

D.等腰三角形底边上的高不会等于底边的一半.

6.下列语句正确的有（）个；

（1）等腰三角形的高一定平分底边；

（2）等腰三角形的角平分线垂直平分对边；

（3）等腰三角形底角平分线垂直一腰；

（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。

A1B2C3D4.

三、解答下列各题

1.已知△ABC中，∠C=90°

，沿过B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合，如图所示

（1）要使D恰为AB的中点，还应添加一个什么条件？

（请你写出三种不同的添加条件）

（2）选择

（1）中的某一个添加条件作为题目的补充条件，试说明其能使D为AB中点的理由。

解

（1）添加条件：

①；

②；

③。

（2）说明：

2.已知:

如图,在△ABC中，AB=AC,BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB并交于点O,过点O作DE∥BC.问图中有多少个等腰三角形?

3..如图：

已知△ABC中，AD=CD=DB。

∠ACB=90°

4.如图所示，在△ABC中，∠A＝100°

，BD＝BE，CD＝CF，求∠EDF的度数.

第二讲轴对称线段的垂直平分线、角平分线

1.轴对称和它的性质

（1）如果一个图形沿着一条直线折叠，能够和另一个图形相互重合，那么这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它的对称轴。

（2）①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等.

②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是对应点连线的垂直平分线.

③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.

（3）轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

2.

（1）线段的垂直平分线的性质：

线段的垂直平分线的一点，到这条线段的两端的距离相等。

反过来，到线段的两端的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（2）角平分线的性质

　在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等．　　 

例1填空题

（1）．下列数字中，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，是轴对称的有。

请找出3个轴对称的汉字。

（2）.下列图形中，是对称图形的且只有一条对称轴的是，有两条对称轴的是，有三条对称轴的是，有无数条对称轴的是_______。

例2如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法，但要保留作图痕迹）

作法：

1.作A关于a的对称点A`;

2.连结A`B交a于点P.

则点P即为所求.

例3已知△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠A＝50°

，AB的垂直平分线MN分别交AB于D，交AC于E，

BC＝6cm。

求：

（1）∠EBC的度数；

（2）△BEC的周长

解:

①∵∠A=50°

∴∠ABC+∠C=130°

∵AB=AC

∴∠ABC=∠C=65°

（）

∵DE是AB的垂直平分线

∴EA=EB（）

∴∠A=∠ABE=50°

∴∠EBC=15°

②∵EA=EB

∴BC+EC+CE=BC+EA+CE

=AC+BC=8+6=14（cm）

即△BEC的周长为14cm

例4.△ABC中，AD⊥BC于D，AB＋BD＝DC

∠B＝2∠C

证法1：

在DC上截取DE＝BD

则DC－BD＝DC－DE＝EC

而AB＋BD＝DC

即DC－BD＝AB

∴EC＝AB

∵AD⊥BC于D

∴AD是BE的垂直平分线

∴AB＝AE（垂直平分线定理）

∴∠B＝∠AEB（等边对等角）

∴AE＝EC

∴∠EAC＝∠C

又∠AEB＝∠C＋∠EAC＝2∠C

∴∠B＝2∠C

证法2：

延长DB到E，

使BE＝AB则AB＋BD＝DE

∵AD⊥BC　AB＋BD＝DC

∴AD是EC的垂直平分线（垂直平分线定义）

∴AE＝AC

（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）

∴∠E＝∠C（等边对等角）

又∠E＝∠EAB（等边对等角）

∠ABD＝∠E＋∠EAB＝2∠C

即∠B＝2∠C

【注意】有关线段和或差的问题，或者已知有关线段和或差的条件常常采取“截长”或者“补短”的办法来解决。

“截长”就是在较长的线段上截取一条线段等于其中较短的线段，从而添上辅助线，如本题中的证法1。

类似的，证法2即为“补短”。

一、判断题

（1）关于某一条直线对称的两个图形叫轴对称图形.（）

（2）等腰三角形底边中线是等腰三角形的对称轴.（）

（3）若两个三角形三个顶点分别关于同一直线对称，则两个三角形关于该直线轴对称.（）

（4）轴对称图形的对称轴有且只有一条.（）

（5）正方形的对称轴有四条.（）

1.△ABC中∠C=Rt∠，有一点既在BC的对称轴上，又在AC对称轴上，则该点一定是（）

A.C点B.BC中点C.AC中点D.AB中点

2.在角、线段、等边三角形、平行四边形形中，轴对称图形有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.下列说法正确的是（）

A.等边三角形只有一条对称轴B.等腰三角形对称轴为底边上的高

C.直线AB不是轴对称图形D.等腰三角形对称轴为底边中线所在直线

4.下列图形中，不是轴对称图形的是（）

5.点O为锐角△ABC的∠C平分线上一点，O关于AC、BC的对称点分别为P、Q，则△POQ一定是（）

A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

6.下列图形中，既是轴对称，也是中心对称的图形是（）

A、B、C、

A、B、C、D、

三、填空题

1.一个等腰三角形中，角平分线、高线和中线的总数最多有_____条.

2.下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？

请指出这个图形，并简述你的理由．答：

图形；

理由是：

3.如图2（3），

ABC中，DF是边AC的垂直平分线，AC=6cm，

ABD的周长为13cm，则

ABC的周长为______

.

如图2（4），把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O．写出一组相等的线段________

（不包括AB＝CD和AD＝BC）．

5.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°

，把△ADC沿AD对折，点C落在点

的位置，则

与BC之间的数量关系是．

四、解答题

1.如图，在正方形网格上有一个△ABC.

（1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；

（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积.

2、如图所示，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分别交OA、OB于E、F.⑴若△PEF的周长是20cm，求MN的长.

⑵若∠AOB=30°

，试判断△MNO的形状，并说明理由

3.在△ABC中，∠B＝2∠C，AD为∠A的平分线。

AC＝AB＋BD。

第21部分复习测试题

一、填空

1.（2003年湖北省宜昌）三角形按边的相等关系分类如下：

2.（深圳市2004年）等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则它的周长为________.

3.（四川资阳2004）如图，在ΔABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则ΔPDE的周长是___________cm.

4.（2003年湖北省娄底）等腰直角三角形一条直角边的长为1cm，那么它斜边长上的高是__________　　　　cm.

5.（河南省2003年）如图，在等腰梯形ABCD中AD//BC，

AB=DC，CD=BC，E是BA、CD延长线的交点，∠E=40°

则∠ACD=____________度.

6.（南宁市2003年）将一张长方形的纸对折，如图5所示可得到一条折痕（图中虚线）．续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到条折痕．如果对折n次，可以得到条折痕．

7.（宁夏2003）将一个正六边形的纸片对折，并完全重合.那么，得到的图形是____边形,它的内角和（按一层计算）是_____度.

8.（北京市石景山区2004）．在你学过的几何图形中，是轴对称图形的有______________（写出两个即可）。

9.（连云港市2004年）．如图，平面镜A与B之间夹角为110°

，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若

，则

的度数为．

10．（浙江省温州市2003年）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°

，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　　　．

1哈尔滨市2003年如图2

（1），△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为．（）

（A）30°

（B）36°

（C）45°

（D）70°

2.（青海省2003）若等腰三角一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）

（A）

或

　（B）

　（C）

　（D）

3.（重庆市2003年）如图：

△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD。

有下列四个命题：

①∠PBC＝150；

②AD∥BC；

③直线PC与AB垂直；

④四边形ABCD是轴对称图形。

其中正确结论的个数为（）

A、1B、2C、3D、4

4.（2004年南通市）已知等腰三角形的一个底角等于30°

，则这个等腰三角形的顶角等于（）

A、150°

B、120°

C、75°

D、30°

5.（长春市2004年）下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中，是轴对称图形的有（）

　　　　A．1个　　B．2个　　　　C．3个　　D．4个

6.（2003年陕西）将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）．

A矩形B三角形

C梯形D菱形

7.（2003上海闵行）如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，直线BD交AC于D，把直角三角形沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上，如果△ABD是等腰三角形，那么∠A等于（）

A、600B、450C、300D、22.50

三、完成下列各题

1．（2003年山西）请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆，在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简炼的文字说明你的创意。

2.（2003湘潭市）如图，107国道OA和320国道OB在我市相交于O点，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA、OB的距离相等，且使PC=PD，画出货站的位置（不写画法，保留作图痕迹，写出结论）.

3（长春市2004年）．如图，Rt△ABC中，∠C=90°

（1）请以AC所在的直线为对称轴，画出与△ABC成轴对称的图形；

（2）所得图形与原图形组成的图形是等腰三角形吗？

请说明理由.

4．（河南省2003年）已知：

如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF//AC交CE的延长线于点F.求证：

AB垂直平分DF.

5.（2003年无锡市）做一做:

用四块如图1的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3、图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.

6.（2003年山西）取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：

先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图

（1）；

第二步：

再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B`，得Rt△AB`E，如图

（2）；

第三步：

沿EB`线折叠得折痕EF，如图（3）。

利用展开图（4）探究：

（1）△AEF是什么三角形？

（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？

请说明理由。

四、（2004泰州市）已知：

如图，点D、E在△ABC的边BC上,AD=AE,BD=EC.求证：

AB=AC

五、（河南省2001年）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD＝AC，求∠B︰∠C的值．