第21部分 轴对称Word格式文档下载.docx
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例1
(1)等腰三角形的一个角是32°
,求底角.
(2)等腰三角形的一个角是100°
分析:
等腰三角形的一个角可能指底角,也可能指顶角,须分情况讨论,但顶角可以是锐有、直角、钝角,而底角只能是锐角.
解:
(1)当32°
是底角时,底角即为32°
;
当32°
是顶角时,底角为
,即为74°
.
(2)因100°
只能是顶角,所以底角是
,即为40°
例2有一个等腰三角形,三边分别是3x-2,4x-3,6-2x,求等腰三角形的周长.
已知等腰三角形三边长,说明必有两边相等,但必须分三种情况分析.
(1)当3x-2=4x-3时,即x=1,
则三边为1,1,4,
由于1+1<4,所以不成立;
(2)当3x-2=6-2x时,
即
,则三边为
由于
,所以成立;
(3)当4x-3=6-2x时,即x=1.5,
则三边为2.5,3,3,
由于2.5+3>3,所以成立.
由上可知等腰三角形周长为9或8.5.
注意涉及到边的问题时,可以按腰、底边分类讨论。
例3.如图的三角形测平架中,AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂。
调整架身,使点A恰好在重锤线上。
这时BC处于水平位置,为什么?
∵AB=AC,BD=CD
∴AD⊥BC(三线合一)
∵使点AD恰好在重锤线上
∴BC处于水平位置
例4.上午8时,一条船从A处出发,以15海里/时的速度向
正北航行,9时45分到达B处。
从A测得灯塔C在北偏西26°
,
从B测得灯塔C在北偏西52°
求B、C两点的距离.
据题意得,∠A=26°
,∠DBC=52°
∵∠DBC=∠A+∠C
∴∠A=∠C=26°
∴AB=BC
∵AB=
∴BC=26.25(海里)
答:
B、C两点的距离为26.25海里.
注意“如果一个三角形的外角等于和它不相邻的一个内角的2倍,那么这是一个等腰三角形”,这是判定一个三角形为等腰三角形的重要方法。
例5已知:
如图,∠DAC是△ABC的外角,∠1=∠2,且AE∥BC。
求证:
AB=AC
证明:
∵AE∥BC
∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等)
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等)
∵∠1=∠2
∴∠B=∠C
∴AB=AC(等角对等边)
例6如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°
,BD平分∠ABC,
CE平分∠ACB,CE与BD交于点O,求图中所有的等腰三角形.
识别等腰三角形关键寻找该三角形是否有两边相等或两个内角相等,一般用到三角形内角和与外角定理及等腰三角形性质与角平分线、平行线等性质.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=
∵BD、CE平分∠ABC、∠ACB
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE=36°
∴∠A=∠ACE,∠A=∠ABD,∠OBC=∠OCB
∴△ABD、△ACE、△OBC是等腰三角形.
又∵∠BEC=∠A+∠ACE=72°
∠BDC=∠A+∠ABD=72°
∠BOE=∠COD=∠OBC+∠OCB=72°
∴∠BEC=∠ABC,∠BDC=∠ACB
∠BEO=∠BOE,∠ODC=∠COD
∴△BOE、△COD、△BCE、△BCD是等腰三角形.
∴图中等腰三角形共有8个,分别是△ABC、△ABD、△ACE、△OBC、△BOE、△COD、△BCE、△BCD.
例7如图,在等边△ABC中,D是AC的中点,延长BC到点E,
使CE=CD,AB=10cm.
(1)求BE的长;
(2)△BDE是什么三角形,为什么?
(1)欲求BE,即求BC与CE的和,而BC=AB=10cm,即求CE.CE在△DCE中,寻找关系CE=CD,即求CD,D为AC的中点,则CD=5cm.
(2)利用等边三角形的三线合一的性质,求∠DBE=∠E.
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC=10cm
又D是AC的中点,
∴CD=
AC=5cm
又CD=CE
∴CE=5cm
BE=BC+CE=10+5=15cm.
(2)△BDE是等腰三角形,理由:
∵等边△ABC,D是AC的中点,
∴∠ABC=∠ACB=60°
∠DBC=
又∵CD=CE
∴∠CDE=∠CED
又∠ACB=∠CDE+∠CED
∴∠DEC=
∴∠DBE=∠CED
∴BD=ED
∴△BDE是等腰三角形.
例8求证:
等腰三角形两底角的角平分线的交点到底边的两端点距离相等。
这是一个文字叙述的几何证明题。
因此首先要分清题设和结论。
根据题设和结论画出图形,并标上字母,再根据图形写出已知、求证,然后证明。
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是两条角平分线,
并且BD、CE交于点O。
求证:
OB=OC。
要证两条线段相等,我们目前有三种方法:
一是证这两条线段所在的两个三角形全等;
二是利用角平分线的性质定理;
三是利用等腰三角形的判定定理。
由于要证的两条线段OB、OC在同一个三角形中,故可考虑利用“等角对等边”。
将问题转化为证明这两条线段所对的两个角相等.
∵AB=AC(等角对等边)
∴∠ABC=∠ACB
∵BD、CE是两底角的平分线
∴∠OBC=
∠ABC,∠OCB=
∠ACB
∴∠OBC=∠OCB
∴OB=OC。
强化训练
一、填空题
1.若等腰三角形的一边长为4cm,周长为10cm,则另外两边长为__________.
2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°
,则它的底角为__________.
3.在等腰三角形中,若一个内角是另一个内角的2倍,则它们的顶角为__________.
4.如图所示,∠A=20°
,AB=BC=CD=DE=EF,则∠FEM=__________.
5.等腰三角形底边长为6cm,一腰上的中线把它的周长分为两部分的差为2cm,则该三角形的腰长为__________.
二、选择题
1.底和腰不相等的等腰三角形,其角平分线、中线和高一共有()条.
A.3
B.5
C.7
D.9
2.等腰三角形的底角与相邻角的关系是()
A.底角大于等于相邻外角;
B.底角小于等于相邻外角
C.底角大于相邻外角;
D.底角小于相邻外角
3.如果一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°
,那么这个三角形的底角为()度.
A.45°
B.67.5°
C.90°
D.135°
4.已知:
如图,在△ABC中,D、E是BC上两点,AD、AE分别平分∠BAE、∠DAC,若∠B=∠C,∠ADE=∠AED=2∠B,则图中共有()个等腰三角形
B.4
C.5
D.6
5.下列命题正确的是()
A.顶角相等的两个等腰三角形全等
B.等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半
C.△ABC中,∠C=2∠B,则AB=2AC
D.等腰三角形底边上的高不会等于底边的一半.
6.下列语句正确的有()个;
(1)等腰三角形的高一定平分底边;
(2)等腰三角形的角平分线垂直平分对边;
(3)等腰三角形底角平分线垂直一腰;
(4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。
A1B2C3D4.
三、解答下列各题
1.已知△ABC中,∠C=90°
,沿过B的一条直线BE折叠这个三角形,使点C与AB边上的一点D重合,如图所示
(1)要使D恰为AB的中点,还应添加一个什么条件?
(请你写出三种不同的添加条件)
(2)选择
(1)中的某一个添加条件作为题目的补充条件,试说明其能使D为AB中点的理由。
解
(1)添加条件:
①;
②;
③。
(2)说明:
2.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB并交于点O,过点O作DE∥BC.问图中有多少个等腰三角形?
3..如图:
已知△ABC中,AD=CD=DB。
∠ACB=90°
4.如图所示,在△ABC中,∠A=100°
,BD=BE,CD=CF,求∠EDF的度数.
第二讲轴对称线段的垂直平分线、角平分线
1.轴对称和它的性质
(1)如果一个图形沿着一条直线折叠,能够和另一个图形相互重合,那么这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴。
(2)①关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等.
②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.
(3)轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够相互重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。
2.
(1)线段的垂直平分线的性质:
线段的垂直平分线的一点,到这条线段的两端的距离相等。
反过来,到线段的两端的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
(2)角平分线的性质
在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等.
例1填空题
(1).下列数字中,0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,是轴对称的有。
请找出3个轴对称的汉字。
(2).下列图形中,是对称图形的且只有一条对称轴的是,有两条对称轴的是,有三条对称轴的是,有无数条对称轴的是_______。
例2如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同旁,为了方便灌溉作物,要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两池,问该站建在河边哪一点,可使所修的渠道最短,试在图中画出该点(不写作法,但要保留作图痕迹)
作法:
1.作A关于a的对称点A`;
2.连结A`B交a于点P.
则点P即为所求.
例3已知△ABC中,AB=AC=8cm,∠A=50°
,AB的垂直平分线MN分别交AB于D,交AC于E,
BC=6cm。
求:
(1)∠EBC的度数;
(2)△BEC的周长
解:
①∵∠A=50°
∴∠ABC+∠C=130°
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=65°
()
∵DE是AB的垂直平分线
∴EA=EB()
∴∠A=∠ABE=50°
∴∠EBC=15°
②∵EA=EB
∴BC+EC+CE=BC+EA+CE
=AC+BC=8+6=14(cm)
即△BEC的周长为14cm
例4.△ABC中,AD⊥BC于D,AB+BD=DC
∠B=2∠C
证法1:
在DC上截取DE=BD
则DC-BD=DC-DE=EC
而AB+BD=DC
即DC-BD=AB
∴EC=AB
∵AD⊥BC于D
∴AD是BE的垂直平分线
∴AB=AE(垂直平分线定理)
∴∠B=∠AEB(等边对等角)
∴AE=EC
∴∠EAC=∠C
又∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C
∴∠B=2∠C
证法2:
延长DB到E,
使BE=AB则AB+BD=DE
∵AD⊥BC AB+BD=DC
∴AD是EC的垂直平分线(垂直平分线定义)
∴AE=AC
(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)
∴∠E=∠C(等边对等角)
又∠E=∠EAB(等边对等角)
∠ABD=∠E+∠EAB=2∠C
即∠B=2∠C
【注意】有关线段和或差的问题,或者已知有关线段和或差的条件常常采取“截长”或者“补短”的办法来解决。
“截长”就是在较长的线段上截取一条线段等于其中较短的线段,从而添上辅助线,如本题中的证法1。
类似的,证法2即为“补短”。
一、判断题
(1)关于某一条直线对称的两个图形叫轴对称图形.()
(2)等腰三角形底边中线是等腰三角形的对称轴.()
(3)若两个三角形三个顶点分别关于同一直线对称,则两个三角形关于该直线轴对称.()
(4)轴对称图形的对称轴有且只有一条.()
(5)正方形的对称轴有四条.()
1.△ABC中∠C=Rt∠,有一点既在BC的对称轴上,又在AC对称轴上,则该点一定是()
A.C点B.BC中点C.AC中点D.AB中点
2.在角、线段、等边三角形、平行四边形形中,轴对称图形有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.下列说法正确的是()
A.等边三角形只有一条对称轴B.等腰三角形对称轴为底边上的高
C.直线AB不是轴对称图形D.等腰三角形对称轴为底边中线所在直线
4.下列图形中,不是轴对称图形的是()
5.点O为锐角△ABC的∠C平分线上一点,O关于AC、BC的对称点分别为P、Q,则△POQ一定是()
A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
6.下列图形中,既是轴对称,也是中心对称的图形是()
A、B、C、
A、B、C、D、
三、填空题
1.一个等腰三角形中,角平分线、高线和中线的总数最多有_____条.
2.下面四个图形中,从几何图形的性质考虑,哪一个与其它三个不同?
请指出这个图形,并简述你的理由.答:
图形;
理由是:
3.如图2(3),
ABC中,DF是边AC的垂直平分线,AC=6cm,
ABD的周长为13cm,则
ABC的周长为______
.
如图2(4),把一张矩形纸片ABCD沿BD对折,使C点落在E处,BE与AD相交于点O.写出一组相等的线段________
(不包括AB=CD和AD=BC).
5.如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°
,把△ADC沿AD对折,点C落在点
的位置,则
与BC之间的数量关系是.
四、解答题
1.如图,在正方形网格上有一个△ABC.
(1)作△ABC关于直线MN的对称图形(不写作法);
(2)若网格上的最小正方形的边长为1,求△ABC的面积.
2、如图所示,P在∠AOB内,点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点,MN分别交OA、OB于E、F.⑴若△PEF的周长是20cm,求MN的长.
⑵若∠AOB=30°
,试判断△MNO的形状,并说明理由
3.在△ABC中,∠B=2∠C,AD为∠A的平分线。
AC=AB+BD。
第21部分复习测试题
一、填空
1.(2003年湖北省宜昌)三角形按边的相等关系分类如下:
2.(深圳市2004年)等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm,则它的周长为________.
3.(四川资阳2004)如图,在ΔABC中,BC=5cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则ΔPDE的周长是___________cm.
4.(2003年湖北省娄底)等腰直角三角形一条直角边的长为1cm,那么它斜边长上的高是__________ cm.
5.(河南省2003年)如图,在等腰梯形ABCD中AD//BC,
AB=DC,CD=BC,E是BA、CD延长线的交点,∠E=40°
则∠ACD=____________度.
6.(南宁市2003年)将一张长方形的纸对折,如图5所示可得到一条折痕(图中虚线).续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到条折痕.如果对折n次,可以得到条折痕.
7.(宁夏2003)将一个正六边形的纸片对折,并完全重合.那么,得到的图形是____边形,它的内角和(按一层计算)是_____度.
8.(北京市石景山区2004).在你学过的几何图形中,是轴对称图形的有______________(写出两个即可)。
9.(连云港市2004年).如图,平面镜A与B之间夹角为110°
,光线经平面镜A反射到平面镜B上,再反射出去,若
,则
的度数为.
10.(浙江省温州市2003年)如图,菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°
,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是 .
1哈尔滨市2003年如图2
(1),△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为.()
(A)30°
(B)36°
(C)45°
(D)70°
2.(青海省2003)若等腰三角一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角为()
(A)
或
(B)
(C)
(D)
3.(重庆市2003年)如图:
△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形,且PA⊥PD。
有下列四个命题:
①∠PBC=150;
②AD∥BC;
③直线PC与AB垂直;
④四边形ABCD是轴对称图形。
其中正确结论的个数为()
A、1B、2C、3D、4
4.(2004年南通市)已知等腰三角形的一个底角等于30°
,则这个等腰三角形的顶角等于()
A、150°
B、120°
C、75°
D、30°
5.(长春市2004年)下列图案是几种名车的标志,在这几个图案中,是轴对称图形的有()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.(2003年陕西)将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是().
A矩形B三角形
C梯形D菱形
7.(2003上海闵行)如图,在Rt△ABC中,∠C=900,直线BD交AC于D,把直角三角形沿着直线BD翻折,使点C落在斜边AB上,如果△ABD是等腰三角形,那么∠A等于()
A、600B、450C、300D、22.50
三、完成下列各题
1.(2003年山西)请用1个等腰三角形,2个矩形,3个圆,在下面的方框内设计一个轴对称图形,并用简炼的文字说明你的创意。
2.(2003湘潭市)如图,107国道OA和320国道OB在我市相交于O点,在的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使P到OA、OB的距离相等,且使PC=PD,画出货站的位置(不写画法,保留作图痕迹,写出结论).
3(长春市2004年).如图,Rt△ABC中,∠C=90°
(1)请以AC所在的直线为对称轴,画出与△ABC成轴对称的图形;
(2)所得图形与原图形组成的图形是等腰三角形吗?
请说明理由.
4.(河南省2003年)已知:
如图8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,点D是BC的中点,CE⊥AD,垂足为点E,BF//AC交CE的延长线于点F.求证:
AB垂直平分DF.
5.(2003年无锡市)做一做:
用四块如图1的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3、图4中各画出一种拼法(要求三种拼法各不相同,所画图案中的阴影部分用斜线表示).
6.(2003年山西)取一张矩形的纸片进行折叠,具体操作过程如下:
第一步:
先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图
(1);
第二步:
再把B点叠在折痕线MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为B`,得Rt△AB`E,如图
(2);
第三步:
沿EB`线折叠得折痕EF,如图(3)。
利用展开图(4)探究:
(1)△AEF是什么三角形?
(2)对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?
请说明理由。
四、(2004泰州市)已知:
如图,点D、E在△ABC的边BC上,AD=AE,BD=EC.求证:
AB=AC
五、(河南省2001年)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,求∠B︰∠C的值.