初中数学最值问题集锦+几何的定值与最值Word下载.docx
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【例1】如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD,则CD长度的最小值为.
思路点拨如图,作CC′⊥AB于C,DD′⊥AB于D′,
DQ⊥CC′,CD2=DQ2+CQ2,DQ=
AB一常数,当CQ越小,CD越小,
本例也可设AP=
,则PB=
,从代数角度探求CD的最小值.
从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置与极端位置是指:
(1)中点处、垂直位置关系等;
(2)端点处、临界位置等.
⌒
【例2】如图,圆的半径等于正三角形ABC的高,此圆在沿底边AB滚动,切点为T,圆交AC、BC于M、N,则对于所有可能的圆的位置而言,MTN为的度数()
A.从30°
到60°
变动B.从60°
到90°
变动
C.保持30°
不变D.保持60°
不变
思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C时,
其弧的度数,再证明一般情形,从而作出判断.
几何定值与最值问题,一般都是置于动态背景下,
动与静是相对的,我们可以研究问题中的变量,考虑当变
化的元素运动到特定的位置,使图形变化为特殊图形时,
研究的量取得定值与最值.
【例3】如图,已知平行四边形ABCD,AB=
,BC=
(
>
),P为AB边上的一动点,直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值.
思路点拨设AP=
,把AP、BQ分别用
的代数式表示,运用不等式
(当且仅当
时取等号)来求最小值.
【例4】如图,已知等边△ABC内接于圆,在劣弧AB上取异于A、B的点M,设直线AC与BM相交于K,直线CB与AM相交于点N,证明:
线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.
思路点拨即要证AK·
BN是一个定值,在图形中△ABC
的边长是一个定值,说明AK·
BN与AB有关,从图知AB为
△ABM与△ANB的公共边,作一个大胆的猜想,AK·
BN=AB2,
从而我们的证明目标更加明确.
只要探求出定值,那么解题目标明确,定值问题就转化为一般的几何证明问题.
【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°
),它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°
)的三边上,求△ABC直角边长的最大可能值.
思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上,当顶点Z在斜边AB上时,取xy的中点,通过几何不等关系求出直角边的最大值,当顶点Z在(AC或CB)上时,设CX=
,CZ=
,建立
,
的关系式,运用代数的方法求直角边的最大值.
数形结合法解几何最值问题,即适当地选取变量,建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系,再运用相应的代数知识方法求解.常见的解题途径是:
(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型,运用判别式求几何最值;
(2)构造二次函数求几何最值.
学力训练
1.如图,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点(可与B点或C点重合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别是B′、C′、D′,则BB′+CC′+DD′的最大值为,最小值为.
2.如图,∠AOB=45°
,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q,R(均不同于点O),则△PQR的周长的最小值为.
3.如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则
的最大值等于.
4.如图,A点是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值为()
A.1B.
C.
D.
5.如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形,动点P从A点出发,沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是()
A.
B.
6.如图、已知矩形ABCD,R,P户分别是DC、BC上的点,E,F分别是AP、RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,那么下列结论成立的是()
A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定
7.如图,点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合),分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.
(1)求证:
MN∥AB;
(2)若AB的长为l0cm,当点C在线段AB上移动时,是否存在这样的一点C,使线段MN的长度最长?
若存在,请确定C点的位置并求出MN的长;
若不存在,请说明理由.
(2002年云南省中考题)
8.如图,定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动,M是ST的中点,P是S对AB作垂线的垂足,求证:
不管ST滑到什么位置,∠SPM是一定角.
9.已知△ABC是⊙O的内接三角形,BT为⊙O的切线,B为切点,P为直线AB上一点,过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F.
(1)当点P在线段AB上时(如图),求证:
PA·
PB=PE·
PF;
(2)当点P为线段BA延长线上一点时,第
(1)题的结论还成立吗?
如果成立,请证明,如果不成立,请说明理由.
10.如图,已知;
边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB上的一点P,使矩形PNDM有最大面积,则矩形PNDM的面积最大值是()
A.8B.12C.
D.14
11.如图,AB是半圆的直径,线段CA上AB于点A,线段DB上AB于点B,AB=2;
AC=1,BD=3,P是半圆上的一个动点,则封闭图形ACPDB的最大面积是()
12.如图,在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB、AC上分别取点D、E,使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分,试求这样线段的最小长度.
13.如图,ABCD是一个边长为1的正方形,U、V分别是AB、CD上的点,AV与DU相交于点P,BV与CU相交于点Q.求四边形PUQV面积的最大值.
14.利用两个相同的喷水器,修建一个矩形花坛,使花坛全部都能喷到水.已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆,问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽),才能使矩形花坛的面积最大?
15.某住宅小区,为美化环境,提高居民生活质量,要建一个八边形居民广场(平面图如图所示).其中,正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米.
(1)设矩形的边AB=
(米),AM=
(米),用含
的代数式表示
为.
(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛,平均每平方米造价为2100元;
在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪,平均每平方米造价为105元;
在四个三角形区域上铺设草坪,平均每平方米造价为40元.
①设该工程的总造价为S(元),求S关于工的函数关系式.
②若该工程的银行贷款为235000元,仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?
若能,请列出设计方案;
若不能,请说明理由.
③若该工程在银行贷款的基础上,又增加资金73000元,问能否完成该工程的建设任务?
若能,请列出所有可能的设计方案;
(镇江市中考题)
16.某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE,边长和方向如图,欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓,请划出这块地基,并求地基的最大面积(精确到1m2).
参考答案