高中数学 必修二第二章 点直线平面之间的位置关系21 213 214Word下载.docx

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符号表示

公共点

平面α与平面β平行

α∥β

平面α与平

面β相交

α∩β＝l

有一条公共直线

即时自测

1.判断题

（1）若直线a在平面α外，则直线a∥α.（×

）

（2）若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥β.（×

（3）若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β.（√）

（4）与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面.（×

提示　

（1）直线a在平面α外，则直线a∥α或a与α相交.

（2）α与β可能平行，也可能相交.

（4）若α∩β＝b，且a∥b，则有a∥α且a∥β，或a⊂α，或a⊂β.

2.若直线l与平面α不平行，则（　　）

A.l与α相交B.l⊂α

C.l与α相交或l⊂αD.以上结论都不对

解析　若l与α不平行，则l与α相交或l⊂α.

答案　C

3.若两个平面互相平行，则其中一个平面内的一条直线与另一个平面的位置关系是（　　）

A.线面平行B.线面相交

C.线在面内D.无法确定

解析　两面平行时，两个平面没有公共点，在一个平面的直线与另一个平面也没有公共点，所以它们平行.

答案　A

4.两条直线不相交，则两条直线可能平行或者异面；

如果两个平面不相交，则两个平面________.

解析　两个平面之间的位置关系有且只有两种：

平行或相交.

答案　平行

类型一　直线与平面的位置关系（互动探究）

【例1】以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面），①若a∥b，b⊂α，则a∥α；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b∥α，则a∥α；

④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

[思路探究]

探究点一　空间中直线与平面的位置关系有哪几种？

提示　空间中直线与平面只有三种位置关系：

直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.

探究点二　判断直线与平面的位置关系的策略是什么？

提示　判断直线与平面的位置关系时可借助几何模型判断，通过特例排除错误命题.对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断.要注意多种可能情形.

解析　如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；

A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；

AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；

A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.

规律方法　1.本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.

2.判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型（如长方体）和举反例两种行之有效的方法.

【训练1】下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α

②若直线a在平面α外，则a∥α

③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α

④若直线a∥b，直线b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线

其中假命题的序号是________.

解析　对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，∴①是假命题；

对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：

a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，∴②是假命题；

对于③，

∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴③是假命题；

对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题.

答案　①②③

类型二　平面与平面的位置关系

【例2】给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是（　　）

①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；

③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；

④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合.

A.0B.1C.3D.4

解析　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，在平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E，F，连接EF，则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；

对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D中，与A1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故②是错误的；

对于③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别取AA1，DD1，BB1，CC1的中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而△A1BC与平面EFHG相交，故③是错误的；

对于④，两平面位置关系中不存在重合，若重合则为一个平面，故命题④错.

规律方法　

（1）判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体（或正方体）进行判断.

（2）反证法也用于相关问题的证明.

【训练2】如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（　　）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.不能确定

解析　如图所示，由图可知C正确.

[课堂小结]

1.空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式

（1）

（2）

2.判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.

1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（　　）

A.一条直线不相交B.两条直线不相交

C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交

解析　直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.

答案　D

2.若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是（　　）

A.平行B.相交C.异面D.不确定

解析　∵M∈平面α，M∈平面β，∴α与β相交于过点M的一条直线.

答案　B

3.下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.

其中错误命题的序号为________.

解析　对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；

对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.

答案　①②

4.如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？

解　∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行.

∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，

∴平面ABC与平面ABB1A1相交.

同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.

基础过关

1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是（　　）

A.b∥αB.相交

C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行

解析　如图所示，选D.

2.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（　　）

C.平行或相交D.AB⊂α

解析　结合图形可知选项C正确.

3.α、β是两个不重合的平面，下面说法正确的是（　　）

A.平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β

B.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β

C.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β

D.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β

解析　A、B都不能保证α、β无公共点，如图①；

C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图②；

只有D说明α、β一定无公共点，故选D.

4.若a与b异面，则过a与b平行的平面有________个.

解析　当a与b异面时，如图，过a上任意一点M作b′∥b，则a与b′确定了唯一的平面α，且b∥α，故过a与b平行的平面有1个.

答案　1

5.空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条.

解析　以打开的书页或长方体为模型，观察可得结论.

答案　1或3

6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？

（1）AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；

（2）CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；

（3）AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；

（4）CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系.

解　

（1）AM所在的直线与平面ABCD相交.

（2）CN所在的直线与平面ABCD相交.

（3）AM所在的直线与平面CDD1C1平行.

（4）CN所在的直线与平面CDD1C1相交.

7.已知一条直线与一个平面平行，求证：

经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内.

解　已知：

a∥α，A∈α，A∈b，b∥a.求证：

b⊂α.

证明　如图，∵a∥α，A∈α，∴A∉a，

∴由A和a可确定一个平面β，则A∈β，

∴α与β相交于过点A的直线，设α∩β＝c，

由a∥α知，a与α无公共点，而c⊂α，∴a与c无公共点.

∵a⊂β，c⊂β，∴a∥c.又已知a∥b，且A∈b，A∈c，

∴b与c重合.∴b⊂α.

能力提升

8.以下四个命题：

①三个平面最多可以把空间分成八部分；

②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；

③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；

④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.

其中正确的是（　　）

A.①②B.②③C.③④D.①③

解析　对于①，正确；

对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；

对于③，正确；

对于④，反例：

正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.

9.在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面（面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD）所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有（　　）

A.2个B.3个C.4个D.5个

解析　如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.

10.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________（填序号）.

①不可能只有两条交线

②必相交于一点

③必相交于一条直线

④必相交于三条平行线

解析　空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.

答案　①

11.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？

证明你的结论.

解　平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：

∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，

∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.

又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.

∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，

且P，C是不同的两点，

∴直线PC就是平面ABC与β的交线，

即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，

∴平面ABC与β的交线与l相交.

探究创新

12.试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？

解　三个平面可把空间分成4（如图①）、6（如图②③）、7（如图④）或8（如图⑤）个部分.