圆与相似三角形、三角函数专题(含答案).doc

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圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合

类型一：

圆与相似三角形的综合

1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：

BD·BE＝BC·BF.

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.

（1）求证：

点E是边BC的中点；

（2）求证：

BC2＝BD·BA；

（3）当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：

△ABC是等腰直角三角形．

解：

（1）连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，

∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点　

（2）∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA

（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形

类型二：

圆与解直角三角形的综合

3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.

（1）求证：

直线EF是⊙O的切线；

（2）已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．

解：

（1）连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线　

（2）∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE＝AB－AE＝203－143＝2

4．（2015·资阳）如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．

解：

（1）连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线　

（2）过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝1010

5．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.

（1）求证：

OF·DE＝OE·2OH；

（2）若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

解：

（1）∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH　

（2）∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183

类型三：

圆与二次函数的综合

6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（－4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D.

（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：

是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？

若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．

解：

（1）y＝－12x2－32x＋2　

（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（－32，0），∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为（83，0）　

（3）存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为（－32＋r，r）或F（－32－r，r），而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12（－32＋|r|）2－32（－32＋|r|）＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292（舍去）．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋292

7．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.

（1）求m的值及抛物线的解析式；

（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α－β）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？

若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）由题意，可知C（0，－3），－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3（a＞0）．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B（3，0），∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3　

（2）由

（1）得，A（－1，0），E（1，－4），D（0，1），∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin（α－β）＝sin（∠DBC－∠OBD）＝sin∠OBC＝COBC＝22　

（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O（0，0）．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2（0，13）．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）．故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，13），P3（9，0），使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似

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