反比例函数知识点总结典型例题大全.doc
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反比例函数
(一)反比例函数的概念
1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;
2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;
3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点.
(二)反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称).
(三)反比例函数及其图象的性质
1.函数解析式:
()
2.自变量的取值范围:
3.图象:
(1)图象的形状:
双曲线.
越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直. 越小,图象的弯曲度越大.
(2)图象的位置和性质:
与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线.
当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小;
当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大.
(3)对称性:
图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)在双曲线的另一支上.
图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在双曲线的另一支上.
4.k的几何意义
如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是).
如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.
图1 图2
5.说明:
(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个
分支分别讨论,不能一概而论.
(2)直线与双曲线的关系:
当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称
(3)反比例函数与一次函数的联系.
(四)实际问题与反比例函数
1.求函数解析式的方法:
(1)待定系数法;
(2)根据实际意义列函数解析式.
2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.
(五)充分利用数形结合的思想解决问题.
三、例题分析
考点1.反比例函数的概念
(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是().
A.y=3x B. C.3xy=1 D.
(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是().
A. B. C. D.
考点2.图象和性质
(1)已知函数是反比例函数,
①若它的图象在第二、四象限内,那么k=___________.
②若y随x的增大而减小,那么k=___________.
(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象位于第________象限.
(3)若反比例函数经过点(,2),则一次函数的图象一定不经过第_____象限.
(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数的图象上,
则直线不经过的象限是().
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比例函数图象上的两点,
则一次函数y=kx+m的图象经过().
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
(6)已知函数和(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是().
A. B. C. D.
考点3.函数的增减性
(1)在反比例函数的图象上有两点,,且,则的值为().
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
(2)在函数(a为常数)的图象上有三个点,,,则函数值、、的大小关系是().
A.<< B.<< C.<< D.<<
(3)下列四个函数中:
①;②;③;④.
y随x的增大而减小的函数有().
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例函数的函数值y随x的增大而 (填“增大”或“减小”).
注意,(3)中只有②是符合题意的,而③是在“每一个象限内”y随x的增大而减小.
考点4.解析式的确定
(1)若与成反比例,与成正比例,则y是z的().
A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.不能确定
(2)若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为(2,m),则m=_____,k=________,它们的另一个交点为________.
(3)已知反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值.
(4)已知一次函数y=x+m与反比例函数()的图象在第一象限内的交点为P(x0,3).
①求x0的值;②求一次函数和反比例函数的解析式.
(5)为了预防“非典”,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题:
①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________,自变量x的取值范围是_______________;药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________.
②研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过_______分钟后,学生才能回到教室;
③研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?
为什么?
考点5.面积计算
(1)如图,在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、,则().
A. B. C. D.
第
(1)题图 第
(2)题图
(2)如图,A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,AC//y轴,BC//x轴,△ABC的面积S,则().
A.S=1 B.1<S<2 C.S=2 D.S>2
(3)如图,Rt△AOB的顶点A在双曲线上,且S△AOB=3,求m的值.
第(3)题图 第(4)题图
(4)已知函数的图象和两条直线y=x,y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2,P2R2,垂足分别为Q2,R2,求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长,并比较它们的大小.
(5)如图,正比例函数y=kx(k>0)和反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC,若△ABC面积为S,则S=_________.
第(5)题图
考点6.一次函数与反比例函数综合
1.如图,一次函数与反比例函数在第一象限的图象交于点,且点的横坐标为1,过点作轴的垂线,为垂足,若,求一次函数和反比例函数的解析式.
____________________________________________________________________________________________________________________________
2.如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P,点P在第一象限.PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D,且S△PBD=4,.
(1)求点D的坐标;
(2)求一次函数与反比例函数的解析式;
y
x
P
B
D
A
O
C
(3)根据图象写出当时,一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.
3.已知正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当时,求反比例函数的取值范围.
4.已知:
,与成正比例,与成反比例,且时,;时,.求时,的值.
5.如图,是反比例函数在第一象限图像上的一点,点的坐标为(2,0).
(1)当点的横坐标逐渐增大时,的面积将如何变化?
(2)若与均为等边三角形,求此反比例函数的解析式及点的坐标.
y
x
O
P1
P2
A2
A1
6.如图,一次函数与反比例函数在第一象限的图象交于点,且点的横坐标为1,过点作轴的垂线,为垂足,若,求一次函数和反比例函数的解析式.
____________________________________________________________________________________________________________________________
7.如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P,点P在第一象限.PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D,且S△PBD=4,.
(1)求点D的坐标;
(2)求一次函数与反比例函数的解析式;
y
x
P
B
D
A
O
C
(3)根据图象写出当时,一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.
8.已知正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当时,求反比例函数的取值范围.
9.已知:
,与成正比例,与成反比例,且时,;时,.求时,的值.
10.如图,是反比例函数在第一象限图像上的一点,点的坐标为(2,0).
(1)当点的横坐标逐渐增大时,的面积将如何变化?
(2)若与均为等边三角形,求此反比例函数的解析式及点的坐标.
y
x
O
P1
P2
A2
A1
5