反比例函数拔高.doc

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反比例函数

适用学科

初中数学

适用年级

九年级

适用区域

广东省

课时时长（分钟）

60

知识点

反比例基本概念,图像,性质

教学目标

理解反比例函数的图像性质,概念及应用

教学重点

反比例函数性质

教学难点

反比例函数综合应用

教学过程

一、课堂导入

我们学习函数基本都是直线型,那么如果是曲线怎么办呢?

二、复习预习

1.定义：

一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。

还可以写成

2.反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

3.反比例函数的图像

⑴图像的画法：

描点法

①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

②描点（有小到大的顺序）

③连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。

⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：

过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。

4．反比例函数性质如下表：

的取值

图像所在象限

函数的增减性

一、三象限

在每个象限内，值随的增大而减小

二、四象限

在每个象限内，值随的增大而增大

5.反比例函数解析式的确定：

利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：

成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。

三、知识讲解

考点1反比例函数的定义

一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：

⑴x是自变量，y是x的反比例函数；

⑵自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；

⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；

⑷反比例函数有三种表达式：

①（），

②（），

③（定值）（）；

⑸函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。

考点2用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

考点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：

⑴列表；⑵描点；⑶连线。

考点4反比例函数的性质

关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

反比例函数

（）

的符号

图像

性质

①的取值范围是，y的取值范围是

②当时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。

①的取值范围是，y的取值范围是

②当时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

注意：

描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。

如在第一、第三象限，则可知。

☆反比例函数（）中比例系数k的绝对值的几何意义。

如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，

E、F分别为垂足，则

1,反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原点。

2,双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。

四、例题精析

考点1反比例函数的图象上的点的坐标

例1反比例函数的图象经过点（-2，3），则k的值为（）．

（A）6（B）-6（C）（D）

【规范解答】反比例函数的图象经过点（-2，3），表明在解析式，当x＝-2时，y＝3，所以1-2k＝xy＝3×（－2）＝－6．,解得k=

【总结与反思】点在曲线上，则点的坐标满足曲线解析式，反之亦然

考点2反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化-旋转

例2如图，直线y=2x与双曲线在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（　　）

A．

（1.0）

B．

（1.0）或（﹣1.0）

C．

（2.0）或（0，﹣2）

D．

（﹣2.1）或（2，﹣1）

【规范解答】解：

联立直线与反比例解析式得：

，消去y得到：

x2=1，解得：

x=1或﹣1，

∴y=2或﹣2，∴A（1，2），即AB=2，OB=1，

根据题意画出相应的图形，如图所示，可得A′B′=A′′B′′=AB=2，OB′=OB′′=OB=1，根据图形得：

点A′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选D．

【总结与反思】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：

坐标与图形变化﹣旋转，作出相应的图形是解本题的关键考点3反比例函数系数k的几何意义

例3下列图形中，阴影部分面积最大的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【规范解答】解：

A、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：

xy=3，

B、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：

3，

C、根据反比例函数系数k的几何意义，以及梯形面积求法可得出：

阴影部分面积为：

（1+3）=2，

D、根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：

×2×6=6，

阴影部分面积最大的是6．

故选：

D．

【总结与反思】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法等知识，将图形正确分割得出阴影部分面积是解题关键．考点4反比例函数与一次函数的交点问题

例4一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则k、b的取值范围是（　　）

A．

k＞0，b＞0

B．

k＜0，b＞0

C．

k＜0，b＜0

D．

k＞0，b＜0

【规范解答】解：

∵一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限，

∴k＜0，b＜0

又∵反比例函数的图象经过二、四象限，

∴k＜0．

综上所述，k＜0，b＜0．

故选C．

【总结与反思】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意图象在哪个象限内，是解题的关键．考点5：

反比例函数的定义

例5若是反比例函数，则a的取值为（　　）

　 A．1 B．﹣l C．±l D．任意实数

【规范解答】解：

∵此函数是反比例函数，

∴，解得a=1．

故选A．

【总结与反思】本题考查的是反比例函数的定义，即形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．　

课程小结

（1）反比例函数

如果（k是常数，k≠0），那么y叫做x的反比例函数．

（2）反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线．

（3）反比例函数的性质

①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小．

②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大．

③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称．

（4）k的两种求法

①若点（x0，y0）在双曲线上，则k＝x0y0．

②k的几何意义：

若双曲线上任一点A（x，y），AB⊥x轴于B，则S△AOB

（5）正比例函数和反比例函数的交点问题

若正比例函数y＝k1x（k1≠0），反比例函数，则

当k1k2＜0时，两函数图象无交点；

当k1k2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．

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