北师大版数学九年级上册第一章证明二(1).doc
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北师大版数学九年级上册第一章证明二
（1）
［教学过程］
一.在《证明一》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，今天我们应用以前已经被证明的定理和下面的公理来证明有关三角形的一些结论。
公理：
三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS）
公理：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
（SAS）
公理：
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
（ASA）
公理：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
用上面的公理证明下面的推论：
推论：
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）
已知：
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF
求证：
△ABC≌△DEF
证明：
∵∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF
二.例题分析：
例1.等腰三角形的底角为15°，腰长2a，求腰上的高。
如图所示，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高，求CD的长。
解：
∵∠ABC=∠ACB=15°，
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°。
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
例2.已知：
矩形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，你能由此验证“Rt△中30°角所对的直角边是斜边的一半”这一定理吗？
解：
三.1.等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等。
（简称为“等边对等角”）
（2）等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（等腰三角形的“三线合一”）
（3）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
2.你能利用我们学过的公理和定理证明这些结论吗？
已知：
如图所示，在△ABC中，AB=AC，求证：
∠B=∠C
证法一：
取BC的中点D，连结AD。
证法二：
作∠BAC的平分线AD交BC于D。
（1）“等边对等角”
（2）等腰三角形的“三线合一”
（3）等边三角形的每个角都相等，并且每个角都等于60°。
四.例1.证明：
等腰三角形两底角的平分线相等。
已知：
如图所示，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB
求证：
BD=CE
证明：
等腰三角形两腰上的中线相等。
证明：
等腰三角形两腰上的高相等。
五.
（1）前面已经证明了，等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个底角相等的三角形是等腰三角形吗？
已知：
如图所示，在△ABC中，∠B=∠C
求证：
AB=AC
证法一：
过A点作AD⊥BC。
证法二：
作∠BAC的平分线AD交BC于D
（1）“等角对等边”
（2）每个角都相等的三角形是等边三角形。
六.1.一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？
2.你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？
你能证明你的结论吗？
定理：
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
2.已知：
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°
证明：
如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°。
延长BC至D，使CD=BC，
连接AD（如图所示）
∵AC=AC
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）
∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）
定理：
直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【模拟试题】
1.证明：
三个角都相等的三角形是等边三角形。
2.已知：
如图所示，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB、AC于点D、E。
求证：
△ADE是等边三角形。
3.房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A=30°，AB=7.4m，点D是AB的中点，且，垂足为E，求AC，DE的长。
4.已知：
求证：
5.已知：
AB=DC，AC=DB
求证：
6.已知：
如图所示，△ABC中，AB=AC，D、E为BC上两点，且AD=AE。
求证：
BD=CE。
7.如图所示，在△ABD中，C是BD上的一点，且。
（1）求证：
△ABD是等腰三角形
（2）求的度数。
8.如图所示，△ABC中，AB=BD=DC，，则_______，_________。
9.已知：
如图所示，AB=AC，OB=OC，求证：
AD=AE。
10.如图所示，在等边△ABC中，，且AE=AD，则______________。
【试题答案】
1.证：
2.解：
3.解：
4.证：
5.证：
连结BC
6.证：
7.证：
8.80°；60°
9.证：
连结BC
10.15°
8
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