初二数学之全等三角形及解析.doc

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初二数学的全等三角形

一．选择题（共5小题）

1．（2016春•龙口市期末）如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2016春•永新县期末）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的一点，若△ADE≌△CFE，则下列结论中不正确的是（　　）

A．AD=CF B．AB∥CF C．AC⊥DF D．E是AC的中点

3．（2016•黔东南州）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（　　）

A． B． C．2 D．

4．（2016•铜仁市）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8

5．（2016•湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2

二．填空题（共2小题）

6．（2016•南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：

①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．

其中所有正确结论的序号是______．

7．（2016•潮州校级一模）如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB=10，CF=6，则BD=______．

三．解答题（共5小题）

8．（2016•湖北襄阳）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

（1）求证：

AB=AC；

（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．

9．（2016•宜宾）如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．

求证：

BC=AD．

10．（2015秋•增城市校级期中）如图，在△ABC中，∠1=∠2，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：

∠B=∠C．

11．（2014秋•上饶校级月考）已知如图，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于点F．

（1）求证：

∠DAC=∠B；

（2）猜想线段AF、BC的关系．

12．（2015•陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：

AD=CE．

初二数学的全等三角形

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．（2016春•龙口市期末）如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．

【解答】解：

∵△ABC≌△AEF，

∴AC=AF，故①正确；

∠EAF=∠BAC，

∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误；

EF=BC，故③正确；

∠EAB=∠FAC，故④正确；

综上所述，结论正确的是①③④共3个．

故选C．

2．（2016春•永新县期末）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的一点，若△ADE≌△CFE，则下列结论中不正确的是（　　）

A．AD=CF B．AB∥CF C．AC⊥DF D．E是AC的中点

【分析】根据全等三角形的性质进行判断，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．

【解答】解：

∵△ADE≌△CFE，

∴AD=CF，∠A=∠ECF，AE=CE，

∴AB∥CF，点E是AC的中点

∴（A）、（B）、（D）正确；

∵∠AED不一定为直角

∴AC⊥DF不一定成立

∴（C）不正确．

故选（C）

3．（2016•黔东南州）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（　　）

A． B． C．2 D．

【分析】连接OC构建全等三角形，证明△ODC≌△OEB，得DC=BE；把CD+CE转化到同一条线段上，即求BC的长；通过等腰直角△ABC中斜边AB的长就可以求出BC=，则CD+CE=AB=．

【解答】解：

连接OC，

∵等腰直角△ABC中，AB=，

∴∠B=45°，

∴cos∠B=，

∴BC=×cos45°=×=，

∵点O是AB的中点，

∴OC=AB=OB，OC⊥AB，

∴∠COB=90°，

∵∠DOC+∠COE=90°，∠COE+∠EOB=90°，

∴∠DOC=∠EOB，

同理得∠ACO=∠B，

∴△ODC≌△OEB，

∴DC=BE，

∴CD+CE=BE+CE=BC=，

故选B．

4．（2016•铜仁市）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8

【分析】作PE⊥OA于E，如图，先利用平行线的性质得∠ECP=∠AOB=30°，则PE=PC=2，然后根据角平分线的性质得到PD的长．

【解答】解：

作PE⊥OA于E，如图，

∵CP∥OB，

∴∠ECP=∠AOB=30°，

在Rt△EPC中，PE=PC=×4=2，

∵P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，

∴PD=PE=2．

故选B．

5．（2016•湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2

【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．

【解答】解：

过点P作PE⊥BC于E，

∵AB∥CD，PA⊥AB，

∴PD⊥CD，

∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，

∴PA=PE，PD=PE，

∴PE=PA=PD，

∵PA+PD=AD=8，

∴PA=PD=4，

∴PE=4．

故选C．

二．填空题（共2小题）

6．（2016•南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：

①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．

其中所有正确结论的序号是　①②③　．

【分析】根据全等三角形的性质得出∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，再根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，进而得出其它结论．

【解答】解：

∵△ABO≌△ADO，

∴∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，

∴AC⊥BD，故①正确；

∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

∴∠COB=∠COD=90°，

在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确

∴BC=DC，故②正确；

故答案为①②③．

7．（2016•潮州校级一模）如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB=10，CF=6，则BD=　4　．

【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD=CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出．

【解答】解：

∵AB∥FC，

∴∠ADE=∠EFC，

∵E是DF的中点，

∴DE=EF，

在△ADE与△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE，

∴AD=CF，

∵AB=10，CF=6，

∴BD=AB﹣AD=10﹣6=4．

故答案为4．

三．解答题（共5小题）

8．（2016•湖北襄阳）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

（1）求证：

AB=AC；

（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．

【分析】

（1）先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．

（2）先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题．

【解答】

（1）证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，

在RT△DEB和RT△DFC中，

，

∴△DEB≌△DFC，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC．

（2）∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC，

在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，∠DAC=30°，

∴AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，

∵AC2=AD2+CD2，

∴4a2=a2+

（2）2，

∵a＞0，

∴a=2，

∴AC=2a=4．

9．（2016•宜宾）如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．

求证：

BC=AD．

【分析】先根据题意得出∠DAB=∠CBA，再由ASA定理可得出△ADB≌△BCA，由此可得出结论．

【解答】解：

∵∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC，

∴∠DAB=∠CBA．

在△ADB与△BCA中，

，

∴△ADB≌△BCA（ASA），

∴BC=AD．

10．（2015秋•增城市校级期中）如图，在△ABC中，∠1=∠2，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：

∠B=∠C．

【分析】首先证明△AED≌△AFD，得出DE=DF，然后再证明△BDE≌△CDF，从而求出∠B=∠C．

【解答】证明：

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEA=∠DFA，

在Rt△AED和Rt△AFD中，

，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴DE=DF，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴∠B=∠C．

11．（2014秋•上饶校级月考）已知如图，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于点F．

（1）求证：

∠DAC=∠B；

（2）猜想线段AF、BC的关系．

【分析】

（1）由题意可以作辅助线即作DG⊥AC的延长线于G，然后根据平行线的性质可以推出结论；

（2）在第一问的基础上来由三角形的全等可以得到关系．

【解答】

（1）证明：

如图所示：

作DG⊥AC的延长线于G

∵∠ACB=∠DAB=90°，AE∥BC，

∴∠CAE=180°﹣∠ACB=90°，∠B=∠BAE，

∴∠DAC=90°﹣∠BAC=∠BAE，

∴∠DAC=∠B；

（2）解：

∵AG⊥DG，

∴∠AGD=∠ACB=90°，

在△ADG和△ABC中，

，

∴△ADG≌△ABC（AAS），

∴DG=AE；AG=BC，

在△AEF和△GDF中，

，

∴△AEF≌△GDF（AAS），

∴AF=GF=AG=BC，

∴BC=2AF．

12．（2015•陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：

AD=CE．

【分析】根据平行线的性质得出∠EAC=∠ACB，再利用ASA证出△ABD≌△CAE，从而得出AD=CE．

【解答】证明：

∵AE∥BD，

∴∠EAC=∠ACB，