九年级数学《圆》电子教案Word文件下载.docx
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老师提问几名学生并点评总结．
（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
因此，我们可以得到圆的新定义：
圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
同时，我们又把
①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；
②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作
”，读作“圆弧
”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示
叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）
或
叫做劣弧
④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
．
三、习题巩固：
1、判断正误：
（1）弦是直径；
（）
（2）半圆是弧；
（3）过圆心的线段是直径；
（4）过圆心的直线是直径；
（5）半圆是最长的弧；
（6）直径是最长的弦；
（7）半径相等的两个圆是同心圆;
（8）半径相等的两个圆是等圆.（）
2、一个点到圆的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则该圆的直径是（）
A．2.5cm或.5cmB．2.5cmC．6.5cmD．5cm或13cm
3、如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）．
A．CE=DEB．
C．∠BAC=∠BADD．AC>
AD
4、如图、已知CD是⊙O的直径，∠EOD=78°
，AE交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A的度数。
四、归纳小结：
本节课应掌握：
1．圆的有关概念；
2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．3．垂径定理及其推论以及它们的应用．
五、布置作业：
完成学考精练的第72--73页。
作
业
布置
完成学考精练的第72—73页。
板书设计
教学后记
（备注：
具体页数根据实际情况或增或减）
24.1.2垂直于弦的直径
1、理解垂径定理；
2、灵活运用垂径定理解决一些实际问题。
理解垂径定理；
灵活运用垂径定理解决一些实际问题。
（一）情境引入：
有关赵州桥的资料图片制作PPT结合赵州桥资料的介绍，向学生进行爱国主义教育和美育渗透。
通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题。
由此导入新课，出示课题“24.1.2垂直于弦的直径”
（二）学一学：
学生自学P80-81.PPT出示学习提纲
1、动手折课前准备的圆.要求沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
由此你能得到什么结论？
2、圆是轴对称图形，它的对称轴是.
3、圆还是中心对称图形，它的对称中心是.
4、垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧.
5、平分弦（不是直径）的直径于弦，并且弦所对的两条弧.
（三）议一议：
学生分组讨论.通过折圆你发现了什么？
通过学习你还有什么问题需要同学帮助或需要老师讲解的吗？
教师引导学生讨论
（四）讲一讲：
1、通过学生的讨论各组汇总问题，教师做进一步的讲解。
2、典例分析：
例一，例题
圆O的弦AB、CD互相垂直于点E，AE=5，BE=13，O到AB的距离为2倍根号10厘米。
求O到CD的距离OG、OE的长及圆O的半径
例二，前后呼应回过头来解决情境导入中的问题。
（五）练一练:
PPT展示练习题：
1、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.
2、如图，在⊙O中，AB,AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形.
（六）谈一谈：
教师引导学生思考，本节课的收获有哪些？
从知识、方法、解题技巧等方面进行小结。
1、将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题.圆中经常用到做辅助线的方法——半径、弦的垂线学生练习时教师巡回指导，学生同桌或小组也可进行讨论完成。
但要注意解题的格式及分析问题的方法。
2、垂径定理及其推论的应用.
1、新人教版九年级数学上P88习题24.1第7、87题
2、《学考精练》配套练习
本节课通过学生比较熟悉的赵州桥的实际背景进行引入，提高了学生的学习积极性。
通过折圆使学生达到了动手动脑的目的，让学生通过实验发现垂径定理，通过学生的分组讨论加强了学生间的相互交流，更进一步对发现的性质进行了认可。
教师的讲一讲主要是解决学生自学中存在的问题，充分体现了教师以学生为主体教师主导的新课程理念。
数学课不但要教给学生数学知识，更重要的是培养学生的思考问题的方式以及求真务实的学习品质，本节课通过五步教学，让学生在平时的课堂中掌握学习的方法，为学生的后续学习打下坚实的基础。
24.1.3弧、弦、圆心角
1、了解圆心角的概念：
掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．
2、通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．
定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．
探索定理和推导及其应用．
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下题．
已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°
、45°
、60°
的图形．
老师点评：
绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°
，就是旋转角∠BOB′=30°
二、探索新知
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：
如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？
为什么？
在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？
请同学们现在动手作一作（学生活动）老师点评：
如图1，在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与OA
重合。
你能发现哪些等量关系？
说一说你的理由？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
（学生活动）请同学们现在给予说明一下．
请三位同学到黑板板书，老师点评．
三、巩固练习：
教材P89练习1教材P90练习2．
四、应用拓展
例2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？
若成立，加以证明；
若不成立，请说明理由．
五、归纳总结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆心角概念．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．
六、布置作业
1．教材P94-95复习巩固4、5。
2．完成《学考精练》配套练习．
1．教材P94-95复习巩固4、5。
2．完成《学考精练》配套练习．
24.1.4圆周角
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．理解圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°
的圆周角所对的弦是直径．
4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用
圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
运用数学分类思想证明圆周角的定理．
（学生活动）请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
老师点评：
（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？
如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？
这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．
问题：
如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在
所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：
1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC=
∠AOC
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°
下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
分析：
BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
解：
BD=CD
理由是：
如图24-30，连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
三、巩固练习
1．教材P92思考题．
2．教材P93练习．
四、本节课应掌握：
1．圆周角的概念；
2．圆周角的五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°
4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．
1、教材95第9、10题；
2、完成《学考精练》配套练习。
24.2.1点和圆的位置关系
1、了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
2、过不在同一条直线上的三个点作圆的方法；
3、了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？
经过两点、三点……呢？
本节课我们将进行有关探索．
Ⅱ．新课讲解
1．回忆及思考
投影片（§
3．4A）
1．线段垂直平分线的性质及作法．
2．作圆的关键是什么？
[生]1．线段垂直平分线的性质是：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
作法：
如下图，分别以A、B为圆心，以大于
AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等．
[师]我们知道圆的定义是：
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？
[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．
2．做一做（投影片§
3．4B）
（1）作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
（2）作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？
你能作出几个这样的圆？
其圆心的分布有什么特点？
与线段AB有什么关系？
（3）作圆，使它经过已知点A、B、C（A、B、C三点不在同一条直线上）．你是如何作的？
[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．
[生]
（1）因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图
（1）．
（2）已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图
（2）．
（3）要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．
因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．
[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？
4．有关定义
由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
Ⅲ．课堂练习
已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
解：
如下图．
O为外接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．
Ⅳ．课时小结
本节课所学内容如下：
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程．
方法．
3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念．
Ⅴ．课后作业
完成《学考精练》配套练习
完成《学考精练》配套练习。
24.2.2直线和圆的位置关系
1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．
2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．
1、经历探索直线与圆位置关系的过程．
2、理解直线与圆的三种位置关系．
3、了解切线的概念以及切线的性质．
经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系．
探索圆的切线的性质．
[师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？
[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距离等于半径；
圆的内部到圆心的距离小于半径；
圆的外部到圆心的距离大于半径．因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内．
[师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系．
1．复习点到直线的距离的定义
[生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离．
如下图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离．
2．探索直线与圆的三种位置关系
[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的．如大家请看课本113页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎样？
作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
[生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；
把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系．
[师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？
[生]有三种位置关系：
[师]直线和圆有三种位置关系，如下图：
它们分别是相交、相切、相离．
当直线与圆相切时（即直线和圆有唯一公共点），这条直线叫做圆的切线（tangentline）．
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．
当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？
[生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；
当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；
当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．
[师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢？
[生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，d＜r；
当直线与圆相切时，d＝r；
当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系．
[师]由此可知：
判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；
一种是用d与r的大小关系来断定．
（1）从公共点的个数来判断：
直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；
直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；
直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．
（2）从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：
d＜r时，直线与圆相交；
d＝r时，直线与圆相切；
d＞r时，直线与圆相离
[例1]已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
分析：
根据d与r间的数量关系可知：
d＝r时，相切；
d＜r时，相交；
d＞r时，相离．
（1）如上图，过点C作AB的垂线段CD．
∵AC＝4cm，AB＝8cm；
∴cosA＝
，
∴∠A＝60°
∴CD＝ACsinA＝4sin60°
＝2
（cm）．
因此，当半径长为2
cm时，AB与⊙C相切．
（2）由
（1）可知，圆心C到AB的距离d＝2
cm，所以，当r＝2cm时，d＞r，⊙C与AB相离；
当r＝4cm时，d＜r，⊙C与AB相交．
随堂练习
本节课学习了如下内容：
1．直线与圆的三种位置关系．
（1）从公共点数来判断．
（2）从d与r间的数量关系来判断．
2．圆的切线的性质：
圆的切线垂直于过切点的半径．
24.2.2直线和圆的位置关系
（2）
1．能判定一条直线是否为圆的切线．
2．会过圆上一点画圆的切线．
3．会作三角形的内切圆．
1、探索圆的切线的判定方法，并能运用．
2、作三角形内切圆的方法．
探索圆的切线的判定方法．
Ⅰ
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