第二章点直线平面之间的位置关系 单元测试人教A版必修2文档格式.docx

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，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为（　　）

A．30°

B．60°

C．90°

D．120°

易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.

4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝

.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折

过程中（　　）

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

当AC＝1时，由DC＝1，AD＝

，得∠ACD为直角，DC⊥AC，又因为DC⊥BC，所以DC⊥面ABC.所以DC⊥AB.

5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（　　）

A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β

C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

选项A的已知条件中加上m⊂β，那么命题就是正确的，也就是面面垂直的性质定理．选项B错误，容易知道两个平面内分别有一条直线平行，那么这两个平面可能相交也可能平行．选项C错误，因为两个平面各有一条与其平行的直线，如果这两条直线垂直，并不能保证这两个平面垂直．选项D正确，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因为m⊥β，所以m⊥α.

6．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（　　）

A．90°

B．45°

C．60°

D．30°

取BC中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，

可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，

∴∠EFH＝30°

.

7．点P是等腰△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，底边BC＝6，AB＝5，则P到BC的距离为（　　）

A．4

B.

C．3

D．2

作AD⊥BC于D，连接PD，易证PD⊥BC，故PD的长即为P到BC的距离．

AD＝

＝

＝4.

∴PD＝

＝4

A

8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为（　　）

A.

C.

D.

在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线，垂足为E，连接BE.

⇒C1E⊥平面BDD1B1，

∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值．

∵BC1＝

，C1E＝

，

∴sin∠C1BE＝

9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是（　　）

A．45°

B．30°

D．90°

如图，设正方形边长为a.

在△AMD中，AD＝a，AM＝

a，

DM＝

∴AD2＝DM2＋AM2，

∴∠AMD＝90°

10．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

折叠后，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，

AB⊂平面ABD，

∴AB⊥平面BCD，又AB⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面BCD，

同理CD⊥BD，CD⊂平面BCD，

∴CD⊥平面ABD，

又∵CD⊂平面ACD，

∴平面ACD⊥平面ABD.

∴互相垂直的平面有：

平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ACD⊥平面ABD，共3对．

C

第Ⅱ卷（非选择题，共70分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．

①②

（1）图①可以用符号语言表示为__________．

（2）图②可以用符号语言表示为__________．

（1）α∩β＝l，m⊂α，m∥l，n⊂β，n∩l＝P

（2）α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B

12．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：

________时，SC∥平面EBD.

当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.

设AC与BD的交点为O，连接EO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴点O是AC的中点．

又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．

∴OE∥SC.

∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，

∴SC∥平面EBD.

E是SA的中点

13．在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中，与MN平行的是__________．

如图，设DC的中点为E，则重心M、N分别在中线AE、BE上，且

∴MN∥AB，

而AB⊂面ABC，AB⊂面ABD

∴MN∥面ABD，MN∥面ABC.

面ABD，面ABC

14．（2012·

佛山高一检测）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个结论：

①m⊥n；

②α⊥β；

③n⊥β；

④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题是__________．

当m⊥n，n⊥β时，m∥β，又m⊥α，所以α⊥β；

当α⊥β，n⊥β时，n∥α，又m⊥α，所以m⊥n.

①③④⇒②（或②③④⇒①）

三、解答题：

本大题共4小题，满分50分．

15．（12分）如图，在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°

，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°

，平面PAC⊥平面ABC.

求证：

平面PAB⊥平面PBC.

证明：

∵平面PAC⊥平面ABC，

PA⊥AC，AC＝平面ABC∩平面PAC，

PA⊂平面PAC，

∴PA⊥平面ABC.

又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.（6分）

又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，

∴BC⊥平面PAB.

BC⊂平面PBC，

∴平面PAB⊥平面PBC.（12分）

16．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°

，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

（1）∵E，F分别是AP，AD的中点，

∴EF∥PD.

又∵PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD.

∴直线EF∥平面PCD.（6分）

（2）连接BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°

∴△ABD为正三角形．

又∵F是AD的中点，∴BF⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

BF⊂平面ABCD，

∴BF⊥平面PAD.又BF⊂平面BEF，

∴平面BEF⊥平面PAD.（12分）

17．（12分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝

，CE＝EF＝1.

（1）求证：

AF∥平面BDE；

（2）求证：

CF⊥平面BDE.

（1）设AC与BD交于点G.

∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝

AC＝1，

∴四边形AGEF为平行四边形．

所以AF∥EG.

∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，

∴AF∥平面BDE.（6分）

（2）连接FG.

∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，

∴四边形CEFG为菱形．

∴CF⊥EG.

∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.

又∵平面ACEF⊥平面ABCD，

且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，

∴BD⊥平面ACEF.

∴CF⊥BD.

又BD∩EG＝G，

∴CF⊥平面BDE.（12分）

18．（14分）△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA＝AB＝2a，DC＝a，且F为BE的中点，如图．

DF∥平面ABC；

AF⊥BD；

（3）求平面BDF与平面ABC所成锐二面角的大小．

（1）证明：

如图所示，取AB的中点G，连接CG，FG.

∵EF＝FB，AG＝GB，

∴FG綊

EA.

又DC綊

EA，∴FG綊DC.

∴四边形CDFG为平行四边形，

故DF∥CG.

∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，

∴DF∥平面ABC.（4分）

（2）证明：

∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥CG.

又△ABC是正三角形，

∴CG⊥AB.

∴CG⊥平面AEB.

∴CG⊥AF.

又∵DF∥CG，

∴DF⊥AF.

又AE＝AB，F为BE中点，

∴AF⊥BE.又BE∩DF＝F，

∴AF⊥平面BDE.

∴AF⊥BD.（8分）

（3）延长ED交AC延长线于G′，连接BG′.

由CD＝

AE，CD∥AE知D为EG′中点，

∴FD∥BG′.

由CG⊥平面ABE，FD∥CG，

∴BG′⊥平面ABE.

∴∠EBA为所求二面角的平面角．（12分）

在等腰直角三角形AEB中，易求∠ABE＝45°

（14分）