高等数学导数的意义求导法则与高阶导数知识与练习.docx
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高等数学导数的意义求导法则与高阶导数知识与练习
导数的意义基本知识
1．导数、单侧导数、导函数的定义：
左、右导数
导函数
2．导数的几何物理意义：
几何意义：
表示曲线
在点
处的切线斜率，即
其中
是切线的倾角。
物理意义：
表示做变速直线运动
的物体在
时刻的瞬时速度，即
。
3．
在
点可导的性质：
性质1（必要条件）
在
点可导
在
点连续，
即：
可导连续，不连续不可导。
性质2（充要条件）
依此用于判定连续函数在分段点的可导性。
性质3
在
点可导且
：
当
有
当
有
即
的符号指示了
在点
变化方向！
4．两个结论：
1）可导的偶（奇）函数的导数是奇（偶）函数；
2）可导的周期函数的导数仍为具有相同周期的周期函数。
下面给出结论1的证明：
设
为偶函数，即
又
可导，根据导数定义，
即
为偶函数。
求导的基本知识
1.求导法则（四则运算法则）：
若
都在点
具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在
具有导数，且
2.反函数的求导法则：
若
在区间
内单调，可导且
，则它的反函数
在区间
内也可导，且
即“反函数的导数等于直接函数导数的倒数”。
3.复合函数的求导法则：
若
可导，
则复合函数
在点
可导，且
4.常用求导公式：
（略）
5.补充两个结论：
Ⅰ
点连续且
，
则
点可导
点可导。
点连续且
，
则
点可导
点可导且
。
依此，可方便地判定
在一点的可导性。
Ⅱ
点可导，
点连续但不可导，
则
在
点可导
即若
在
点不可导，
若
在
点可导且
依此，可用于判定可导函数与连续函数之积函数在一点可导性。
证明：
Ⅰ
（或
）
有
（或
）
（或
）
点可导
点可导
且
点导数
点导数
。
Ⅰ
点可导
存在
或
即
。
Ⅱ
设
由
知
点可导且
设
点可导，反证之，若
由
知
，由
、
点可导且
知
点可导与条件
点连续矛盾
高阶导数基本知识
1.高阶导数定义:
二阶导数：
阶导数：
2.高阶导数的基本公式：
（
任意数）
、
简记为
、
，
、
阶可导，
重点难点
1.求一给定的函数
的任意阶导数即
，常用如下方法：
（1）归纳法：
先逐一求出
的一、二、三阶导数，然后正确归纳
的公式（必要时用数学归纳法证明之）。
（2）分解法：
通过恒等变形将
分解成
，求出
、
，则有
。
（3）用莱布尼兹公式求乘积函数的
阶导数。
（4）利用简单的初等函数的
阶导数公式。
2.求高阶导一般比较麻烦，应先化简变成基本公式中的形式，再套用公式。
例
（1）求有理分式的高阶导时，应先化为真分式和多项式之和，而真分式分解成若干次数较低的分式之和，此后再求导。
（2）求三角函数的高阶导时，通过倍角公式或积化和差将其化为若干个基本三角函数的
代数和，再行求导。
（3）反三角函数的高阶导数时，因反双曲、对数函数的一阶导都是代数函数，它们的高阶导即求代数函数的低一阶的导数。
3.计算带有
或分段函数的复合函数的二阶导数时，应先把复合函数按分段函数正确表达，再逐次求导；在分段点若一阶导不存在，则二阶导不必计算；若存在，应根据一阶导的分段表达式再按导数定义进行计算，步骤比较多，不要遗漏。
习题选解
1.求下列函数的二阶导数：
（10）
解：
（采用逐阶求导法解之）
（11）
解：
3.若
存在，求下列函数
的二阶导数
：
（1）
解：
（2）
解：
4.试从
导出：
（1）
（2）
证明：
（1）
（2）
[注：
、
等仍是
的函数]
6.验证
（
、
、
常数）满足关系式
。
证明：
[只须算出
，再验证之]
8.求下列函数的
阶导数的一般表达式：
（2）
解：
（4）
解：
由乘积函数的莱布尼兹公式和
得：
9.求下列函数所指定的阶的导数：
（2）
求
.
解：
[
的高阶导数都为零，应该用莱布尼兹公式计算本题]
在线检测
1.设
有
阶导数，求证：
.
2.求下列函数的
阶导数
：
（1）
（2）
（3）
3.求
在
处的
阶导数。
4.设
，
具有二阶导，求
.
【答案：
1.略
2.
（1）
[提示：
，
注意
]
（2）
[提示：
变形
] （3）
[提示：
用莱布尼兹公式]
3.
]
4.
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