高等数学导数的意义求导法则与高阶导数知识与练习.docx

1、高等数学导数的意义求导法则与高阶导数知识与练习导数的意义基本知识1导数、单侧导数、导函数的定义： 左、右导数 导函数 2导数的几何物理意义： 几何意义： 表示曲线 在点 处的切线斜率，即 其中 是切线的倾角。 物理意义： 表示做变速直线运动 的物体在 时刻的瞬时速度，即 。3 在 点可导的性质： 性质1（必要条件） 在 点可导 在 点连续， 即： 可导连续，不连续不可导。 性质2（充要条件） 依此用于判定连续函数在分段点的可导性。 性质3 在 点可导且 ： 当 有 当 有 即 的符号指示了 在点 变化方向！4两个结论：1）可导的偶（奇）函数的导数是奇（偶）函数； 2）可导的周期函数的导数仍为具

2、有相同周期的周期函数。 下面给出结论1的证明： 设 为偶函数，即 又 可导，根据导数定义， 即 为偶函数。求导的基本知识1.求导法则（四则运算法则）： 若 都在点 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在 具有导数，且2.反函数的求导法则： 若 在区间 内单调，可导且 ，则它的反函数 在区间 内也可导，且 即“反函数的导数等于直接函数导数的倒数”。3.复合函数的求导法则： 若 可导， 则复合函数 在点 可导，且 4.常用求导公式：（略）5.补充两个结论： 点连续且 ， 则 点可导 点可导。点连续且 ， 则 点可导 点可导且 。 依此，可方便地判定 在一点的可导性。 点可导，

3、点连续但不可导， 则 在 点可导 即若 在 点不可导， 若 在 点可导且 依此，可用于判定可导函数与连续函数之积函数在一点可导性。证明： （或 ） 有 （或 ） （或 ） 点可导 点可导 且 点导数 点导数 。 点可导 存在 或 即 。 设 由 知 点可导且 设 点可导，反证之，若 由 知 ，由 、 点可导且 知 点可导与条件 点连续矛盾 高阶导数基本知识1.高阶导数定义:二阶导数： 阶导数： 2.高阶导数的基本公式： （ 任意数） 、 简记为 、 ， 、 阶可导， 重点难点1.求一给定的函数 的任意阶导数即 ，常用如下方法：（1）归纳法：先逐一求出 的一、二、三阶导数，然后正确归纳 的公式（

4、必要时用数学归纳法证明之）。（2）分解法：通过恒等变形将 分解成 ，求出 、 ，则有 。（3）用莱布尼兹公式求乘积函数的 阶导数。（4）利用简单的初等函数的 阶导数公式。2.求高阶导一般比较麻烦，应先化简变成基本公式中的形式，再套用公式。例（1）求有理分式的高阶导时，应先化为真分式和多项式之和，而真分式分解成若干次数较低的分式之和，此后再求导。 （2）求三角函数的高阶导时，通过倍角公式或积化和差将其化为若干个基本三角函数的代数和，再行求导。 （3）反三角函数的高阶导数时，因反双曲、对数函数的一阶导都是代数函数，它们的高阶导即求代数函数的低一阶的导数。3.计算带有 或分段函数的复合函数的二阶导数

5、时，应先把复合函数按分段函数正确表达，再逐次求导；在分段点若一阶导不存在，则二阶导不必计算；若存在，应根据一阶导的分段表达式再按导数定义进行计算，步骤比较多，不要遗漏。习题选解1. 求下列函数的二阶导数：（10） 解：（采用逐阶求导法解之） （11） 解： 3.若 存在，求下列函数 的二阶导数 ：（1） 解： （2） 解： 4.试从 导出：（1） （2） 证明：（1） （2） 注： 、 等仍是 的函数6.验证 （ 、 、 常数）满足关系式 。证明：只须算出 ，再验证之 8. 求下列函数的 阶导数的一般表达式：（2） 解： （4） 解：由乘积函数的莱布尼兹公式和 得： 9. 求下列函数所指定的阶的导数：（2） 求 .解： 的高阶导数都为零，应该用莱布尼兹公式计算本题 在线检测1.设 有 阶导数，求证： .2. 求下列函数的 阶导数 ：（1） （2） （3） 3.求 在 处的 阶导数。4.设 ， 具有二阶导，求 .【答案：1.略 2.（1） 提示： ，注意 （2） 提示：变形 （3） 提示：用莱布尼兹公式3. 4.