人教版九年级数学上册知识点总结.doc

人教版九年级数学上册知识点总结.doc

《人教版九年级数学上册知识点总结.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版九年级数学上册知识点总结.doc（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

人教版九年级数学上册知识点总结

第二十一章二次根式

21.1二次根式

知识点一二次根式的概念

（1）一般地,我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式。

二次根式的实质是一个非负数a的算术平方根。

其中“”叫做二次根号。

（2）正确理解二次根式的概念，要把握以下几点：

①二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“”。

如是二次根式，虽然=2，但2不是二次根式。

②被开方数a必须是非负数，即a≥0.如就不是二次根式，但式子2是二次根式。

③“”的根指数为2，即“”，一般省略根指数2，写作“”，注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。

提示：

判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。

知识点二二次根式的性质

（1）（a≥0）既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即≥（a≥0），我们把这个性质叫做二次根式的非负性。

（2）（）2=a（a≥0），这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。

（3）2=a（a≥0），这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数（式）时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。

知识点三代数式

定义：

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。

21.2二次根式的乘除

知识点一二次根式的乘法法则

一般地，对二次根式的乘法规定：

·=（a≥0,b≥0），即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

知识点二积的算术平方根的性质

=·（a≥0，b≥0），积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。

知识点三二次根式的除法法则

一般地，对二次根式的除法规定：

=（a≥0，b＞0），即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

知识点四商的算术平方根的性质

=（a≥0,b＞0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

知识点五最简二次根式

必须满足以下两个条件：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

21.3二次根式的加减

知识点一二次根式的加减

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，二次根式加减法的实质是将被开方数相同的二次根式合并，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变。

知识点二二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同：

先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。

（2）在二次根式的运算中乘法法则和乘法公式仍然适用。

22.1一元二次方程

知识点一一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式

一般形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）.其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

22.2降次——解一元二次方程

22.2.1配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a（a≥0）的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=.

（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或（mx+a）2=p（m≠0）形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：

①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：

一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）方程两边都除以二次项系数；

（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；

（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

22.2.2公式法

知识点一公式法解一元二次方程

（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的过程。

（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：

①方程化为一般形式：

ax2+bx+c=0（a≠0），一般a化为正值

②确定公式中a,b,c的值，注意符号；

③求出b2-4ac的值；

④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.

△＞0，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根

一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根

根的判别式

△＜0，方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根

22.2．3因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程

（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

（2）因式分解法的详细步骤：

①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；

③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二用合适的方法解一元一次方程

方法名称

理论依据

适用范围

直接开平方法

平方根的意义

形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）

配方法

完全平方公式

所有一元二次方程

公式法

配方法

所有一元二次方程

因式分解法

当ab=0，则a=0或b=0

一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。

22.2.4一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.

若一元二次方程a2x+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=，,x1x2=

22.3实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）审：

是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

（2）设：

是指设元，也就是设出未知数。

（3）列：

就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

（4）解：

就是解方程，求出未知数的值。

（5）验：

是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

（6）答：

写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型

（1）数字问题

三个连续整数：

若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。

三个连续偶数（奇数）：

若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：

设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.

（2）增长率问题

设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a

（1）2=b。

（3）利润问题

利润问题常用的相等关系式有：

①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率

（4）图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

第二十三章旋转

23.1图形的旋转

知识点一旋转的定义

在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

知识点二旋转的性质

旋转的特征：

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。

理解以下几点：

（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。

（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。

知识点三利用旋转性质作图

旋转有两条重要性质：

（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。

步骤可分为：

①连：

即连接图形中每一个关键点与旋转中心；

②转：

即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）

③截：

即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

④接：

即连接到所连接的各点。

23.2中心对称

知识点一中心对称的定义

中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

注意以下几点：

中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。

知识点二作一个图形关于某点对称的图形

要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。

最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。

知识点三中心对称的性质

有以下几点：

（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；

（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。

知识点四中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

知识点五关于原点对称的点的坐标

在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。

第二十四章圆

24.1圆

24.1.1圆

知识点一圆的定义

圆的定义：

第一种：

在一个平面内，线段OA绕它