九年级二次函数讲义.doc
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二次函数
一．知识梳理
1、定义：
只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。
一元二次方程的标准式：
ax2+bx+c=0（a≠0）
其中：
ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项
a是二次项系数，b是一次项系数
2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）：
“△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中△=b2-4ac
△=b2-4ac>0<====>方程有两个不相等的实数根，即：
x1,x2
△=b2-4ac=0<====>方程有两个相等的实数根，即：
x1=x2
△=b2-4ac<0<====>方程没有实数根。
注：
“<====>”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：
告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<0
3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。
ax2+bx+c=0（a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有：
因为：
ax2+bx+c=0（a≠0）化二次项系数为1可得，
所以：
韦达定理也描述为：
两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
注意：
（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。
5、一元二次方程的求根公式：
注：
任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。
一、求二次函数的三种形式：
1.一般式：
y=ax2+bx+c，（已知三个点）
顶点坐标（－，）
2.顶点式：
y=a（x－h）2+k，（已知顶点坐标对称轴）
顶点坐标（h，k）
3.交点式：
y=a（x-x1）（x-x2），（有交点的情况）
与x轴的两个交点坐标x1，x2
对称轴为
二、abc作用分析
│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，│a│越小，开口越大，
a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－<0，即对称轴在y轴左侧，当a，b异号时，对称轴x=－>0，即对称轴在y轴右侧，（左同右异y轴为0）c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c（a>0）
y=ax2+bx+c（a<0）
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
a>0,开口向上
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.
x
y
0
x
y
0
二．专题精练
专题一：
二次函数与一元二次方程的关系
本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.
考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围
一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.
例1根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c,为常数）的一个解的范围是（ ）
6.17
6.18
6.19
6.20
Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．
考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：
有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
4
图1
例2已知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1所示，则关于x的一元二次方程-x2+3x+m=0的解为________.
考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况
图2
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.
例3在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（）
A.3 B.2 C.1 D.0
专项练习3
1.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是________.
2.已知二次函数的部分图象如图2所示，则关于的一元二次方程的解为．
3.已知函数的图象如图3所示，那么关于的方程的根的情况是（）
图3
A.无实数根 B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根
图4
4.二次函数的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根．
（2）写出不等式的解集．
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
专题二、探究几何图形中的二次函数关系
【例11】在梯形中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，．
（1）求与的函数表达式；
（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｆ
Ｃ
Ｂ
课堂检测
1、二次函数的图像可以由二次函数的图像平移而得到，下列平移正确的是（）
A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位;
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
2、在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）
A．y＝2（x－2）2+2 B．y＝2（x+2）2－2C．y＝2（x－2）2－2 D．y＝2（x+2）2+2
3、二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）
A．向上、直线x=4、（4，5）B．向上、直线x=-4、（-4，5）
C．向上、直线x=4、（4，-5）D．向下、直线x=-4、（-4，5）
.
.
4、二次函数的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）
A、＜0B、＞0C、＞0D、＞0
5、函数在同一直角坐标系内的图象大致是（）
6、二次函数的图象如图4所示，
则下列说法不正确的是（）
A． B．
C． D．
7、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）．
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
8、已知关于x的函数同时满足下列三个条件：
①函数的图象不经过第二象限；②当时，对应的函数值；③当时，函数值y随x的增大而增大．你认为符合要求的函数的解析式可以是：
（写出一个即可）．
9、如右图，抛物线经过点，与y轴交于点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是等腰三角形，试求点P的坐标.
《专题五。
形积问题》
形积专题
1.（中考变式）如图，抛物线与x轴交与A（1,0）,B（-3，0）两点，顶点为D。
交Y轴于C
求该抛物线的解析式与△ABC的面积。
2.（08湛江）如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．
求A、B、C三点的坐标．过A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
三．课堂检测
1．已知函数y=ax2+bx+c，当x=3时，函数的最大值为4，当x=0时，y=－14，则函数关系式____.
2．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式.
3．函数的图象与轴的交点坐标是________.
4．抛物线y=（x–1）2–7的对称轴是直线..
5．二次函数y=2x2-x-3的开口方向_____，对称轴_______，顶点坐标________.
6.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标是（5，0），（-2，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是_______.
7.用配方法把二次函数y=2x2+2x-5化成y=a（x-h）2+k的形式为___________.
8.抛物线y=（m-4）x2-2mx-m-6的顶点在x轴上，则m=______.
9.若函数y=a（x-h）2+k的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y=-2x2-2x+3相同，则此函数关系式______.
快乐作业
1．抛物线y=-2（x-1）2-3与y轴的交点纵坐标为（ ）
（A）-3（B）-4（C）-5 （Ｄ）-1
2．将抛物线y=3x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）
（A）y=3（x+2）2+4（B）y=3（x-2）2+4（C）y=3（x-2）2-4（D）y=3（x+2）2-4
3.抛物线y=x2，y=-3x2，y=x2的图象开口最大的是（ ）
（A）y=x2（B）y=-3x2（C）y=x2（D）无法确定
4.二次函数y=x2-8x+c的最小值是0，那么c的值等于（ ）
（A）4 （B）8 （C）-4 （D）16
5已知抛物线经过（-1，0），（0，-3），（2，-3）三点.
⑴求这条抛物线的表达式；
⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
6.如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线
（1）求点E的坐标；
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