3．已知抛物线y＝3ax2＋2bx＋c，
（1）若a＝3k，b＝5k，c＝k＋1，试说明此类函数图象具有的性质；
（2）若a＝
，c＝2＋b且抛物线在－2≤x≤2区间上的最小值是－3，求b的值；
（3）若a＋b＋c＝1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由．
4.关于x的二次函数y1＝kx2＋（2k－1）x－2（k为常数）和一次函数y2＝x＋2.
（1）若k＝2，求函数y1的顶点坐标；
（2）若函数y1的图象不经过第一象限，求k的取值范围；
（3）已知函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，
①试求此时k的值；
②若y1>y2，试求x的取值范围．
命题点2 与几何图形结合
5．（2017天津）已知抛物线y＝x2＋bx－3（b是常数）经过点A（－1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′.
①当点P′落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P′落在第二象限内，P′A2取得最小值时，求m的值．
6.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（－3，0），与y轴交于点C，点D（－2，－3）在二次函数的图象上．
（1）求二次函数的解析式；
（2）二次函数图象的对称轴上有一动点P，求出PA＋PD的最小值；
第6题图
（3）若二次函数图象上有一动点P，使△ABP的面积为6，求P点坐标．
7．（2017贵港）如图，抛物线y＝a（x－1）（x－3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D.
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）设S△BCD：
S△ABD＝k，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
第7题图
8.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax＋a＋4（a＜0）经过点A（－1，0），且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是顶点．
（1）填空：
a＝________；顶点D的坐标为______；直线BC的函数表达式为________；
（2）直线x＝t与x轴相交于一点．
①当t＝3时得到直线BN（如图①），点M是直线BC上方抛物线上的一点．若∠COM＝∠DBN，求出此时点M的坐标；
②当1＜t＜3时（如图②），直线x＝t与抛物线、BD、BC及x轴分别相交于点P、E、F、G，试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为
，求此时t的值．
第8题图
9.如图，已知抛物线y＝－
x2＋bx＋c图象经过A（－1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m－1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F.
①求证：
四边形DECF是矩形；
②试探究：
在点D运动过程中，DE、DF、CF的长度之和是否发生变化？
若不变，求出它的值，若变化，试说明变化情况．
第9题图
10.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝－x＋3相交于坐标轴上的A，B两点，顶点为C.
（1）填空：
b＝________，c＝________；
（2）将直线AB向下平移h个单位长度，得直线EF.当h为何值时，直线EF与抛物线y＝x2＋bx＋c没有交点？
（3）直线x＝m与△ABC的边AB，AC分别交于点M，N.当直线x＝m把△ABC的面积分为1∶2两部分时，求m的值．
第10题图
11.（2017凉山州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝8，OC＝6.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？
（3）在
（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN的面积的9倍？
若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第11题图
答案
1．解：
k取－1时，y随x的增大而减小；k取2时，y随x的增大而增大；k取
时，y随x的增大而减小．理由如下：
把k＝－1代入y＝2xk2－2－（k＋1）x，
得y＝2x－1，即y＝
，y是x的反比例函数，
所以在x≥2时，y随x的增大而减小；
把k＝2代入y＝2xk2－2－（k＋1）x，
得y＝2x2－3x，y是x的二次函数，且开口向上，
∵y＝2x2－3x＝2（x－
）2－
，
∴对称轴为直线x＝
，
∴在x≥2时，y随x的增大而增大；
把k＝
代入y＝2xk2－2－（k＋1）x，
得y＝2－（
＋1）x，y是x的一次函数，
∵k<0，
∴y随x的增大而减小．
2．解：
（1）∵|k|＝2，
∴k＝2或－2，
∴y＝2（x－1）（x＋2）＝2x2＋2x－4或y＝－2（x＋1）（x＋2）＝－2x2－6x－4，
图象如解图：
第2题解图
（2）∵k1∴k2＝－k1，
∴k2>0，k1<0，
∴y2＝k2（x－
）（x＋2）＝－k1（x＋
）（x＋2），
顶点坐标为：
（－
－1，k1－2＋
），与x轴交点为：
（－
，0），（－2，0），
由y1＝k1（x－
）（x＋2）知，顶点坐标为：
（
－1，－
－2－k1），与x轴交点为：
（
，0），（－2，0），
∵|k1|＝|k2|，
∴y2的图象可由y1的图象变换得到，
即y1向右平移－
（因为k1<0，－
>0）个单位，再向上平移4个单位后，再沿x轴翻折（关于x轴对称）可得y2图象；
（3）当x＝0时，y1＝－4，y2＝－4，
∵y1与y2的交点分别为（－2，0）和（0，－4），
∴当y10.
3．解：
（1）∵a＝3k，b＝5k，c＝k＋1，
∴抛物线y＝3ax2＋2bc＋c可化为y＝9kx2＋10kx＋k＋1＝（9x2＋10x＋1）k＋1，
∴令9x2＋10x＋1＝0，
解得x1＝－1，x2＝－
，
∴图象必过（－1，1），（－
，1），
∴对称轴为直线x＝
＝－
；
（2）∵a＝
，c＝2＋b，
∴抛物线y＝3ax2＋2bx＋c可化为y＝x2＋2bx＋2＋b
∴对称轴为直线x＝－b，
当－b>2时，即b<－2，
x＝2时y取到最小值为－3.
∴4＋4b＋2＋b＝－3，解得b＝－
（不符合），
当－b<2时，即b>－2，
x＝2时y取到最小值为－3.
∴4＋4b＋2＋b＝－3，解得b＝3；
当－2<－b<2时即－2＝
＝－3，
解得b1＝
（不符合），b2＝
，
∴b＝3或
；
（3）∵a＋b＋c＝1，
∴c－1＝－a－b，
令y＝1，则3ax2＋3bx＋c＝1.
Δ＝4b2－4（3a）（c－1），
∴Δ＝4b2＋4（3a）（a＋b）＝9a2＋12ab＋4b2＋3a2＝（3a＋2b）2＋3a2，
∵a≠0，
∴（3a＋2b）2＋3a2>0，
∴Δ>0，
∴必存在实数x，使得相应的y的值为1.
4．解：
（1）当k＝2时，y1＝2x2＋3x－2＝2（x＋
）2－
，
∴顶点坐标为（－
，－
）；
（2）∵y1＝k（x＋2）（x－
），
∴该抛物线与x轴的交点为（－2，0）、（
，0），与y轴的交点为（0，－2），
而函数y1的图象不经过第一象限，
∴点（
，0）必不在x轴的正半轴上，
∴
<0，即k<0；
（3）①∵y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，
∴
＋2＝±3，
解得：
k1＝1，k2＝－
；
②当k＝1时，y1＝（x＋2）（x－1），y2＝x＋2，
∵y1>y2，
∴（x＋2）（x－1）>x＋2，即（x＋2）（x－2）>0，
解得：
x<－2或x>2；
当k＝－
时，
∵y1>y2，
∴－
（x＋2）（x＋5）>x＋2，即（x＋2）（x＋10）<0，
解得：
－10总上所述，当k＝1时，x<－2或x>2，当k＝－
时，－105．解：
（1）∵抛物线y＝x2＋bx－3经过点A（－1，0），
∴0＝1－b－3，解得b＝－2，
∴抛物线解析为y＝x2－2x－3，
∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，
∴抛物线顶点坐标为（1，－4）；
（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t＝m2－2m－3，
∵点P′与P关于原点对称，
∴P′（－m，－t），
∵P′落在抛物线上，
∴－t＝（－m）2－2（－m）－3，即t＝－m2－2m＋3，
∴m2－2m＋3＝－m2－2m＋3，解得m＝
或m＝－
；
②由题意可知P′（－m，－t）在第二象限，
∴－m<0，－t>0，即m>0，t<0，
∵抛物线的顶点坐标为（1，－4），
∴－4≤t<0，
∵P在抛物线上，
∴t＝m2－2m－3，
∴m2－2m＝t＋3，
∵A（－1，0），P′（－m，－t），
∴P′A2＝（－m＋1）2＋（－t）2＝m2－2m＋1＋t2＝t2＋t＋4＝（t＋
）2＋
；
∴当t＝－
时，P′A2有最小值，
∴－
＝m2－2m－3，解得m＝
或m＝
，
∵m>0，
∴m＝
不合题意，舍去，
∴m的值为
.
6．解：
（1）∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A（－3，0），D（－2，－3），
∴
，解得
，
∴二次函数解析式为y＝x2＋2x－3.
（2）∵二次函数图象的对称轴为x＝－1，D（－2，－3），C（0，－3），
∴C、D关于直线x＝－1对称，如解图，连接AC，设AC与对称轴的交点为P，
此时PA＋PD＝PA＋PC＝AC＝
＝
＝3
.
（3）设点P坐标（m，m2＋2m－3），
令y＝0，即x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3或1，
∴点B坐标（1，0），
∴AB＝4，
∵S△PAB＝6，
∴
·4·|m2＋2m－3|＝6，
∴m2＋2m－6＝0或m2＋2m＝0，
∴m＝－1＋
或－1－
或0或－2，
∴点P坐标为（0，－3）或（－2，－3）或（－1＋
，3）或（－1－
，3）．
第6题解图
7．解：
（1）y＝a（x－1）（x－3），令x＝0可得y＝3a，
∴C（0，3a），
∵y＝a（x－1）（x－3）＝a（x2－4x＋3）＝a（x－2）2－a，
∴D（2，－a）；
（2）在y＝a（x－1）（x－3）中，令y＝0可解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB＝3－1＝2，
∴S△ABD＝
×2×a＝a，
如解图，设直
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