三角型旁心的三个性质.doc
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三角型旁心的三个性质
性质1:
旁心与内心的关系
如图,I为△ABC的内心,IA、IB、IC是△ABC的三个旁心。
注意:
IIA、IIB、IIC的中点D、E、F都在△ABC外接圆上。
这一点对内心来确定旁心的位置大有作用。
又由内心张角公式得:
∠BIC=90°+1/2∠BAC,
又因为IA、C、I、B四点共圆,故
∠BIAC=90°-1/2∠BAC
同理,∠CIBA=90°-1/∠CBA
∠AICB=90°1/2∠ACB
这便是旁心张角公式
性质2:
旁心于半周长(p)形影不离
如图:
IA是△ABC的旁心,作IAE垂直于AB于E,IAF垂直于AC于F。
易得:
BE=BD,CF=CD,AE=AF,AE+AF=(AB+BD)+(AC+CD)=AB+BC+AC,故AE=AF=p△ABC
性质3:
旁心与三角形三个顶点构成三组三点共线
如图:
IA、IB、IC分别是△ABC的三个旁心,由于AIB、AIC是对顶角的平分线亦为反向延长线,故IB、A、IC三点共线。
同理,IC、B、IA,IA、C、IB业共线。
旁心
开放分类:
数学、三角形、几何、巧合点
三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心叫做旁心。
旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等。
如图,点M就是△ABC的一个旁心。
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。