高中数学北师大版必修五教学设计32基本不等式与最大小值Word下载.docx

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思路2.（直接导入）通过上节课≥（a＞0，b＞0）的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步熟悉利用基本不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．

推进新课　　　　　

①回忆上节课探究的基本不等式，怎样理解基本不等式的意义？

②基本不等式都有哪些方面的应用？

③在应用基本不等式求最值时，应注意什么问题？

活动：

教师引导学生回忆上节课我们共同探究的基本不等式．从代数、几何两个背景推导出基本不等式≥（a＞0，b＞0）．这个不等式有着广泛的应用．对这个重要不等式，要明确它成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b＝0，仍然能使≥成立．基本不等式的主要作用是求某些函数的最值及解决一些实际问题．

在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；

见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值．”

本节课我们将进一步探究基本不等式的应用，例如：

你可以把一段16cm长的细铁丝弯成形状不同的矩形，如边长为4cm的正方形；

长5cm宽3cm的矩形；

长6cm宽2cm的矩形……，你会发现边长为4cm的那个正方形的面积最大．这是因为：

设矩形的长为x 

cm，宽为y 

cm，则x＋y＝8.这时，由基本不等式，得≥，即xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立．由此可知，边长为4cm的那个正方形的面积最大．

教师引导学生进一步探究，用类似上面的方法证明：

在面积为16cm2的所有不同形状的矩形中，边长为4cm的那个正方形的周长最小．

这表明，x，y都为正数时，下面的命题成立：

（1）若x＋y＝s（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值；

（2）若xy＝p（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.

讨论结果：

①～③略．

例1 

设x，y为正实数，且2x＋5y＝20，求u＝lg 

x＋lg 

y的最大值．

因为u＝lg（xy），所以问题成为：

已知x，y＞0,2x＋5y＝20，求xy的最大值．教师引导学生思考本例条件是否符合基本不等式的要求，同时提醒学生注意解答步骤．

解：

因为x＞y，y＞0，所以由基本不等式，得≥＝.

由于2x＋5y＝20，所以≤10，即xy≤10.当且仅当2x＝5y时，等号成立，因此有 

解得x＝5，y＝2.

当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.

这样　u＝lg 

y＝lg（xy）≤lg10＝1.

所以，当x＝5，y＝2时，u＝lg 

y有最大值1.

点评：

利用本小节命题求最大值或最小值时，应注意：

①x，y一定是正数；

②求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；

求和x＋y的最小值时，看积xy是否为定值；

③等号是否能够成立．

以上三条我们习惯上简称为“一正、二定、三相等”.

变式训练

设0＜x＜2，求函数f（x）＝的最大值，并求相应的x值．试问0＜x＜时，原函数f（x）有没有最大值？

0＜x≤1时，f（x）有没有最大值？

若有，请你求出；

若没有，请你说明理由．

∵0＜x＜2，∴8－3x＞0.

∴f（x）＝≤＝4，

当且仅当3x＝8－3x，即x＝时取“＝”．

∴函数f（x）的最大值为4，此时x＝.

又f（x）＝＝，

∵当0＜x＜时，f（x）递增；

当x＞时，f（x）递减，

∴当0＜x＜时，原函数f（x）没有最大值．

当0＜x≤1时，有最大值f

（1），即f

（1）＝.

例2 

（1）已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值；

（2）已知a，b为实数，求函数y＝（x－a）2＋（x－b）2的最小值．

（1）因为4x－5＜0，所以首先要“调整”符号，又（4x－2）·

不是常数，所以应对4x－2进行拆（添）项“配凑”．

（2）从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到（x－a）＋（b－x）为定值，则用变形不等式≥更简捷．

（1）∵x＜，∴5－4x＞0.

∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立．

∴当x＝1时，ymax＝1.

（2）∵y＝（x－a）2＋（x－b）2＝（x－a）2＋（b－x）2

≥22＝，当且仅当x－a＝b－x，即x＝时，上式等号成立，

∴当x＝时，ymin＝.

若x，y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p.若p为定值，则当且仅当x＝y时，s的值最小；

如果s为定值，则当且仅当x＝y时，p的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答中可以看出，求最值时往往需要拆（添）项，其目的是创设应用基本不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.

已知在△ABC中，∠ACB＝90°

，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是__________．

本例可建立适当的直角坐标系，借助直线方程和基本不等式来解．也可运用相似三角形，找出P到AC，BC的距离之间的关系，再利用基本不等式来解．

解析：

以CA，CB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB方程为＋＝1，设P（a，b），则＋＝1（a＞0，b＞0）．

∴ab＝12·

·

≤122＝3，当且仅当“a＝”时等号成立．

答案：

3

例3．已知a、b、c是正实数

求证：

＋＋≥a＋b＋c.

[分析]　由可要证的不等式两边是三项，而均值不等式只有两项，故可尝试多次使用均值不等式．

[证明]　∵a、b、c是正实数，

∴＋≥2＝2c（当且仅当＝，即a＝b时，取等号）；

＋≥2＝2a（当且仅当＝，即b＝c时，取等号）；

＋≥2＝2b（当且仅当＝，即a＝c时，取等号）．

上面三个不等式相加得

2·

＋2·

≥2a＋2b＋2c（当且仅当a＝b＝c时，取等号）．

∴＋＋≥a＋b＋c.

[方法总结]　1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立．

2．对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加（乘）得结论．

例4 

若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__________．

这是一道高考题，题目优美精干，内容丰富、典型性强，较全面地考查了基本不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a＋b与ab的关系联想到基本不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．

由于视角的不同，有多种方法，现给出两种解法．

方法一：

令＝t（t＞0），由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得t2≥2t＋3，

解得t≥3，即≥3，故ab≥9.

方法二：

由已知得ab－b＝a＋3，b（a－1）＝a＋3，∴b＝（a＞1）．

∴ab＝a·

＝[（a－1）＋1]＝a＋3＋＝a－1＋4＋

＝a－1＋＋5≥2＋5＝9，

当且仅当a－1＝时取等号，即a＝b＝3时，ab的最小值为9.

∴ab的取值范围是[9，＋∞）．

[9，＋∞）

例5如右图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

（1）现有可围36m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

[分析]　设每间虎笼长x 

m，宽y 

m，则问题

（1）是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；

而问题

（2）则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值．因此，使用均值定理解决．

[解析]　设每间虎笼长x 

m，则由条件知：

4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.

设每间虎笼面积为S，则S＝xy.

解法一：

由于2x＋3y≥2＝2，

∴2≤18，得xy≤，

由，

解得

故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．

解法二：

由2x＋3y＝18，得x＝9－y.

∵x＞0，∴9－y>

0，∴0＜y＜6，

S＝xy＝y＝（6－y）·

y.

∵0＜y＜6，∴6－y＞0，

∴S≤·

2＝.

当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大．

（2）由条件知S＝xy＝24.

设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.

∵2x＋3y≥2＝2＝24，

∴l＝4x＋6y＝2（2x＋3y）≥48，

当且仅当2x＝3y时，等号成立．

由解得

故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．

由xy＝24得x＝.

∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×

2＝48.当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.

故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长

某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？

[分析]　年平均费用等于总费用除以年数，总费用包括：

购车费、保险费、汽油费以及维修费用总和，因此应先计算总费用，再计算年平均费用．

[解析]　设使用x年平均费用最少．

由条件知：

汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．

因此，汽车使用x年总的维修费用为

万元．

设汽车的年平均费用为y万元，则有

y＝＝

＝1＋＋≥1＋2＝3.

当且仅当＝，即x＝10时，y取最小值．

答：

汽车使用10年平均费用最少．

课本本节练习1　1～3.

1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？

应注意些什么？

2．教师点拨，本节课我们用基本不等式解决了函数的一些最值问题，以及不等式的证明问题．在用基本不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：

（1）函数的解析式中，各项均为正数；

（2）函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

（3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用基本不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：

一正、二定、三相等．在利用基本不等式证明一些不等式时，也应注意基本不等式成立的条件及构建基本不等式的结构．

课本习题3—3　A组4.

设计感想

1．本教案设计意在体现基本不等式的应用，应用基本不等式求解函数的最值并注意了一题多解的训练．

2．本教案设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．

3．本教案设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的操作活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．实际上，一堂课上下来，如果让人只感觉到学生和知识的存在，感觉不到老师存在的话，那才是教学的最高境界．

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；

读太阳，读出了它普照万物的无私；

读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；

幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 

幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；

幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；

幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；

从归雁的行列中，我读出了集体的力量；

从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；

从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；

从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；

朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；

朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；

青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；

青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；

青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。