初二数学导学案第十八章平行四边形Word文档格式.docx

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如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“

ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．

①∵AB//DC,AD//BC，

∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；

②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC（性质）．

注意：

平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）

合作探究

活动1小组讨论

探究

（一）平行四边形对边、对角的关系

平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？

我们一起来探究一下．

让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？

度量一下，是不是和你猜想的一致？

（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．

（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）

（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．

证明

下面证明这个结论的正确性．

已知：

如图

ABCD，

求证：

AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．

分析：

作

ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．

（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）

证明：

连接AC，

∵　AB∥CD，AD∥BC，

∴　∠1＝∠3，∠2＝∠4．

又　AC＝CA，

∴　△ABC≌△CDA（ASA）．

∴　AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．

又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，

∴　∠BAD＝∠BCD．

由此得到：

平行四边形性质1　　平行四边形的对边相等．

平行四边形性质2平行四边形的对角相等．

例1（见教材例1）

例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，

AF=CE．

要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．

证明略．

探究

（二）两条平行线之间的距离

距离是几何中的重要度量之一。

在前面学习的点与点、点与直线的距离的基础之上结合平行四边形的概念和性质介绍两条平行线之间的距离。

利用上图结合平行四边形的概念和性质得出：

两条平行线之间的任何两条平行线段都相等。

利用上图结合两条平行线之间的任何两条平行线段都相等的结论给出两条平行线之间的距离（两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的距离）这个概念。

活动2跟踪训练

当堂练习

1．填空：

（1）在

ABCD中，∠A=

，则∠B=度，∠C=度，∠D=度．

（2）如果

ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A=度，∠B=度，∠C=度，∠D=度．

（3）如果

ABCD的周长为28cm，且AB：

BC=2∶5，那么AB=cm，BC=cm，CD=cm，CD=cm．

2.课本43页练习

拓展和提升

1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．

（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是

2．在

ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．

（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个

3．如图4.3－9，在

ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：

BE＝DF．

活动3课堂小结

本节课你从中获得了什么？

作业：

1.正式作业：

课本49页第一题

2.课后作业：

名校课堂25,26页。

板书设计：

1.平行四边形的定义：

2.平行四边形的表示：

平行四边形ABCD记作“

3.平行四边形的性质：

平行四边形的对边相等．

平行四边形的对角相等

4.两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。

教学反思：

第二课时平行四边形的对角线特征

出示目标：

6．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．

7．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．

8．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．

9．重点：

平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．

10．难点：

综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

阅读课本43页至44页，完成下列问题。

1.有的_________四边形叫做平行四边形，记做________，读作_________。

2.平行四边形的性质：

_____________相等，___________相等，对角线___________。

3.平行四边形是__________对称图形，其对称中心是___________

1．复习提问：

（1）什么样的四边形是平行四边形？

四边形与平行四边形的关系是：

（2）平行四边形的性质：

①具有一般四边形的性质（内角和是

）．

②角：

平行四边形的对角相等，邻角互补．

边：

平行四边形的对边相等．

探究平行四边形对角线的关系及图形特征

方法一

请学生在纸上画两个全等的

ABCD和

EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将

ABCD绕点O旋转

，观察它还和

EFGH重合吗？

你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？

进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？

结论：

（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；

（2）平行四边形的对角线互相平分．

方法二：

结合课本43页下边有关内容。

五、例习题分析

例1（补充）　已知：

如图4－21，

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．

OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

在

ABCD中，AB∥CD，

∴　∠1＝∠2．∠3＝∠4．

又OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分），

∴△AOE≌△COF（ASA）．

∴　OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．

∵

ABCD，∴AB=CD（平行四边形对边相等）．

∴AB—AE=CD—CF．即BE=FD．

※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？

若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．

解略

例2已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及

ABCD的面积．

由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：

平行四边形的面积=底×

高（高为此底上的高），可求得

ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算

解略．

1．在平行四边形中，周长等于48，

1已知一边长12，求各边的长

2已知AB=2BC，求各边的长

3已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长

2．如图，

ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°

，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是_______cm．

3．

ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成

，

的两条线段，则

ABCD的周长是_____

．

1．判断对错

ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．（）

（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）

（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）

（4）平行四边形是轴对称图形．（）

2．在ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是________．

3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是．

课本49页第三题

名校课堂27,28页。

平行四边形的性质：

平行四边形的对角线互相平分

18.1.2平行四边形的判定

第一课时平行四边形的判定

（一）

孔令飞

朱军霞李华

1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．

2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．

3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．

4.重点：

平行四边形的判定方法及应用．

5.难点：

平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．

阅读课本45页至46页，完成下列问题。

课前预习：

平行四边形EFGH,如图，GH=12cm，HE=10cm,EG=18cm,AC=8cm.则

（1）△HOG的周长是？

（2）△GOF_________△EOH

平行四边形的判定定理有__________________,_______________________,_______________________,

_____________________________,_____________________________.

活动1小组讨论

【探究】：

1.如图将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边.转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？

解：

连接AC，∵对边相等即AB=CD，BC=AD，又AC=AC，∴△ABC≌△CDA.

∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴AB∥CD,BC∥AD.∴四边形是平行四边形.

所以：

两组对边相等的四边形是平行四边形.

2.如图将两根细木条用小钉互相平分的钉在一起，用橡皮筋连接木条顶点，做成一个四边形.转动两根木条，四边形是平行四边形吗？

∵AO=CO，BO=DO，∠AOB=∠COD（对顶角），

∴△AOB≌△COD

∴∠ABO=∠CDO

∴AB∥CD

同理：

△AOD≌△COB

∴∠ADO=∠CBO

∴AD∥BC

∴四边形ABCD是平行四边形.

所以：

对角线互相平分的四边形是平行四边形.

3.命题:

两组对角相等的四边形是平行四边形.

分析：

根据四边形内角和等于360°

，对角相等，得出同旁内角和等于180°

，判断对边平行，得出四边形是平行四边形.

4.如图将一根木棒从AB平移到DC，AB与DC之间有怎样位置关系、数量关系？

四边形ABCD是什么样的图形？

平移后得到AB=CD，AB∥CD,连结BD，则可以证明△ADB≌△CBD，则可得到AD=BC，四边形ABCD是平行四边形.

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

从探究中得到：

平行四边形判定方法1两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定方法2对角线互相平分的四边形是平行四边形。

平行四边形判定方法3两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定方法4两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（定义）

平行四边形判定方法5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

例习题分析

例1已知：

ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．

四边形BFDE是平行四边形．

欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明．

（证明过程参看教材）

问；

你还有其它的证明方法吗？

比较一下，哪种证明方法简单．

例2（补充）已知：

如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．

（1）∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；

（2）△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．

（1）∵A′B′∥BA，C′B′∥BC，

∴四边形ABCB′是平行四边形．

∴　∠ABC＝∠B′（平行四边形的对角相等）．

同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．

（2）由

（1）证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．

∴AB＝B′C，AB＝A′C（平行四边形的对边相等）．

∴B′C＝A′C．

同理　B′A＝C′A，A′B＝C′B．

∴　△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．

例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？

并说说你的理由．

有6个平行四边形，分别是

ABOF，

ABCO，

BCDO，

CDEO，

DEFO，

EFAO．

理由是：

因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个同理．

1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，

（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=____cm，CD=____cm时，四边形ABCD为平行四边形；

（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=___cm，DO=___cm时，四边形ABCD为平行四边形．

2.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行四边形的是（C）

A.两组对边分别相等

B.两条对角线互相平分

C.两条对角线相等

D.两组对边分别平行

3.请你识别下列四边形哪些是平行四边形?

请说明理由.

解：

（1）是平行四边形，因为四边形的对角线互相平分；

（2）是平行四边形，因为四边形的对边平行且相等；

（3）是平行四边形，因为两组对边都相互平行；

（4）是平行四边形，因为两组对边分别相等.

4.如图，AB=DC=EF,AD=BC，DE=CF,则图中有哪些互相平行的线段？

AB∥DC∥EF

AD∥BC

DE∥CF

4.已知：

E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，当点E,F满足什么条件时，四边形BFDE是平行四边形？

AE=CF.或OE=OF.

5．（选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）．

（A）对角线互相垂直（B）对角线相等

（C）对角线互相垂直且相等（D）对角线互相平分

如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，

求证：

BE=CF

课后作业：

名校课堂29,30页。

第二课时平行四边形的判定

平行四边形判定方法1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形判定方法3两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定方法4两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

第二课时平行四边形的性质与判定的综合应用

时间：

1.进一步理解平行四边形的性质和判定.

2.灵活运用平行四边形性质和判定解决实际问题.

3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．

1．重点：

平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．

2．难点：

平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．

阅读课本46页至47页，完成下列问题.

复习回顾

1.平行四边形的性质定理：

（1）平行四边形的对边相等.

（2）平行四边形的对角相等.

（3）平行四边形的对角线互相平分.

2.平行四边形的判定：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

活动1小组讨论

例1如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC上任一点，PE∥AC，PF∥AB,PE,PF分别交AB、AC于点E、F，试问线段PE、PF与AB有什么关系？

说说你的理由.

PE+PF=AB

教师点拨：

根据PE∥AC，PF∥AB，判断四边形AEPF是平行四边形，再根据平行四边形的性质对边相等，判断AE=PF，AF=PE.判断△BPE是等腰三角形得PE=BE.

例2田村有一个四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D均有一棵大桃树，田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持桃树位置不变，并要求扩建后的池塘是平行四边形，请问田村能否实现这一梦想，若能请你帮助设计并画出图形，若不能，说明为什么.

能.连结AC，BD.分别过A、C两点作BD的平行线；

再过B、D两点作AC的平行线，如图

平行四边形EFGH包含四个小平行四边形：

□AEDI、□AFBI、□IDHC、□BICG.

例3已知O为ABCD对角线AC的中点，EF经过点O交AD于点E，交BC于点F，连接BE,DF，试说明四边形BEDF为平行四边形.

教师点拨：

根据平行四边形性质，和三角形全等判定，判断△AOE≌△COF，得出AE=CF，则DE=BF，再根据平行四边形判定（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）即可判断四边形BEDF为平行四边形.

活动2跟踪训练

1.如图，已知□ABCD中，AE平分∠DAB交DC于E，BF平分∠ABC交DC于点F，CD=6cm,AD=2cm,求DE,EF,FC的长

.

根据平行四边形性质和角平分线定理判断△ADE、△BCF是等腰三角形.DE=AE=2cm

CF=BC=AD=2cm;

EF=6-2-2=2cm

2.已知E,F是四边形ABCD对角线上的两点，且AF=CE,DF=BE,DF∥BE.试说明四边形ABCD是平行四边形.

由AF=CE得AE=CF；

证明△ABE≌△CDF;

再证明AB∥CD且AB=CD.即可判断四边形ABCD是平行四边形.

3.如图，E、F分别是□ABCD对角线BD所在直线上的两点，DE=BF.请你以F为一个端点，与图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等.（研究一组即可）

连FC则FC=AE

4.在四边形ABCD中，若AD∥BC，DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F，且AE=CF.试说明四边形ABCD为平行四边形.

证明△ADE≌△CBF..

例1（补充）已知：

如图，

ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：

BE=DF．

证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明

四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AD=CD．

∵E、F分别是AD、BC的中点，

∴DE∥BF，且DE=

AD，BF=

BC．

∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．

∴BE=DF．

此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；

题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路．

例2（补充）已知：

ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：

四边形BEDF是平行四边形．

因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=DF，这需要证明△ABE与△CDF全等，由角角边即可．

∴AB=CD，且AB∥CD．

∴∠BAE=∠DCF．

∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，

∴BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°

∴△ABE≌△CDF（AAS）．

∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形