研究性学习报告之神奇的幻方Word文档格式.docx
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总结：
性质1：
“幻和”的3倍等于这九个数之和；
性质2：
所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字。
自学检测：
10分钟
1、如图所示，方格中的格子被填上了数，每一行，每一列以及两条对角线中所填的数字之和均相等，则x的值为（）。
2、请完成下面的三阶幻方：
第2题三、课堂小结：
（2分钟）
1.本节课主要学习了什么知识？
你有哪些收获？
回顾两个目标：
（1）幻方的特点：
（2）构造幻方的方法：
四、课堂评价：
1.学案、节清是否按时完成：
是（）否（）
2.本节学案任务总数难入手的任务个数3.请划出本节难入手的问题并修改。
综合与实践《探寻神奇的幻方》节节清
12月19日时间：
10分钟总分：
50优秀分：
40过关分：
30得分书写：
预测分：
1.将10～18这九个数填入下图中，使它成为一个三阶幻方。
（第1题）（第2题）（第3题）
2．如上图，将1，3，5，7?
?
，17填入上面的3×
3方格中，使它成为一个三阶幻方。
3．如右上图，将1、4、7、10、13、16、19、22、25填入右上的3×
4.请完成下面的两个三阶幻方
篇二：
探寻神奇的幻方
综合与实践
探寻神奇的幻方
太原第二实验中学白志红
学生起点分析
“探寻神奇的幻方”是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，学生此前已完成“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，部分学生对用1～9填成三阶幻方，在方法上有初步的感性认识.学生的认知条件决定了它主要立足于丰富学生的数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，对解决问题的方法和经验进行反思，从中感受对学生而言，一种全新的以自主探究为特色的学习方式.教学任务分析
本“综合与实践”以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；
提高字母表示数的技能和探索规律的能力；
体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；
可以组建四人活动小组，每组有一份评分标准（见教师用书），促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；
引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流；
教学目标
1、借助字母表示数、探索规律揭示几种简单的三阶幻方的本质特征；
体验有理数混合运算、字母表示数、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；
能够快速对含有具体数字的不完整幻方进行补充，掌握幻方的形成和相等关系的一般性描述.
2、在幻方规律的发现、幻方之间关系的探索过程中，形成初步的研究体验，获得一些发现问题、研究问题的经验，提高能力；
3、借助洛书、杨辉幻方等史料，帮助学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心，从幻方对称的图形、美妙的结论中，初步感受数学的美.教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：
第一环节：
课前准备——查阅资料；
第二环节：
结识幻方；
第三环节：
研究三阶幻方；
第四环节：
制作三阶幻方；
第五环节：
课堂小结；
第六环节：
布置作业.
第一环节课前准备
活动内容：
查阅资料（提前一周布置）查阅相关资料，了解幻方的有关知识.
活动目的：
课前安排学生通过上网等方式查阅资料，了解幻方的有关知识，使学生对幻方有更深入、更全面的了解.也可以布置课前思考题，如：
“请将1～9这九个数分别填在三行三列的数表中，使每行每列及对角线上的和都相等.”
第二环节：
结识幻方
据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服.后人称之为"
洛书"
，即现在的三阶幻方.
洛书三阶幻方
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质：
每一横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都相等.不信，我们来验证一下.
一般地，一个n行n列的正方形方格中，每一横行、每一竖列和对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为n阶幻方.
1、算出右图中各横排、竖列及对角线上数字的和，看看它是不是一个幻方.
通过简介有关幻方古今内外的奇闻趣事，增强学生的民族自豪感、激发对幻方的研究兴趣；
问题1以思考题的形式，在学生有一定的课前感悟基础上简介幻方引入课题.活动注意事项：
幻方的相关知识可以在学生已搜集资料的基础上，共同交流.解决问题1时，教师可以提示学生：
如正方形最核心位置的数是几，数据是否成对出现？
以便为后面的探究做一定的经验积累.
第三环节：
研究三阶幻方活动内容：
在三阶幻方中，
（1）你能发现哪些相等的关系？
横行、竖行、斜对角的三个数之和分别是多少？
（2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线段会构成一个怎样的图形？
描述你得到
的图形有什么特点？
（3）你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然满足你发现的那些相等关系吗?
（4）在你构造的幻方中，最核心位置是什么？
有没有“成对”的数？
这是一般规律吗？
你能证明它吗？
（5）你还有什么新的发现和疑问？
借助对神农幻方的深入观察分析，体会其中蕴含的图形上的变换帮助学生初步认识最古老的洛书三阶幻方，引发思索和质疑，为后继的进一步探究埋下伏笔.对于问题（4）教师可提示：
每行、列、对角线上的数字和是多少？
如果设中间的数是x，你能得到哪些关于x的式子？
活动实际效果：
学生很容易发现洛书三阶幻方奇数与偶数的设置，以及和相等的每一组连线段构成的图形均衡对称，和谐美丽；
每行每列以及斜对角的三个数之和是15；
对于问题（4），有的学生可能借助9个数的奇偶性解释自己的想法：
因为奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，如果5不在中间位置将无法满足题意；
而且进一步当把5填入中间格时，如果四个角上填奇数，则其他四格填偶数，我们可以看到第一行、第三行、第一列、第三列他们的和都得偶数，而据题目所求，三个数之和为15，15是奇数，所以与题意不符（如图1）.如果四个角上一对奇数一对偶数，则剩下的四个格中也应该一对奇数一对偶数，此时我们可以看到第一行、第三行和都为偶数，同样与题意不符（如图2）.然而如果四个角上都填偶数，剩下的四个格填奇数则符合题意（如图3）.
图1图2图3
对于5为何必须放在中间？
也有的同学借助小学学过的简易方程给出精妙的解释：
如图4，由于每列的和，以及每条对角线的和都是15，所以两条对角线的和与第二列的和相加得45，其中x出现3次，第一、三行的数均各出现一次，故：
3x＋2×
15=3×
15，从而x=5第四环节：
制作三阶幻方活动内容：
上面是用1-9这9个数字组成的三阶幻方，用其他9个数字能组成3阶幻方吗？
1、将2,3,4,5,6,7,8,9,10填入到3×
3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和
相等?
学生思考：
这9个数与原来9个数有什么关系？
2、将-2，-1，0，1，2，3，4，5，6填入到3×
3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等.
这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
小组合作共同完成以下问题：
3、有
人发现将原来三阶幻方中每个数加1就得到1中的幻方，将每个数减少3就得到2中的幻方.一般地，原来幻方中的每个数分别增加任意一个相同的数，还构成一个幻方吗？
说说你的道理.
如果每个数同时扩大相同的倍数呢？
如果先扩大相同的倍数，再同时增加另一个数呢？
在下面自己制作几个幻方.
设置多角度的实践机会，对神农幻方进行拓展变式，帮助学生在实践中形成对三阶幻方的感性认识，对逐步显现的规律不断加深感悟，从而关注怎样去表达方法的本质.活动注意事项：
一定要留给学生充足的自主探究与合作交流的时间，对问题1，需要的话可多设置几个变式练习，帮助学生在实践中对头脑中的猜想获得更直观的感受，对逐步显现的规律不断加深感悟，从而关注怎样去表达方法的本质.第五环节：
反思小结活动内容：
（1）你是怎样解决上述问题的？
（2）你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方的要求？
应怎样把这九个数填入三阶幻方？
（3）你还有什么新的猜想？
研究中，你有哪些结论，有哪些感受，与同伴交流.
对这些开放性的问题，不同能力层次的学生可能有不同层次水平的答案.此环节帮助学生借助字母表示数、探索规律把对三阶幻方的感性认识过渡到理性经验的层面，能感知并解释几种简单三阶幻方的数学模型，能对相应的探究方法反思提炼.
活动注意事项：
对问题1，学生的经验可能有：
只要连续的9个数填入到3×
3的方格中即可满足横行、竖列、斜对角的和相等；
“等差”的九个数可以填入到3×
3的方格中，使得横行、竖列、斜对角的和相等；
9个数的最中间数应填在中心格；
9个数被分成三组，如果每组数之间间隔都相同，而且组间也都间隔一样大则填入到3×
3的方格中，也能使得横行、竖列、斜对角的和相等?
对于每一条经验都不能止于感受，而要启发学生“说说你的道理”，关注言之有据习惯的养成.
问题2要求学生归纳、类比、由特殊到一般，把感悟到的数量关系符号化，借助字母表示数、探索规律揭示几种被学生发现的简单的三阶幻方的本质特征，此处要重视引导学生经
篇三：
七年级数学综合与实践：
探寻神奇的幻方教案
综合与实践：
教学目标
1．综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质特征。
2．经历观察、猜想、归纳、类比等活动初步积累构造三阶幻方的经验。
3．进一步体验合作交流、自主探究的学习方式。
教学重点
探索三阶幻方的本质特征
教学难点
构造符合要求的三阶幻方
教法与学法指导:
教法：
情景体验法、引导发现法。
具体地，首先通过神话故事引入三阶幻方，学生从图形感受三阶幻方的对称美，然后设计一系列开放性的问题串引导学生独立思考、大胆质疑、交流合作，从而引导学生借助有理数混合运算、字母表示数及其运算，揭示简单的三阶幻方的本质特征，最后让学生应用归纳得到的本质特征尝试构造满足要求的三阶幻方，初步获取构造三阶幻方的经验。
学法：
小组讨论、自主探究、合作交流．
教具准备：
投影片
教学过程：
一、巧设情景，引入新课
［师］语文课上我们学过很多古诗，大家能不能背一首？
［生］能。
背诵一首古诗。
［师］其实，在数学中也有许多美妙古诗，今天老师就给大家带来一首，请看：
（出示投影片）
四海三山八仙洞，九龙王子一枝莲。
二七六郎赏月半，周围十五月团圆。
学生先默读这首诗，再齐声读这首诗。
［师］要想解释这首诗的意思，先让我们先看看这首诗的来历吧。
（引入神话传说）相传三千多年前大禹治水的时候，有一只神龟出自洛水。
龟背上刻有神奇的图案。
（出示投影片：
龟背图）
4
39527
这个龟背图很特别，用黑白圈来表示数，并用直线连接这9个数。
你能说出它们分别代表哪些数吗？
学生回答。
白色是单数，黑色是双数。
［师］这幅图被称为“洛书”，实际上是一个三阶幻方，（即三行三列九个方格）如图2（出示投影片2）。
学生认识图2。
［师］由于洛书是9个数组成，故称为“九宫”。
我国的少数民族如：
藏族和纳西族都曾有“九宫图”。
这首诗就是当时赞美九宫图的。
九宫图还有很多好听的名字，如宋朝数学家杨辉曾给它起名“纵横图”，后来传到外国，取名为“幻方”，意思是变幻莫测的方块。
幻方曾使大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林很感兴趣。
但是外国人研究幻方比我们的祖先晚了两千多年。
今天我们就来探寻神奇的幻方。
教师板书课题。
【设计意图：
用一首古诗引入新课，可以激发学生强烈的求知欲；
介绍神话故事和幻方的历史，使学生对幻方简单的了解，不仅有利于学生课余时间对幻方深入探究，还培养了学生民族自豪感。
】二、明确任务小组探究
［师］同学们仔细观察图2的幻方，先独立思考一下问题，然后小组讨论你没有解决的问题，10分钟后，每个小组选派一名代表展示你们的答案，比一比哪一个小组完成的更好！
教师出示学习任务。
（投影片出示课本“议一议”）
在如图的三阶幻方中：
（1）每行、每列、每条对角线上的三个数之和分别是多少？
你能发现哪些相等的关系？
（2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线会构成一个怎样的图形？
（3）你能否改变幻方中数字的位置，使它们仍然满足你刚才发现的那些相等关系？
（4）在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？
（5）你还有什么新的发现？
学生对于1、2两个问题可以独立思考得到答案，问题3对于一般的学生只能得到1～2种答案，所以要发挥小组集体的力量来获取更多的答案，为发现第4题的规律做准备。
第5题也要求小组讨论发现新规律。
学生根据教师布置的学习任务，通过独立思考、小组讨论、合作探究等形式，基本能掌握三阶幻方的特点和构造三阶幻方的方法，为下一步探究埋下伏笔。
】
三、展示交流适时点拨
［师］同学们讨论时间到了，你们完成任务了吗？
学生自信地齐声回答：
完成了。
［师］好，我们找小组的同学到黑板展示第1题，哪一个小组愿意带头？
学生纷纷举手，跃跃欲试。
教师找一名学生展示答案。
［生1］我们小组发现每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于15，所以它们都相等。
［师］哪组同学到黑板连线一下，展示第2题。
［生2］（画图如下）特点：
“5”在中间，四个角上的数是偶数，其他位置的数是奇数。
7
［师］你们小组画出几个符合条件的幻方？
第x组同学展示你们的成果。
生3到黑板画幻方。
其他小组同学观察、思考、计算幻方是否符合条件。
画错的其他同学订正。
他没有想到的其他同学补充。
［师］谈谈你是怎样构造幻方的？
［生4］我是把4和6会换，9和1互换，2和8互换，3和7互换构造的。
［师］同学仔细看答案，你发现了什么现象？
学生讨论后回答。
［生5］相当于外边的数绕“5”转圈圈。
［师］很好，哪个小组的同学说一说第4题的答案呀？
［生6］最核心位置的是正中间的那一个，有四对成对的数出现：
4和6、3和7、2和8、1和9。
［师］为什么“5”在正中间的位置呢？
（估计大部分学生没有认真思考这个问题，教师要引导学生从两个方面思考）三个数的和等于15的算式有哪些？
［生］2?
5?
8?
153?
7?
154?
6?
151?
9?
15
1?
152?
4?
这8个算式中“5”在四个算式中出现，它出现的次数最多，而中间位置的数字与4条线段
关联，因此最中间的数字必定是“5”。
［师］我们能不能用字母表示数来解决这个问题呢/？
我们不妨设这9个位置的数分别是a、b、c、d、e、f、g、h、i（如图3），因为每行、每列、每条对角线三个数的和都等于15，你能写出它们满足的算式吗？
a
d
gbehcfi
［生］写出算式：
a?
b?
c?
15g?
h?
i?
a?
d?
g?
15b?
e?
15c?
f?
［师］我们最关心的数是中间位置的“e”，把含有“e”的算式找出来，然后相加。
［生］d?
15，b?
15，a?
15，c?
四式相加得：
15?
即：
（a?
i）?
3e?
60
3e?
60?
45
e?
5
因此最中间位置的数是5
教师根据学生情况可以适当的点拨和讲解。
［师］最中间的位置很重要，所以诗中称之为王子位。
你能解释开头那首诗的意思了吧？
学生解释古诗的意思，特别是最后一句。
［师］你还有什么新发现？
让学生大胆发言，教师要根据教学情况加以引导。
通过学生的展示交流，让学生体验综合利用数学知识（有理数的运算和字母表示数）分析、抽象出幻方的特征，感受数学知识的内在联系，加深了学生对三阶幻方本质特征的了解和掌握，同时也有利于教师了解学情，进行二次备课，有的放矢，适时引导学生探究三阶幻方本质特征。
四、构造幻方方法共享
活动一:
三阶幻方的构造
［师］试将-2、-1、0、1、2、3、4、5、6填入到3×
学生根据刚才三阶幻方的特点，实践去构造满足条件的幻方。
［师］试将2、4、6、8、10、12、14、16、18填入到3×
让学生构造三阶幻方是让学生通过实践来逐步显现规律，教学中一定要留给学生充足的时间来操作、尝试。
活动二：
交流构造幻方的方法
教师投影学生完成的作业，出示投影“想一想”，然后让学生交流构造幻方的方法。
［师］想一想：
（2）你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方？
应怎样把九个数填入幻方？
结合你填好的幻方说说你的理由。
［生1］回答
（1）最中间的位置填入2，因为2在这9个数的中间，其余的8个数分成4组，-2和6、-1和5、0和4、1和3，第1组和第3组应该填在中间，其余两组填在四个对角。
［生2］回答
（2）连线的九个数可以满足三阶幻方。
等差数列的九个数可以满足三阶幻方。
对于这两个问题，教师要鼓励学生大胆发言，让更多的学生参与讨论和交流，以便方法共享，经验得到推广。
问题2的答案可能学生倾向于与原来的幻方对比是减去3、乘以2，这种类比、归纳、猜想的数学思想方法在教学中要注意渗透。
让学生谈谈自己构造幻方的方法和道理，培养学生分享成功的经验的良好学习习惯，在教学中要注意数学思想方法的渗透。
活动三、构造幻方方法介绍
［师］同学们，我国宋代数学家杨辉是世界上第一个对幻方详细研究的学者，并取得了丰硕成果，他总结出了“洛书”幻方的构造方法。
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