欧氏空间标准正交基..pptx

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,2标准正交基,3同构,4正交变换,1定义与基本性质,6对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7向量到子空间的距离最小二乘法,小结与习题,第九章欧氏空间,5子空间,9.2标准正交基,9.2标准正交基,一、正交向量组二、标准正交基三、正交矩阵,一、正交向量组,9.2标准正交基,定义：

设为欧氏空间，非零向量如果它们两两正交，则称之为正交向量组.注：

若则是正交向量组.正交向量组必是线性无关向量组.,证：

设非零向量,两两正交.,令则,由,知,故,线性无关.,9.2标准正交基,维欧氏空间中正交向量组所含向量个数,欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组例如：

中线性无关但不是正交向量组.,9.2标准正交基,1.几何空间中的情况在直角坐标系下是由单位向量构成的正交向量组，即,二、标准正交基,是的一组基.,9.2标准正交基,设从得即在基下，中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式.,9.2标准正交基,2.标准正交基的定义,9.2标准正交基,维欧氏空间中，由个向量构成的正交向量组称为正交基；由单位向量构成的正交基称为标准正交基.注：

由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基.,维欧氏空间V中的一组基,为标准正交基,维欧氏空间V中的一组基,为标准正交基,

（1）,当且仅当其度量矩阵维欧氏空间V中标准正交基的作用:

设,为V的一组标准正交基，则,9.2标准正交基,（i）设由

（1），,（ii）,（3）,这里（iii）,有,9.2标准正交基,

（2）,3.标准正交基的构造施密特（Schmidt）正交化过程,1）（定理1）维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证：

设欧氏空间中的正交向量组，对作数学归纳法当时,就是一组正交基了.,9.2标准正交基,假设时结论成立，即此时可找到向量,的情形.,线性表出，,使成为一组正交基.现在来看因为所以必有向量不能被,作向量待定,9.2标准正交基,从正交向量组的性质知,于是取可得即为正交向量组由归纳法假设知，对这个向量构成的正交组可扩充得正交基.于是定理得证,9.2标准正交基,使,2）（定理2）对于维欧氏空间中任一组基都可找到一组标准正交基,证：

基本方法逐个构成出满足要求的首先，可取,9.2标准正交基,一般地，假定已求出,是单位正交的，且,（4）,当,时，因为有,由（4）知不能被线性表出按定理1证明中的方法，作向量,（5）,9.2标准正交基,即,再设,可知,是单位正交向量组,从（4）和（5）知,与,是等价向量组，因此，有,由归纳原理，定理2得证.,则,且,9.2标准正交基,则过渡矩阵,是上三角形（即,）,且,注：

由知，若,9.2标准正交基,Schmidt正交化过程:

先把线性无关的向量组化成正交向量组,再单位化得标准正交向量组,9.2标准正交基,例1.把,变成单位正交的向量组.解：

令,正交化,9.2标准正交基,再单位化,即为所求,9.2标准正交基,例2.在,中定义内积为,求,的一组标准正交基,（由基,出发作正交化）,解:

取正交化,9.2标准正交基,9.2标准正交基,9.2标准正交基,单位化,9.2标准正交基,于是得,的标准正交基,9.2标准正交基,4.标准正交基间的基变换,设与是维欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是即或,由于,是标准正交基，所以,（6）,9.2标准正交基,由公式（3），有,（7）,把A按列分块为由（7）有,（8）,9.2标准正交基,三、正交矩阵,1定义设,若满足,则称A为正交矩阵.2简单性质A为正交矩阵由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.,9.2标准正交基,3）设,是标准正交基，A为正交矩阵，若,则,也是标准正交基.,4）,为正交矩阵A的列向量组是欧氏空间,的标准正交基.,为正交矩阵,A的行向量组是欧氏空间,的标准正交基.,5）6）,为正交矩阵,9.2标准正交基,