因式分解含答案docWord文档格式.docx

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3=（a-b）（a

2-ab+b2）

2+ab+b2）

（2）缺项之完全立方公式

（a+b）[（a+b）

2-3ab]=（a+b）

3-3ab（a+b）

（a-b）[（a+b）

2+3ab]=（a-b）3+3ab（a+b）

7a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a

3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a

2+b2+c2-ab-ac-bc）对照公式4相互加强记忆

（1）短差长和；

8

an-b

n-b

n=（a-b）（a

n-1+an-2b+an-3b2+⋯+abn-2+bn-1）n=整数

（平方差公式扩展）

（2）a指数逐项递减1；

（3）b指数逐项递增1；

（4）长式每项指数和恒等于n-1。

（1）短式变加长式加减相间；

9

n=（a+b）（a

n-1-a

（立方差公式扩展）

n-2b+an-3b2-⋯+abn-2-b

n-1）n=偶数

（4）每项符号b指数决定偶加奇减。

10

an+bn=（a+b）（a

n+bn=（a+b）（a

（立方和公式扩展）

n-1）n=奇数

对比公式9的异同

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰

当地选择公式．

例1分解因式：

（1）-2x

5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；

（2）x3-8y3-z3-6xyz；

解

（1）原式=-2x

n-1yn（x4n-2x2ny2+y4）

=-2x

n-1yn[（x2n）2-2x2ny2+（y2）2]

n-1yn（x2n-y2）

n-1yn（xn-y）2（xn+y）2．

（2）原式=x3+（-2y）

3+（-2y）

3+（-z）3-3x（-2y）（-Z）

=（x-2y-z）（x

2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）．

例2分解因式：

a

3+b3+c3-3abc．

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）．

分析我们已经知道公式

（a+b）

3=a3+3a2b+3ab2+b

的正确性，现将此公式变形为

a3+b3=（a+b）

3+b3=（a+b）

3-3ab（a+b）．

这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

解原式=（a+b）

3-3ab（a+b）+c3-3abc

=［（a+b）3+c

3］-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）［（a+b）

2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）（a

2+b2+c2-ab-bc-ca）．

说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：

我们将公

式（6）变形为

a

3+b3+c3-3abc

3+b3+c3=3abc；

当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c

显然，当a+b+c=0时，则a

≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

如果令x=a

3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

※※变式练习

1分解因式：

x

15+x14+x13+⋯+x2+x+1．

分析这个多项式的特点是：

有16项，从最高次项x

15开始，x的次数顺次递减至0，由

此想到应用公式an-b

n来分解．

解因为

x16-1=（x-1）（x

16-1=（x-1）（x

15+x14+x13+⋯x2+x+1），

所以

说明在本题的分解过程中，用到先乘以（x-1），再除以（x-1）的技巧，这一技巧在等式变

形中很常用．

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合

并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需

要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项

式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多

项式能用分组分解法进行因式分解．

例3分解因式：

x3-9x+8．

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添

项的目的与技巧．

解法1将常数项8拆成-1+9．

原式=x3-9x-1+9

=（x

3-1）-9x+9

=（x-1）（x

2+x+1）-9（x-1）

2+x-8）．

解法2将一次项-9x拆成-x-8x．

原式=x3-x-8x+8

3-x）+（-8x+8）

=x（x+1）（x-1）-8（x-1）

解法3将三次项x3拆成9x3-8x

3拆成9x3-8x

3．

原式=9x3-8x

3-8x

3-9x+8

=（9x

3-9x）+（-8x3+8）

=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x

2+x+1）

解法4添加两项-x

2+x2．

．

原式=x3-9x+8

=x3-x

3-x

2+x2-9x+8

=x2（x-1）+（x-8）（x-1）

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一

定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸

方法中技巧性最强的一种．

（1）x

9+x6+x3-3；

（2）（m

2-1）（n2-1）+4mn；

（3）（x+1）

4+（x2-1）2+（x-1）4；

（4）a

3b-ab3+a2+b2+1．

解

（1）将-3拆成-1-1-1．

原式=x9+x6+x3-1-1-1

9-1）+（x6-1）+（x3-1）

3-1）（x6+x3+1）+（x3-1）（x3+1）+（x3-1）

3-1）（x6+2x3+3）

2+x+1）（x6+2x3+3）．

（2）将4mn拆成2mn+2m．n

原式=（m2-1）（n

2-1）（n

2-1）+2mn+2mn

=m2n2-m2-n

2n2-m2-n

2+1+2mn+2mn

=（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2）

=（mn+1）2-（m-n）

2-（m-n）

=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）．

（3）将（x

2-1）2拆成2（x2-1）2-（x2-1）2．

原式=（x+1）

4+2（x2-1）2-（x2-1）2+（x-1）

=［（x+1）

4+2（x+1）2（x-1）2+（x-1）4]-（x2-1）

2+（x-1）2]2-（x2-1）

=（2x

2+2）2-（x2-1）2=（3x2+1）（x2+3）．

（4）添加两项+ab-ab．

原式=a3b-ab

3b-ab

3+a2+b2+1+ab-ab

=（a

3b-ab3）+（a2-ab）+（ab+b2+1）

=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b

2+1）

=a（a-b）［b（a+b）+1]+（ab+b

=[a（a-b）+1]（ab+b

2-ab+1）（b2+ab+1）．

说明（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加

+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，

找到公因式．这道题目使我们体会到

拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

3．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替

代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例4分解因式：

（x

2+x+1）（x2+x+2）-12．

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一

个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

解设x2+x=y，则

原式=（y+1）（y+2）-12=y

2+3y-10

=（y-2）（y+5）=（x

2+x-2）（x2+x+5）

=（x-1）（x+2）（x

2+x+5）．

说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，

有兴趣的同学不妨试一试．

例5分解因式：

（x

2+3x+2）（4x2+8x+3）-90．

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

解原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90

=[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90

2+5x+3）（2x2+5x+2）-90．

令y=2x2+5x+2，则

原式=y（y+1）-90=y

2+y-90

=（y+10）（y-9）

2+5x+12）（2x2+5x-7）

2+5x+12）（2x+7）（x-1）．

说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元（y）的基础．

1.分解因式：

2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2．

解设x2+4x+8=y，则

原式=y2+3xy+2x2=（y+2x）（y+x）

2+6x+8）（x2+5x+8）

=（x+2）（x+4）（x

2+5x+8）．

说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需

要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

1．双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式

（ax

2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y

2-7xy-22y

2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，

于是上式可变形为

2x2-（5+7y）x-（22y

2-（5+7y）x-（22y

2-35y+3），

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即：

-22y

2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以，原式=［x+（2y-3）］［2x+（-11y+1）］

=（x+2y-3）（2x-11y+1）．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并

在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：

（x+2y）（2x-11y）=2x

；

（x-3）（2x+1）=2x

2-5x-3；

（2y-3）（-11y+1）=-22y

2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

（1）用十字相乘法分解ax，得到一个十字相乘图（有两列）；

2+bxy+cy2

（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的

和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

2-3xy-10y2+x+9y-2；

（2）x

2-y2+5x+3y+4；

（3）xy+y

2+x-y-2；

（4）6x

2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

解

（1）

原式=（x-5y+2）（x+2y-1）．

（2）

原式=（x+y+1）（x-y+4）．

（3）原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=（y+1）（x+y-2）．

（4）

原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）．

说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似．

2．求根法

我们把形如anxn-1x1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并n+an-1+⋯+a

用f（x），g（x），⋯等记号表示，如

f（x）=x

2-3x+2，g（x）=x5+x2+6，⋯，

当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示．如对上面的多项式f（x）

f

（1）=1

2-3×

1+2=0；

f（-2）=（-2）

（-2）+2=12．

若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根．

定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个

因式x-a．

根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根．对于任意

多项式f（x）要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时，即

整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

定理2

的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f（x）

的整数根均为an的约数．

我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式

分解．

x3-4x

3-4x

2+6x-4．

分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约

数：

±

1，±

2，±

4，只有

f

（2）=2

3-4×

22+6×

2-4=0，

即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．

解法1用分组分解法，使每组都有因式（x-2）．

原式=（x

3-2x2）-（2x2-4x）+（2x-4）

=x2（x-2）-2x（x-2）+2（x-2）

=（x-2）（x

2-2x+2）．

解法2用多项式除法，将原式除以（x-2），

原式=（x-2）（x

说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，

即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．

9x4-3x

4-3x

3+7x2-3x-2．

分析因为9的约数有±

3，±

9；

-2的约数有±

为：

所以，原式有因式9x2-3x-2．

解9x

4-3x3+7x2-3x-2

=9x4-3x

3-2x2+9x2-3x-2

=x2（9x

2（9x

3-3x-2）+9x2-3x-2

2-3x-2）（x2+1）

=（3x+1）（3x-2）（x

说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题

中的因式

可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．

总之，对一元高次多项式f（x），如果能找到一个一次因式（x-a），那么f（x）就可以分解

为（x-a）g（x），而g（x）是比f（x）低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g（x）进

行分解了．

3．待定系数法

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的

应用．

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式

中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几

个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字

母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因

式分解的方法叫作待定系数法．

x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

分析由于

2+3xy+2y2）=（x+2y）（x+y），

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定

系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

解设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=（x+2y+m）（x+y+n）

=x2+3xy+2y2+（m+n）x+（m+2n）y+mn，

比较两边对应项的系数，则有

解之得m=3，n=1．所以

原式=（x+2y+3）（x+y+1）．

说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．

x4-2x

4-2x

3-27x2-44x+7．

分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能

是±

7（7的约数），经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有

一次因式．如果原式能分解，只能分解为（x

2+ax+b）（x2+cx+d）的形式．

2+ax+b）（x2+cx+d）

=x4+（a+c）x

4+（a+c）x

3+（b+d+ac）x2+（ad+bc）x+bd，

所以有

由bd=7，先考虑b=1，d=7有

2-7x+1）（x2+5x+7）．

说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，

d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出

待定系数为止．

本题没