第七章平面向量向量的概念向量的运算平面向量的坐标运算平移公式中点坐标公式两点距离公式化Word下载.docx
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•d=1,
2、已积0B=（2,0），
（2cosa，2sina
，则OA与OB
则这样的向量a有（）
A、1个B、2个C、多于2个D、不存在
IIIIIIII
4、已知a+b+c=0，|a|=3,|b|=5,|c|=7,则a与b夹角为（）
TT冷T
5.有两个向量e=（1,0）,e^=（0,1），今有动点P，从Po（72）开始沿着与向量e相
同的方向作匀速直线运动，速度为;
另一动点Q,从Q°
（-2,-1）开始沿着与
向量3：
相同的方向作匀速直线运动，速度为|二2：
|.设P、Q在时刻t=0
33xx兀
6.已知向量a=（cos—x,sin—x）,b=（cos-,-sin—）,且x€[0,].若f（x）
22222
=a•b—2■|a+b|的最小值是—-，求，的值.（襄樊3理）
2
三、例题分析:
例1•平面直角坐标系有点
（1）求向量OP和OQ的夹角9的余弦用x表示的函数f（x）;
（2）求9的最值.
例2.已知向量a=（3sin®
x,cos®
x）,b=（coswx,cos®
x）,其中w>
0,记函数f（x）=a•b,已知f（x）的最小正周期为n.
（1）求®
;
（2）当0vxW"
3时，试求f（x）的值域.南通
例3•已知｛an｝是等差数列，公差dM0,其前n项和为Sn点列P1（谓）R（2,
^22）,……Pn（n,罟）及点列M1（1,a1）,M2（2,a2）,……,Mn（n,an）
（1）求证：
RPn（门＞2且门€N*）与RP2共线；
例4.（04湖北）
如图，在RtAABC中，已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,
问PQ与BC
的夹角取何值时BPCQ的值最大？
并求出这个最大值
四、作业同步练习g3.1056平面向量的综合应用
（1）
1、已知平行四边形三个顶点的坐标分别是（4,2）,（5,7）,（—3,4）,则第四个顶点一定不是（）
A、（12,5）B、（—2,9）C、（—4,—1）D、（3,7）
43
2、已知平面上直线I的方向向量e=（—5,5），点O（0,0）和A（1,—2）在I上的射影
分别为O1和A1,则0人=入e,其中入=（）
P是曲线C2：
筲一y2=1与曲线
3、设F1、F2为曲线C1:
x6+y2=1的焦点,
A1
A、4
B、3
C、3
11
IPF1IIPF2I
的值是（
4、设a、b、c是平面上非零向量，且相互不共线，则
（b•c）a—（c•a）b与c不垂直
iIiIiOIO
（3a+2b）（3a—2b）=9|a|2—4|b|2
B、②③
5、
OA=（cosB,—sinB）,OB=（—2—sinB,—2+cosB）,其中0€[0
则|AB的最大值为6、已知O、A、B、C是同一平面内不同四点，其中任意三点不共线，若存在一
TTT
组实数入1、入2、入3,使入1OA+入2OB+入3OC=O,则对于三个角：
/AOB、
/BOC、/COA有下列说法：
1这三个角都是锐角；
②这三个角都是钝角；
3这三个角中有一个钝角，另两个都是锐角；
4这三个角中有两个钝角，另一个是锐角。
其中可以成立的说法的序号是（写上你认为正确的所有答案）
7、（05上海卷）直角坐标平面xoy中，若定点A（1,2）与动点P（x,y）满足
OP・5A=4，则点p的轨迹方程是。
8、（05江西卷）已知向量
-XX兀-lX兀X兀人-I
a=（2cos—,tan（））,b=（、2sin（）,tan（））,令f（x）=ab.
2242424
是否存在实数x[0,二],使f（x）f（x）=0（其中f（x）是f（x）的导函数）?
若存在，则求出x的值；
若不存在，则证明之.
III
444
9、设a=（1+cosa,sina），b=（1—cosB,sinB），C=（1，0），a€（0,n），B€（n,2
na-B
n）,a与c夹角为91，b与c的夹角为92,且B1—92=—，求sin—的值。
TT
10、已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1，以0为坐标原点，直线OF为x轴（F在0右侧）建立直角坐标系。
（1）若S=1，|OF|=2,求向量FQ所在的直线方程；
3
（2）设|OF|=c，（c>
2），S=4c，若以O为中心，F为焦点的椭圆过点Q，求当|OQ取得最小值时椭圆的方程。
1,1、（04年福建卷.文理17）设函数f（x）=Ojb，其中向量；
=（289<
1）,
b=（cosx,3sin2x），x：
=R.
（]）若f（x）=1-3且X[,]，求x；
33
（U）若函数y=2sin2x的图象按向量c=（m,n）（|m|）平移后得到函数
y=f（x）的图象，求实数m,n的值.
答案
基本训练：
1.D2.C3.A4—5.
6.解：
a
b二cos2xcoslx-sin^xsin丄x=cos2x
2222
X[0,—]
•cosx>
0,因此|a+b|=2cosx
•••f（x）=a•
b—2-|a+b丨即f（x）=2（cosx—）2一1一22
x[0,—]
•0<
cosx<
1
\：
（COS3x+cos^x）2
（sin3x_sin1x）2
二22cos2x=2|cosx|
1若■<
0,则当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值—1,这与已知矛盾;
2若0W■<
1,则当且仅当cosx=时，f（x）取得最小值—1—2,2,
由已知得-1-2'
2--3，解得：
，=丄
3若，>
1,则当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值1-4,由已知得1一4■=-3，解得：
，=—，这与丿，1相矛盾.
28
综上所述，，=丄为所求.
三、例题分析：
例1.解：
（1）OPOQ=|OP||OQ|cos^i
口OPOQ|1cox+cox12cox
二C0s=——-jJ=2~
|OP||OQ|..1coisx.cosx11COSX
2cos_兀兀
f（x）2X[,]
1+cosx44
（2）
COSX=t,则t[鼻,1],则f（x）
2t
1t2
=g（t）
又g（t）2（t1）（t^1）显然tG#,1）时，g（t）0,
（1t2*）2
.0[2
又g（t）在t=—及t=1处连续”g（t）在[―,1]上是增函数
g（t）max=g
（1）=1,g（t）mir二g（-^）
-co^<
1,又"
[0,二],故二max
二ar"
弩"
min=0
.当x时cmax二arcc^s2,当x
例2.
（1）f（x）=3sir3XC0S3x+cos3x=
sin23x+2（1+cos2wx）
n1
=sin（23x+"
6）+2
3>
0,.・.T=n=2^,•3=1.
23
（2）由
（1）,得f（x）=sin（2x+—）
cn
•0v,
•~6
V2x+_6w6
•-f（x）€[1,2]•
|tana|<
例4•本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.
=APAQ-APAC_ABAQABAC
=_a2_APACABAP
二_a2_AP（AB-AC）
=-a2PQBC
=-a2PQBC
--a2■a2cos.
故当COST-1,即「0（PQ与BC方向相同）时,BPCQ最大.其最大值为0.
解法二：
以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设|AB匸c|AC|=b,则A（0,0）,B（c,0）,C（0,b）,且|PQ|=2a,|BC|=a.
设点P的坐标为（x,y）,则Q（%—y）.
.BP=（x—c,y）,CQ=（_x,_y—b）,
BC=（-c,b）,PQ=（-2x,-2y）.
.BPCQ=（x-c）（-x）y（-y-b）
=-（x2亠y2）亠ex-by.
PQBCcx-by
cos2.
|PQ||BC|a
.ex-by=a2cosv.
.BPCQ=-a2•a2cosj.
故当cosv-1，即V-0（PQ与BC方向相同）时,BCCQ最大，其最大值为0.
四、作业
1—4、DDBD5、236、①②③④7、x+2y-4=0
一XX二X二X二
8、解：
f（x）二ab=2.2cos—sin（）tan（）tan（）
=22
x2x2xcos—（sincos
22222
1tan'
2
1-tan^
1tanI
xXc2x
=2sincos2cos1
222
二sinxcosx.
令f（x）f（x）=0,即:
f（x）f（x）=sinxcosxcosx-sinx
二2cosx二0.
可得x,所以存在实数x[0,二],使f（x）•f（x）=0.
x时，f（x）f（x）=0
raa・aa
9、a=2cos_2（cos_2,sing）・••01=y
—
.=2sirb
又01—02=
'
6
（sin2,cosy）
•02=—-
■y•
■-sin
-B
4=
—~2
2='
10、
（1）设Q（X0,y0）•••|
QF1=
2•
•-F（2,0）
•OF=
:
（2,
0）,
FQ=
（xo-2,
y0）
5
•OF°
FQ
=1得X0=
■
十1
1
而s=2
|OF
11狗
=2
•-y0
=±
1•
•Q（
2,
±
—r
OF所在直线方程为y=x-2或y=-x+2
——
（2）设Q（x0,y0）t
Of1=c•
•F
（c,O）
•FQ=（g
——
•OF
•FQ=1得x0
=c+c
又S=
13
2c|yo|=4C
.,3
•yo=±
Q
（c+c
土3）
由函数f（x）=x+p的单调性，知g（c）在［2,+X）上递增
x
•••q（2，±
2）
gmin（c）=g
（2）=2，此时c=2,|OQ|取最小值
设出椭圆方程后可得椭圆方程为
JlTt
11、x=——，m,n=1
412
d21
2=
d4+4d+424
d2+孑+4
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