李永乐复习全书数一例题无答案第九章Word格式文档下载.docx
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D
=川xdV,Q由三个坐标面及平面x+y+2z=2围成.
ffz2dS，其中是曲面z=Jx2+y2（0<
z<
1）.ffxyzdxdy,其中邑是x>
0,y>
0,x2+y2+z2=1的外侧.
I
「1〕
设O二』（x,y,zJx2+y2+z2<
x+y+z+—》，求I=JJJ（x+y+z）dxdydz.
4j…
计算
9、
在极坐标变换下将JJf（x,y）db化为累次积分，其中D为x2+y2<
2ax与x2+y2兰2ay
的公共部分（a>
0是由x2+y2+z2兰2z.
I二Jj[j1+2x2+3y2sin（xy）+4dxdy=
20、
求I=（Xds，其中L为x+y=1.
21、
计算曲面积分l=[[（ax+by+cz+Y'
dS，其中工是球面：
x2+y2+z2=R2.
23、
设D由抛物线y=x2,y=4x2及直线y=1围成用先x后y的顺序，将I=JJf（x,y）dxdy
配置积分限化成累次积分.
24、
求I=JJxydxdy，D由曲线x2+y2=2x+2y-1所围成.
27、
求1=口axdydz，其中工为下半球z=^a2-x2-y2的上侧，a>
0.
mx2+y2+z2『
28
（I）设S为球面x2+y2+z2=9，取外侧，则JJzdxdy二.
S
（n）设D为平面区域：
x2+y2<
4则JJJx2+y2dxdy二
D
2222
（m）设C是球体：
（x-a）+（y-b）+（z-c）<
R」UJJJ（xHy+z（V
Q
（z>
0）取上侧.
30、
计算曲面积分JJx2zcosYdS，其中曲面积分工是球面x2+y2+z2=a2的下部分,
向上的法向量与z轴正向的夹角.
22122
32、
求曲面x+（y-1）=1介于xOy平面与曲面z=-（x2+y2）之间的部分的面积.
33、
记Il为物体对I轴的转动惯量，h为对平行于I轴并通过物体质心的轴I的转动惯量,
比较下列积分值的大小：
（I）I—yin2（x+y）dxdy,I2二JHx+yjdxdy,I3二jj[sin（x+y）Tdxdy
DD
1
由x=0,y=0x+y=,x+y=1围成，则h,L打之间的大小顺序为
2
（A）11<
I2<
I3（B）13<
I2<
11（C）11<
I3<
12（D）I3<
11<
I2
（n）JJe"
ydxdy,i=1,2,3,其中D1={（x,yjx2+y2<
R2},
Di
（A）J产J2<
J3（B）J2<
J3<
J1（C）J1<
J2（D）J3<
J2<
J1.
36、
设D是有界闭区域，下列命题中错误..的是的是
（A）若f（x,y）在D连续，对D的任何子区域D0均有JJf（xy）d=0，则
f（x,y）三0WXy-D
（B）若f（x,y）在D可积，f（x,y）30但不等于0，则（（x,y戶D），则
（I）L关于y轴对称，则
其中Li是L在右半平面部分.
其中L,是L在上半平面部分.
43、设分块光滑定向曲面S关于xy平面对称，S在xy平面上方部分记为8,（方程为
z=z（x,y）（x,y卢Dxy）下方部分记为S2，又设R（x,y,z'
在S连续，求证:
i0,若R关于Z为偶函数,
严^拠尸BjJRgz）dxdy,若R关于Z为奇函数,
IS1
22222
计算fl^（x+y）ds,其中L为x+y+z=1与x+y+z=1的交线.
47、
48
1x+12x+133
I^dx]ydy+J0dxJxydy+J2dxJxydy.
11-xx^y
交换累次积分的积分顺序：
IrJodxJodyJof（x,y,z）dz，改换成先x最后y的顺序.
计算累次积分:
2ac
F（r,日）dr，其中F（r,0尸f（rco史,rsinQ）r.
49、
50、
求I=0dx^dyfyAA+zd乙
将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反：
兀sin6
（I）J兀d日Jf（rcosQrsin日）rdr写成直角坐标系下先对y后x对积分的累次积分;
L・0
P2R2y2R2JR2^2
（n）计算『e-ydyj。
gxdx+L2Re-ydy[e-xdx
~2
51、
计算JJr^=（a>
0），其中D是由圆心在点（a,a卜半径为a且与坐标轴相切的圆周的
Dv2a-x
52、
53、
较短一段弧和坐标轴所围成的区域.
计算二重积分JJ||x+y-2dxdy，其中D:
0<
x<
2,-2<
y<
2.
计算下列二重积分：
（I）JJxydb,
其中D是由曲线
r=sin2日『0<
日<
—〕围成的区域;
V2丿
54、
（n）JJxydb,
求下列二重积分：
y=J1-x2,x2+（y-1）2=1与y轴围成的在右上方的部分
^1）I=?
（1+x2+y23
D为正方形域：
0<
1,0<
1；
（n）I=jj|3x+4ydxdy，其中D:
x2+y2兰1；
（m）l=JJydxdy，其中D由直线x=-1,y=0,y=2及曲线x二-J2y-y2所围成.
55、求下列三重积分：
（l）l=JJJxy2z3dV，其中O是由曲面z=xy,y=x,z=0,x=1所围成；
（n）I二川ysinXdV,其中0由y=jx,y=0,z=0,x+z二一围成；
Qx2
（m）I=m（1+x4）dV,其中0由曲面x2=y2+z2,x=1,x=2围成.
56、求下列三重积分：
（I）1=JJJ（x2+y2）dV，其中O由z=16（x2+y2）,z=4（x2+y2）,z=16围成；
_5
（n）l=UJ（Jx2+y2+z2）dV,其中0由x2+y2+z2<
2z所确定;
（m）l=UJxyzdV，其中C：
x2+y2+z2兰1位于第一卦限的部分.
57、求下列三重积分：
（l）I二川dV，其中0是球体x2+y2+z2<
R2（h>
R）；
QJx+y+（z-h）
（n）I二川ze^y'
dV，其中0：
1<
x+y<
2,x>
0,y>
0,0<
3；
fi
（m）I=JJJ（x3+y3+z3）dV，其中0是半球面x2+y2+z2=2z（z二1）与锥面z^x2+y2围成.
58、求下列曲线积分：
”2!
X=a（t-sint）“斗
（n）I二ry2ds,其中平面曲线L为旋轮线<
\,（0<
t<
2兀）的一拱;
L[y=a（1-cost）
（m）l=[（x+y）ds，其中L为双纽线r2二a2cos2日（极坐标方程）的右面一瓣.
59、求曲线积分I=*（x+y）dx+（3x+y）dy+zdz，其中C为闭曲线x=asin2t,y=2acostsint
z=acost（0兰t兰兀）,C的方向安t从0到兀的方向.
60、求下列曲面积分：
（I）l=UydS，其中工是平面x+y+z=1被圆柱面x2+y2=1截出的有限部分;
I
（n）l=JJzdS，其中II是锥面z^x2+y2在柱体x2+y2兰2x内的部分.
（I）I=JJxyzdxdy+xzdydz+zdzdx，其中工是x+y=a在x>
0的一半被y=0和
y=h（h>
0）所截下部分的外侧；
（n）l=JJxydzdx，其中S是由曲线x二ey2（0<
a）绕x轴旋转成的旋转面，取外侧
S
62、
求区域
Q的体积V，其中0：
由z=xy,x2+y2=a2,z=0围成.
63、
O的体积V，其中O是班球面Z二J3a2-x2-y2及旋转抛物面x2+y2=2az所围成.
64、
O的体积，其中O是由曲面z=y2（y>
0）,z=4y2（y>
0）,z二x.z=2x,z=4所围成.
65、
求下列曲面的面积：
（I）半球面z=J3a2-x2-y2及旋转抛物面2az=x2+y2所围立体的表面S；
（n）锥面z^x2+y2被柱面z2=2x所割下部分的曲面S.
66、
求八分之一球面x2+y2+z2=R2,x>
0,y>
0,z>
0的边界曲线的质心，设曲线线密度P=1.
67、
求密度为1的均匀圆柱体x2+y2<
a2,zWh对直线Iz:
x=y=z的转动惯量.
平面上质点M（x,y）在力F的作用下沿椭圆r：
2
xy
r+务=1（a>
b>
0）运动，力F指向b
点C（c,0）（c=Ja2-b2）,F的大小与点M,C之间的距离
r的平方成反比，比例系数k》0
为常数，分别求下列情形力F所做的功（如图9.69）.
设流速v=（x2+y2）j+（z-1）k，求下列情形流体穿过
69、
曲面工的体积流量Q（如图9.71）：
-a
M
O
（a,b）
图9.69
（I）工为圆锥面x2+y2=z2（0WzW1），取下侧;
（n）H为圆锥体（z2>
x2+y2,0<
z<
1）的底面，法向量朝上.
设f（u琏续，f（0）=1,区域0:
Jx2+y2<
Jt2-x2-y2,
t>
0，又设F（tFJJJf（X2+y2+z2）dV，求lim+
求RmKf:
dy-yd：
2，其中l:
x2+y2=R2的正方向.（X+xy+y）
72、（i）记0（R尸｛（x,yjx2+y2<
R2｝，求limJJ'
dxdyJp）
+处X2J—
（n）证明fedx=JF.
-3C
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