最新圆锥曲线轨迹问题.docx

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最新圆锥曲线轨迹问题

圆锥曲线轨迹问题

建设现代化（检验）

——有关圆锥曲线轨迹问题

根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：

一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。

该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。

轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。

求轨迹方程的的基本步骤：

建设现代化（检验）

建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）

求轨迹方程的的基本方法：

直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。

1．直接法：

如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；

例1、已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。

【解析】设MN切圆C于N，则。

设,则

化简得

（1）当时，方程为，表示一条直线。

（2）当时，方程化为表示一个圆。

◎◎如图，圆与圆的半径都是1，.过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得.试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.

【解析】以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则

，.

由已知，得.

因为两圆半径均为1，所以

.

设，则

，

即.（或）

评析：

1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

2．定义法：

运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.

求动圆圆心的轨迹的方程；

【解析】如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：

即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；

◎◎已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。

【解析】由中垂线知，故，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），

故P点的方程为

◎◎已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：

|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，

点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，

以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，

可求得动点P的轨迹方程为：

评析：

定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。

三、相关点法：

动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x,y）却随另一动点Q（x’，y’）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

几何法：

利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

例3、如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。

求线段QN的中点P的轨迹方程。

【解析】设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）

则N（2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①

又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0②

由①②解方程组得,代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0

◎◎已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足

求点T的轨迹C的方程；

【解析】

解法一：

（相关点法）

设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

当|时，由，得.

又，所以T为线段F2Q的中点.

设点Q的坐标为（），则

因此①

由得②

将①代入②，可得

综上所述，点T的轨迹C的方程是

解法二：

（几何法）

设点T的坐标为

当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

当|时，由，得.

又，所以T为线段F2Q的中点.

在△QF1F2中，，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是

评析：

一般地：

定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。

四、参数法：

求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

例4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

【解析】

解法一：

以OA的斜率k为参数由解得A（k，k2）

∵OA⊥OB，∴OB：

由解得B

设△AOB的重心G（x，y），则

消去参数k得重心G的轨迹方程为

解法二：

设△AOB的重心为G（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,则…

（1）

∵OA⊥OB∴,即，……

（2）

又点A，B在抛物线上，有，代入

（2）化简得

∴

所以重心为G的轨迹方程为。

◎◎如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.

【解析】设切点A、B坐标分别为，

∴切线AP的方程为：

切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为，

所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

评析：

1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。

2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：

斜率、截距、定比、角、点的坐标等。

3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。

4.多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。

五、交轨法：

求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。

可以说是参数法的一种变种。

例5、抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。

解1（交轨法）：

点A、B在抛物线上，设A（，B（所以kOA=kOB=,由OA垂直OB得kOAkOB=-1，得yAyB=-16p2,又AB方程可求得，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把yAyB=-16p2代入得AB方程（yA+yB）y--4px+16p2=0①又OM的方程为②

由①②消去得yA+yB即得，即得。

所以点M的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，半径为的圆,除去点（0，0）。

评析：

用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。

交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

解2（几何法）：

由解1中AB方程（yA+yB）y--4px+16p2=0可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：

M点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。

所以方程为，除去点（0，0）。

五、向量法：

例6、（1995全国理）已知椭圆如图6，＝1，直线L：

＝1，P是L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线

总结：

以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法，对于下面几点，在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的：

1.高考方向要把握

高考考查轨迹问题通常是以下两类：

一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法。

2.“轨迹”、“方程”要区分

求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。

3.抓住特点选方法

处理轨迹问题成败在于：

对各种方法的领悟与解题经验的积累。

所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不再重复）。

4.认真细致定范围

确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：

①准确理解题意，挖掘隐含条件；

②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；　

③推理要严密，方程化简要等价；

④消参时要保持范围的等价性；

⑤数形结合，查“漏”补“缺”。

5.平几知识“用当先”

在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：

①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；

②简化条件式；

③转化化归。

6.向量工具“用自如”

向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的各个分支中起着十分重要的工具作用，在复习时应加强训练，使学生熟练掌握，并能运用自如。

巩固练习：

1.点M（x,y）与定点F（1,0）的距离和它到直线x=4的距离的比为2,则动点M的轨迹方程为（）.

A.B.C.3x2-y2-34x+65=0D.3x2-y2-30x+63=0

（目的:

掌握直接法求轨迹方程的基本思路及步骤,同时掌握双曲线第二定义,避免错误使用）

答案:

D

解析:

两边平方即得3x2-y2-30x+63=0

2.P是椭圆上的动点,作PD⊥y轴,D为垂足,则PD中点的轨迹方程为（）.

A.B.C.D.

（目的:

掌握代入法求轨迹方程的基本思路及步骤,理解其适用的题型）

答案:

D

解析:

设PD中点为M（x,y）,则P点坐标为（2x,y）,代入方程,即得.

3.已知双曲线,（a>0,b>0）,A1、A2是双曲线实轴的两个端点,MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点,则A1M与A2N交点的轨迹方程是（）.

A.B.C.D.

（目的:

熟悉参数法求轨迹方程的基本思路,理解相交点轨迹方程的解题技巧）

答案:

A

解析:

设M（x1,y1）,N（x1,-y1）,A1M与A2N交点为P（x,y）,A1（-a,0）,A