九年级全国中考数学二次函数试题汇编Word文件下载.docx
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(3)本问为存在型问题.可以先假设存在,然后按照题意条件求点P的坐标,如果能求出则点P存在,否则不存在.注意三角形相似有两种情形,需要分类讨论.
(1)∵点A(1,0)和点C(0,1)在抛物线y=ax2+b上,
∴,解得:
a=?
1,b=1,
∴抛物线的解析式为:
y=?
x2+1,
抛物线的对称轴为y轴,则点B与点A(1,0)关于y轴对称,∴B(?
1,0).
(2)设过点A(1,0),C(0,1)的直线解析式为y=kx+b,可得:
,解得k=?
1,b=1,∴y=?
x+1.
∵BD∥CA,∴可设直线BD的解析式为y=?
x+n,
∵点B(?
1,0)在直线BD上,∴0=1+n,得n=?
1,
∴直线BD的解析式为:
x?
1.
将y=?
1代入抛物线的解析式,得:
?
1=?
x2+1,解得:
x1=2,x2=?
∵B点横坐标为?
1,则D点横坐标为2,
D点纵坐标为y=?
2?
3,∴D点坐标为(2,?
3).
如答图①所示,过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=3,AN=1,BN=3,
在Rt△BDN中,BN=DN=3,由勾股定理得:
BD=;
在Rt△ADN中,DN=3,AN=1,由勾股定理得:
AD=;
又OA=OB=OC=1,OC⊥AB,由勾股定理得:
AC=BC=;
∴四边形ABCD的周长为:
AC+BC+BD+AD=+++=+.
(3)假设存在这样的点P,则△BPE与△CBD相似有两种情形:
(I)若△BPE∽△BDC,如答图②所示,
则有,即,∴PE=3BE.
设OE=(>0),则E(?
,0),BE=1?
,PE=3BE=3?
3,
∴点P的坐标为(?
,3?
∵点P在抛物线y=?
x2+1上,
∴3?
3=?
(?
)2+1,解得=1或=2,
当=1时,点E与点B重合,故舍去;
当=2时,点E在OB左侧,点P在x轴下方,不符合题意,故舍去.
因此,此种情况不存在;
(II)若△EBP∽△BDC,如答图③所示,
则有,即,∴BE=3PE.
设OE=(>0),则E(,0),BE=1+,PE=BE=(1+)=+,
∴点P的坐标为(,+).
∴+=?
()2+1,解得=?
1或=,
∵>0,故=1舍去,∴=,
点P的纵坐标为:
+=+×
=,
∴点P的坐标为(,).
综上所述,存在点P,使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似,点P的坐标为(,).
(2021•昆明)如图,矩形OABC在平面直角坐标系xoy中,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=4,OC=3,若抛物线的顶点在BC边上,且抛物线经过O、A两点,直线AC交抛物线于点D。
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)若点在抛物线上,点N在x轴上,是否存在以点A、D、、N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点N的坐标;
若不存在,请说明理由。
(2021•邵阳)如图所示,已知抛物线y=?
2x2?
4x的图象E,将其向右平移两个单位后得到图象F.
(1)求图象F所表示的抛物线的解析式:
(2)设抛物线F和x轴相交于点O、点B(点B位于点O的右侧),顶点为点C,点A位于y轴负半轴上,且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍,求AB所在直线的解析式.
二次函数图象与几何变换;
待定系数法求一次函数解析式;
二次函数的性质.
(1)根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行解答;
(2)先根据抛物线F的解析式求出顶点C,和x轴交点B的坐标,再设A点坐标为(0,y),根据点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍,列出关于y的方程,解方程求出y的值,然后利用待定系数法求出AB所在直线的解析式.
(1)∵抛物线y=?
4x=?
2(x+1)2+2的图象E,将其向右平移两个单位后得到图象F,
∴图象F所表示的抛物线的解析式为y=?
2(x+1?
2)2+2,即y=?
2(x?
1)2+2;
(2)∵y=?
1)2+2,
∴顶点C的坐标为(1,2).
当y=0时,?
1)2+2=0,
解得x=0或2,
∴点B的坐标为(2,0).
设A点坐标为(0,y),则y<0.
∵点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍,
∴?
y=2×
2,解得y=?
4,
∴A点坐标为(0,?
4).
设AB所在直线的解析式为y=kx+b,
由题意,得,
解得,
∴AB所在直线的解析式为y=2x?
4.
本题考查了二次函数图象与几何变换,二次函数的性质,运用待定系数法求函数的解析式,难度适中,求出图象F所表示的抛物线的解析式是解题的关键.
(2021•柳州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),(5,0),(3,?
(1)求该二次函数的解析式;
(2)当y>?
3,写出x的取值范围;
(3)A、B为直线y=?
2x?
6上两动点,且距离为2,点C为二次函数图象上的动点,当点C运动到何处时△ABC的面积最小?
求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值.
(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)求出y=3时x的值,结合函数图象,求出y>?
3时x的取值范围;
(3)△ABC的底边AB长度为2,是定值,因此当AB边上的高最小时,△ABC的面积最小.如解答图所示,由点C向直线y=?
6作垂线,利用三角函数(或相似三角形)求出高CE的表达式,根据表达式求出CE的最小值,这样问题得解.
(1)∵点(1,0),(5,0),(3,?
4)在抛物线上,
∴,
解得.
∴二次函数的解析式为:
y=x2?
6x+5.
(2)在y=x2?
6x+5中,令y=?
3,即x2?
6x+5=?
整理得:
x2?
6x+8=0,解得x1=2,x2=4.
结合函数图象,可知当y>?
3时,x的取值范围是:
x<2或x>4.
(3)设直线y=?
6与x轴,y轴分别交于点,点N,
令x=0,得y=?
6;
令y=0,得x=?
2.
∴(?
3,0),N(0,?
6),
∴O=3,ON=6,由勾股定理得:
N=3,
∴tan∠NO==,sin∠NO==.
设点C坐标为(x,y),则y=x2?
过点C作CD⊥y轴于点D,则CD=x,OD=?
y,DN=6+y.
过点C作直线y=?
6的垂线,垂足为E,交y轴于点F,
在Rt△CDF中,DF=CD•tan∠NO=x,CF====x.
∴FN=DN?
DF=6+y?
x.
在Rt△EFN中,EF=FN•sin∠NO=(6+y?
x).
∴CE=CF+EF=x+(6+y?
x),
∵C(x,y)在抛物线上,∴y=x2?
6x+5,代入上式整理得:
CE=(x2?
4x+11)=(x?
2)2+,
∴当x=2时,CE有最小值,最小值为.
当x=2时,y=x2?
3,∴C(2,?
△ABC的最小面积为:
AB•CE=×
2×
=.
∴当C点坐标为(2,?
3)时,△ABC的面积最小,面积的最小值为.
本题是二次函数综合题型,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、解直角三角形(或相似三角形)等知识点.难点在于第(3)问,确定高CE的表达式是解题的关键所在;
本问的另一解法是:
直线y=?
2x+k与抛物线y=x2?
6x+5相切时,切点即为所求的点C,同学们可以尝试此思路,以求触类旁通、举一反三.
(2021•铜仁)如图,已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过
A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).
(1)求抛物线的解析式:
(2)求△ABC的面积;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点,使△AB为等腰三角形?
若不存在,请说明
理由:
若存在,求出点的坐标.
解:
(1)求出A(1,0),B(0,-3)……………………1分
把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得
解得:
b=2,c=-3………………………………………………3分
∴抛物线为:
y=x2+2x-3……………………………………4分
(2)令y=0得:
0=x2+2x-3
解之得:
x1=1,x2=-3
所以C(-3,0),AC=4…………………………6分
S△ABC=
(3)抛物线的对称轴为:
x=-1,假设存在(-1,)满足题意
讨论:
①当A=AB时
∴1(-1,),2(-1,-)……………………………………10分
②当B=BA时
∴3=0,4=-6……………………………………10分
∴3(-1,0),4(-1,-6)……………………………………12分
③当B=A时
=-1
∴5(-1,-1)……………………………………13分
答:
共存在五个点1(-1,),2(-1,-),3(-1,0),4(-1,-6),5(-1,-1),
使△AB为等腰三角形……………………………………14分
(2021•临沂)如图,抛物线经过A(?
1,0),B(5,0),C(0,)三点.
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
(3)点为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,,N四点构成的四边形为平行四边形?
若存在,求点N的坐标;
专题:
探究型.
(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),再把A(?
1,0),B(5,0),C(0,)三点代入求出a、b、c的值即可;
(2)因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为(5,0),连接BC交对称轴直线于点P,求出P点坐标即可;
(3)分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论.
(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
∵A(?
1,0),B(5,0),C(0,)三点在抛物线上,
y=x2?
;
(2)∵抛物线的解析式为:
,
∴其对称轴为直线x=?
=?
=2,
连接BC,如图1所示,
∵B(5,0),C(0,?
),
∴设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴直线BC的解析式为y=x?
当x=2时,y=1?
∴P(2,?
);
(3)存在.
如图2所示,
①当点N在x轴下方时,
∵抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,?
∴N1(4,?
②当点N在x轴上方时,
如图,过点N作ND⊥x轴于点D,
在△AND与△CO中,
∴△AND≌△CO(ASA),
∴ND=OC=,即N点的纵坐标为.
∴x2?
=,
解得x=2+或x=2?
∴N2(2+,),N3(2?
,).
综上所述,符合条件的点N的坐标为(4,?
),(2+,)或(2?
本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识,在解答(3)时要注意进行分类讨论.
(2021•茂名)下列二次函数的图象,不能通过函数的图象平移得到的是()
A、B、C、D、
(2021•茂名)如图,抛物线与轴交于点A和点B,与轴交于点C,已知点B的坐标为(3,0).
(1)求的值和抛物线的顶点坐标;
(2)分别连接AC、BC.在轴下方的抛物线上求一点,使与的面积相等;
(3)设N是抛物线对称轴上的一个动点,.
探究:
是否存在一点N,使的值最大?
若存在,请直接写出点N的坐标和的最大值;
若不存在,请简单说明理由.
(2021•大兴安岭)如图,已知二次函数y=过点A(1,0)C(0,-3)
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标.
(2021•红河)如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C点,点P是抛物线上的一个动点且在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线BC于点E.
(1)求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式;
(2)求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标;
(3)是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似?
若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(1)在中,当=0时,即,解得.
当时,即,解得.
所以点A、B、C的坐标依次是A(-2,0)、
B(2,0)、C(0,4).
设直线BC的解析式为(),
则,解得.
所以直线BC的解析式为.………………………………3分
(2)∵点E在直线BC上,∴设点E的坐标为,则△的面积S可表示为:
.
∴当时,△ODE的面积有最大值1.
此时,,∴点E的坐标为(1,2).…………………5分
(3)存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似,理由如下:
设点P的坐标为,.
因为△OAC与△OPD都是直角三角形,分两种情况:
①当△PDO∽△COA时,,
解得,(不符合题意,舍去).
当时,.
此时,点P的坐标为.
②当△PDO∽△AOC时,,
当时,=.
综上可得,满足条件的点P有两个:
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