1、 (3)本问为存在型问题可以先假设存在,然后按照题意条件求点P的坐标,如果能求出则点P存在,否则不存在注意三角形相似有两种情形,需要分类讨论(1)点A(1,0)和点C(0,1)在抛物线y=ax2+b上, ,解得:a=?1,b=1, 抛物线的解析式为:y=?x2+1, 抛物线的对称轴为y轴,则点B与点A(1,0)关于y轴对称,B(?1,0) (2)设过点A(1,0),C(0,1)的直线解析式为y=kx+b,可得: ,解得k=?1,b=1,y=?x+1 BDCA,可设直线BD的解析式为y=?x+n, 点B(?1,0)在直线BD上,0=1+n,得n=?1, 直线BD的解析式为:x?1 将y=?1代入
2、抛物线的解析式,得:?1=?x2+1,解得:x1=2,x2=? B点横坐标为?1,则D点横坐标为2, D点纵坐标为y=?2?3,D点坐标为(2,?3) 如答图所示,过点D作DNx轴于点N,则DN=3,AN=1,BN=3, 在RtBDN中,BN=DN=3,由勾股定理得:BD= ; 在RtADN中,DN=3,AN=1,由勾股定理得:AD= ; 又OA=OB=OC=1,OCAB,由勾股定理得:AC=BC= ; 四边形ABCD的周长为:AC+BC+BD+AD= + + + = + (3)假设存在这样的点P,则BPE与CBD相似有两种情形: (I)若BPEBDC,如答图所示, 则有 ,即 ,PE=3BE
3、 设OE=(0),则E(?,0),BE=1?,PE=3BE=3?3, 点P的坐标为(?,3? 点P在抛物线y=?x2+1上, 3?3=?(?)2 +1,解得=1或=2, 当=1时,点E与点B重合,故舍去;当=2时,点E在OB左侧,点P在x轴下方,不符合题意,故舍去 因此,此种情况不存在; (II)若EBPBDC,如答图所示, 则有 ,即 ,BE=3PE 设OE=(0),则E(,0),BE=1+,PE=BE=(1+)=+, 点P的坐标为(, +) +=?()2+1,解得=?1或=, 0,故=1舍去,=, 点P的纵坐标为: +=+=, 点P的坐标为(,) 综上所述,存在点P,使以B、P、E为顶点的
4、三角形与CBD相似,点P的坐标为(,) (2021昆明)如图,矩形OABC在平面直角坐标系xoy中,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=4,OC=3,若抛物线的顶点在BC边上,且抛物线经过O、A两点,直线AC交抛物线于点D。 (1)求抛物线的解析式; (2)求点D的坐标; (3)若点在抛物线上,点N在x轴上,是否存在以点A、D、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由。 (2021邵阳)如图所示,已知抛物线y=?2x2?4x的图象E,将其向右平移两个单位后得到图象F (1)求图象F所表示的抛物线的解析式: (2)设抛物线F和x轴相交于点O、点B(
5、点B位于点O的右侧),顶点为点C,点A位于y轴负半轴上,且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍,求AB所在直线的解析式二次函数图象与几何变换;待定系数法求一次函数解析式;二次函数的性质(1)根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行解答; (2)先根据抛物线F的解析式求出顶点C,和x轴交点B的坐标,再设A点坐标为(0,y),根据点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍,列出关于y的方程,解方程求出y的值,然后利用待定系数法求出AB所在直线的解析式(1)抛物线y=?4x=?2(x+1)2+2的图象E,将其向右平移两个单位后得到图象F, 图象F所表示的抛物线的解析式为y=?2(x+1?2
6、)2+2,即y=?2(x?1)2+2; (2)y=?1)2+2, 顶点C的坐标为(1,2) 当y=0时,?1)2+2=0, 解得x=0或2, 点B的坐标为(2,0) 设A点坐标为(0,y),则y0 点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍, ?y=22,解得y=?4, A点坐标为(0,?4) 设AB所在直线的解析式为y=kx+b, 由题意,得 , 解得 , AB所在直线的解析式为y=2x?4本题考查了二次函数图象与几何变换,二次函数的性质,运用待定系数法求函数的解析式,难度适中,求出图象F所表示的抛物线的解析式是解题的关键 (2021柳州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点
7、(1,0),(5,0),(3,? (1)求该二次函数的解析式; (2)当y?3,写出x的取值范围; (3)A、B为直线y=?2x?6上两动点,且距离为2,点C为二次函数图象上的动点,当点C运动到何处时ABC的面积最小?求出此时点C的坐标及ABC面积的最小值(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)求出y=3时x的值,结合函数图象,求出y?3时x的取值范围; (3)ABC的底边AB长度为2,是定值,因此当AB边上的高最小时,ABC的面积最小如解答图所示,由点C向直线y=?6作垂线,利用三角函数(或相似三角形)求出高CE的表达式,根据表达式求出CE的最小值,这样问题得解(1)点(1,0),(
8、5,0),(3,?4)在抛物线上, , 解得 二次函数的解析式为:y=x2?6x+5 (2)在y=x2?6x+5中,令y=?3,即x2?6x+5=? 整理得:x2?6x+8=0,解得x1=2,x2=4 结合函数图象,可知当y?3时,x的取值范围是:x2或x4 (3)设直线y=?6与x轴,y轴分别交于点,点N, 令x=0,得y=?6;令y=0,得x=?2 (?3,0),N(0,?6), O=3,ON=6,由勾股定理得:N=3 , tanNO= = ,sinNO= = 设点C坐标为(x,y),则y=x2? 过点C作CDy轴于点D,则CD=x,OD=?y,DN=6+y 过点C作直线y=?6的垂线,垂
9、足为E,交y轴于点F, 在RtCDF中,DF=CDtanNO= x,CF= = = = x FN=DN?DF=6+y? x 在RtEFN中,EF=FNsinNO= (6+y? x) CE=CF+EF= x+ (6+y? x), C(x,y)在抛物线上,y=x2?6x+5,代入上式整理得: CE= (x2?4x+11)= (x?2)2+ , 当x=2时,CE有最小值,最小值为 当x=2时,y=x2?3,C(2,? ABC的最小面积为: ABCE= 2 = 当C点坐标为(2,?3)时,ABC的面积最小,面积的最小值为 本题是二次函数综合题型,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与
10、性质、解直角三角形(或相似三角形)等知识点难点在于第(3)问,确定高CE的表达式是解题的关键所在;本问的另一解法是:直线y=?2x+k与抛物线y=x2?6x+5相切时,切点即为所求的点C,同学们可以尝试此思路,以求触类旁通、举一反三 (2021铜仁)如图,已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过 A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合) (1)求抛物线的解析式: (2)求ABC的面积; (3)在抛物线的对称轴上,是否存在点,使AB为等腰三角形?若不存在,请说明 理由:若存在,求出点的坐标. 解:(1)求出A(1,0),B(0,-3)1分
11、把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得 解得:b=2,c=-33分 抛物线为:y=x2+2x-34分 (2)令y=0得:0=x2+2x-3 解之得:x1=1,x2=-3 所以C(-3,0),AC=46分 SABC= (3)抛物线的对称轴为:x=-1,假设存在(-1,)满足题意 讨论: 当A=AB时 1(-1, ),2(-1,- ) 10分 当B=BA时 3=0,4=-610分 3(-1,0),4(-1,-6)12分 当B=A时 =-1 5(-1,-1)13分 答:共存在五个点1(-1, ),2(-1,- ),3(-1,0),4(-1,-6),5(-1,-1), 使AB为等腰三角形14分
12、 (2021临沂)如图,抛物线经过A(?1,0),B(5,0),C(0, )三点 (2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标; (3)点为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标; 专题:探究型(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0),再把A(?1,0),B(5,0),C(0, )三点代入求出a、b、c的值即可; (2)因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为(5,0),连接BC交对称轴直线于点P,求出P点坐标即可; (3)分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论(1)设抛物线的解析式为y=ax2+
13、bx+c(a0), A(?1,0),B(5,0),C(0, )三点在抛物线上,y= x2? ; (2)抛物线的解析式为: , 其对称轴为直线x=? =? =2, 连接BC,如图1所示, B(5,0),C(0,? ), 设直线BC的解析式为y=kx+b(k0), 直线BC的解析式为y= x? 当x=2时,y=1? P(2,? ); (3)存在 如图2所示, 当点N在x轴下方时, 抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,? N1(4,? 当点N在x轴上方时, 如图,过点N作NDx轴于点D, 在AND与CO中, ANDCO(ASA), ND=OC= ,即N点的纵坐标为 x2? = , 解得x=2+ 或x
14、=2? N2(2+ , ),N3(2? , ) 综上所述,符合条件的点N的坐标为(4,? ),(2+ , )或(2?本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识,在解答(3)时要注意进行分类讨论 (2021茂名)下列二次函 数的图象,不能通过函数 的图象平移得到的是( ) A、 B、 C、 D、 (2021茂名)如图,抛物线 与 轴交于点 A和点B,与 轴交于点C,已知点B的坐标为(3,0). (1)求 的值和抛物线的顶点坐标; (2)分别连接AC、BC.在 轴下方的抛物线上求一点,使 与 的面积相等 ; (3)设N是抛物线
15、对称轴上的一个动点, . 探究:是否 存在一点N,使 的值最大?若存在,请直接写出点N的坐标和 的最大值;若不存在,请简单说明理由. (2021大兴安岭)如图,已知二次函数y = 过点A(1,0) C(0,3) (1)求此二次函数的解析式; (2)在抛物线上存在一点P使ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标. (2021红河)如图,抛物线 与 轴交于A、B两点,与 轴交于C点,点P是抛物线上的一个动点且在第一象 限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线BC于点E (1)求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式; (2)求ODE面积的最大值及相应的点E的坐标; (3)是否存在以点P、O、D为顶点
16、的三角形与OAC相似?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由(1)在 中,当 =0时,即 ,解得 当 时,即 ,解得 所以点 A、B、C的坐标依次是A(-2,0)、 B(2,0)、C(0,4) 设直线BC的解析式为 ( ), 则 ,解得 所以直线BC的解析式为 3分 (2)点E在直线BC上,设点E的坐标为 ,则 的面积S可表示为: 当 时,ODE的面积有最大值1 此时, ,点E的坐标为(1,2) 5分 (3)存在以点P、O、D为顶点的三角形与OAC相似,理由如下: 设点P的坐标为 , 因为OAC与OPD都是直角三角形,分两种情况: 当DOCOA时, , 解得 , (不符合题意,舍去) 当 时, 此时,点P的坐标为 当PDOAOC时, , 当 时, = 综上可得,满足条件的点P有两个: 感谢您的阅读,祝您生活愉快。
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