第二章光束传播法基本原理Word文档下载推荐.docx

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不需要矩阵运算，只需简单的加减乘除运算由前一时刻的场来获得下一时刻场的值。

而且，它还非常适合于并行计算，这正好与当今计算机的发展趋势相吻合，这就更加提高了时域有限差分法解决实际复杂问题的能力。

适用范围：

计算光波导的模场分布、有效折射率；

研究波导之间的连接、耦合问题。

注：

主要用于一维和二维光波导的分析。

三维波导分析计算量稍大。

现状：

ADIFDTD，可应用于各向异性介质，非线性介质，PML吸收边界

⑷光束传播法（BeamPropagationMethod，简写BPM）

光束传播法是目前光波导器件研究与设计领域最流行的方法之一，其基本

思想是在给定初始场的前提下，一步一步地计算出各个传播截面上的场。

光束

传播法最早是由M.D.Feit等人于1978年研究光场及大气激光束传播时提出的。

最早的BPM是以快速傅里叶变换（Fast-FourierTransform，称FFT）为数学手段实现的，称为FFT-BPM。

FFT-BPM源于标量波方程，只能得到标量场（即只能处理一个偏振分量），不能分辨出场的不同偏振（TE模或TM模）以及场之间的耦合。

由于上述缺点，D.Yevick等人于1989年提出了一种新方法一有限差分光束传播法FD-BPM，用差分的方法将横截面上的场离散化。

这种方法已被成功地应用于分析丫型波导及S型弯曲波导中的光波传输，且对损耗的计算也得到了准确的结果；

FD-BPM还被用于分析条形波导、三维弯曲波导、二阶非线性效应以及有源器件。

频域分析方面，同样可采用光束传播法进行分析：

可采用相关函数法获得，还发展了一种称为虚轴光束传播法的方法，用于分析波导中的模式。

其实，BPM与FDTD有不少相似的地方。

其不同在于，FDTD每次都要同时计算整个波导的模场，而BPM只算一个面特点：

计算量较小，应用范围非常广泛

计算光波导的模式、色散、双折射、传输损耗等；

分析波导传输、连接、耦合，光栅的传输特性等。

4•数值方法发展趋势：

方法融合现象明显（有限元法与光束传播法的结合形成了另外一种方法一有

限元光束传播法（FE-BPM）。

）、相互推动（PMLFDTD,BPM,FEM）。

第二节有限差分光束传播法基本原理

光束传播法（BPM）的基本思想就是把波导沿着传播方向剖分成若干个截面,

根据前一个或几个截面上的已知场分布得到下一个截面上的场分布

BeaBPROPSisulationParaaeters

DomainMin;

DomainMax:

ComputeStep:

SliceStep:

MonitorStep:

CurrentValue^28~

DefaultUse

ValueDefs

0.2

CurrentValue^24~[2i

DefaultUseVilueDefs

Current

Value

|5-

[U2Q~

DefaultUseValueDefsr~11120

10

100

lio-

|100L

EstimatedTime:

0.088min

SaveSettings

OK

Cancel

ContourMapofIndexProfileatY=0

1.4545

1000-

800-

600-

■

400-

200-

-20-10

01020

X（nm）

IISIbuIationPara*eterE—ComputeIndexProTile

X

Curent

Default

UseDeFs

DomwMir:

17

DomainMax：

|27.2

P

[02-

j0.2

审

Slice5切Moriit&

rStep:

CurrentDefaultUteValueValueDeFs

CurrentDefaultUseValueValueDefs

|卫2|-2'

：

217

[0[0|7

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[1100

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[El-P

[C2~pn~P

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|100

|1QO

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100|7

S/mbals...

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OutputFiePiefix:

EstimatedTimer

0.006min

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1

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■■■»

■■■■■kkb■■■■■■■■■■■■

1200

woo-

800

600

400

200

-20

20

£

=L

N

X（pm）

BPM

理论来源于波动方程，波动方程是建立在

Maxwell方程的一般形式为

E（t）畀

Maxwell方程基础上的。

（1a）

H（t）

J（t）

D（t）

B（t）

（lb）

（lc）

（ld）

式中，E为电场强度，H为磁场强度，D为电矢量位移，B为磁感应强度，J为电流密度矢量，为体电荷密度，t为时间。

对于各向同性、非磁性、电中

性介质，有

E（t）,B（t）oH（t）,D（t）E（t）

⑵

式中，

为电导率,

0为真空磁化率常数,

为介电常数。

将式

（2）代入式⑴

有

H（t）门

E（t）o

0t

（3a）

E（t）

H（t）E（t）

t

（3b）

考虑到场对时间的依赖

Eexp（it）,H（t）

Hexp（it）

⑷

EExi

EyjEzk,HHx

iHyjHzk为复振幅，

为

角频率，i为单位虚数。

把式（4）代入式⑶，有

Ei0H

H（i

）E

（5a）

（5b）

式（5a）可进一步写为

（

E）i0（

H）0

（6）

将式（5b）代入式⑹，有

E）20（

i）E0

⑺

定义复相对介电常数

%%i%（

（8）

将式（8）代入式（7），就可以得到关于电场的矢量波方程

（E）

2e

（9）

式中，由下式表示

（J2%

（10）

其中，c为真空光速,

为真空波长。

采用同样的过程,

可以得到关于磁场矢

量波方程

（H）

2H

（11）

对于任何矢量G，有

G）

2g

（12）

从而可以进一步得到

°

H）

（13）

（14）

（15）

E）

%E）

（16）

把式（12）和式（16）代入到式（9）和（11），可以得到

21

2E（%%E）

212

2H%（H）2H0（18）

%

考虑准TE模（Ez0）和准TM（Hz0）模，有

2E（—%E）2E0（19a）

211%2

H%（H）^k（：

kH）H0

（19b）

式中

ix

■jy

（20）

E

Exi

Eyj

（21）

H

Hxi

Hyj

（22）

将式（19）写成分量形式如下

2Ex

%E

y

（23a）

2Ey

x

（23b）

%Hy

Hx

%Hx

2Hx

2Hy

进一步可以写为

1%Hy

%z

z

2.

笔X

Ex

2

xy

%Ey

Ey

Hy

2Ex

%Ex

（24a）

（24b）

%—

式（24）中，Ex，

2x

2z

2Hx-

%—y

yx

%x

化

z2

H-

%y

（24c）

y，z的函数,

Hy是空间坐标x，

1Hy

1Hx

把Ex,Ey,Hx,Hy随z的快速周期变化部分分离，令

x（x,y,z）exp（i

z）

（25a）

y（x,y,z）exp（i

（25b）

x（x,y,z）exp（i

（25c）

y（x,y,z）exp（i

（25d）

n。

（26）

c

式中，n°

为参考折射率，选择时应尽量接近导模的有效折射率，否则会影响计算精度。

x，y，x，y为包络函数，如图i所示。

\I

I\i

j\j

\i

iA

\\

\

\f

EEHH

xyxy

图2-1包络函数示意图

将式（25）代入式（24）可得包络函数的矢量波方程

x%x°

22

xx2i

yz

"

2i

进一步整理得

u

（27b）

（27c）

（27d）

Axx

Axyy

Ayy

（28b）

~2~"

Bxx

Bxy

（28c）

Ayx

Byy

B

yxx

（28d）

1__

1%

i

Byyy%

三维半矢量形式

Byx

忽略x,y场之间的耦合，则有

XXX

yyy

3.三维标量形式

（忽略场的方向性）

4.二维半矢量形式

与三维半矢量类似，但是折射率分布更简单

5.二维标量形式

2.1.2方程离散数值处理

（1）纵向数值处理直接求解方程式（27）是非常困难的，因此需要对它进行离散化处理，通过数值方法来求解。

BPM的数值离散化处理方法很多，这里采用有限差分方法来实现，有限差分法的核心就是把导数写成差分的形式。

为了便于方程的求解，有必要对方程进行近似处理，在纵向（即沿着光的传播方向Z）的近似处理有缓变包络近似（SVEA）、广角近似等。

在这里，我们采用缓变包络近似方法。

如果包络函数随Z的变化足够缓慢，使得

齐0

则有

2i—2i—㈣

ZZZ

其中，代表上述各个包络函数。

纵向处理主要是解决传播方向上相邻两个截面上场的关系问题，从式（29）可

以看出，纵向处理就转化为对Z的一阶偏微分处理。

设相邻的两个截面分别用I

和I1标志，第I个截面上的场为已知，第I1截面上的场待求，两截面的间

距为Z,见图

图2相邻截面差分格式示意图

式（29）中右边的偏微分项可差分为

（30）

式28可表示为

（31）

即：

I

zf

若右边值已知，则由I面上的场场分布,

就可以获得

I+1面上的场分量

类似的方法还有:

稳定性：

是指计算过程中积累误差是无限增加还是可以控制，对于沿z方向

折射率缓变的情况,

0.5时，上述差分格式是稳定的。

数值损耗：

由数值计算引起的沿传输方向上的能量损失，是非物理损耗。

研究表明，0.5时，数值损耗最小，1时，数值损耗最大。

因此，综合考虑到数值计算的稳定性及数值损耗，在计算中，要仔细选择合

适的值，使得稳定性和数值损耗都可以接受。

这样，式（28）可进

C

步化为

l1

xAxyy

（32a）

l1y

yAyxx

（32b）

D

（32c）

lBlyyxx

（32d）

其中

z%

缓变包络近似特点:

最早提出，方法最简单

广角近似（Pade近似特点:

近似更少，更高精度

图3有限差分网格结构

在有限差分光束传播法中，横向处理可采用上述的九点差分格式，设要差分的

变量为（x,y），则在点（m,n）上,的一阶和二阶导数可差分为

（m1,n）（m1,n）

X（m,n）2X

（33）

_（m,n1）（m,n1）

y（m,n）2y

（34）

（m1,n）

（m,n）

（m,n）

（35）

（m,n1）

（36）

m1,n1

Xy|（m,n）

4xy

m1,n1

（37）

（38）

m1,n1m1,n1

另外，对于变量K，有

m,n

m1/2,n

1,n

m1/2,n

Km

m

21III

Km,nm,n

T

K

m,n

m1,n

（39）

xK

1-

1+

（40）

Tm

1,nK

2Km

J

Km1,n1Pm1,n1

Km1,n

将以上各式应用到式（32），进行整理，就可以得到有限差分光束传播法的基本方程

11111111

FExm,nxm,nPexm1,nxm1,n

i1,i1/

FExm,n1xm,n1

PExm,n；

m,nPExm1,n；

m1,n

PExm,n1xm,n1

QExm1,n1ym1,n1

（41a）

PEm,n

匚y

pE

i1

ym1,n

i1y

ll

PEym,ny

ym

pEm,n1

匚y1

iy

QEy

1,n1

xm1,n1

（41b）

PHx1m,n

m,nPHx

1m1,n

xm

xm,n

PHxm,n

l

P；

m

1,n：

m,n1

qH

nX

（41c）

PHy1m,n

m,nPHy1m

i1,n

m,n1

PHym,n

pHm

Hy

1,nym

ny

（41d）

Tem

1,nTE1

4

m,n,l

PE1m1,n

TeE1m1,n

i1/

Pexm,n1

PExm,nC1

T；

m1,nT；

m1,n4

m,n,l

X1

1T；

xm,n1

Q；

m1,n1

m1mn1n

%m1,n1,l

%m1,n,l

2%m1,n

%m1,n%m,n

1

1m,n

1m,n14

2m,n,l

电m,n1

1m,n1

PE

qE

pHx1

pE1

tEm,n

p；

m,n14

m,n

1,n-2

%m1,n

1,l

%m,n1,l

Te

D1

2%m,n

%m,n

TH1

1%m,n

m,n1tH1m,n1

m,n,l1

%m,n,l

QHm1,n

pH

THm,n1

tH1

tHm,n1THm,n1

%m,n,l1%m,n,l1

tHm,n1

2%m,n