量子力学讲义第八章.doc
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第8章自旋与全同粒子
Stern-Gerlach实验中得到了直接证实。
1、Stern-Gerlach（斯特恩-革拉赫）实验
2、自旋的提出
（1）、每个电子具有自旋角动量（电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
；
（2）、每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量的关系是
，-e是电子的电荷，m是电子的质量
自旋磁矩在空间任意方向上的投影只能取两个数值：
为玻尔磁子
，
电子
（1）无经典对应量有经典对应量
（2），
（3）回转磁比率
实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。
如原子、中子、介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），介子、介子的自旋角动量为（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。
§8.1电子自旋态与自旋算符
一、自旋算符
通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描写，记为
它是角动量，满足同样的角动量对易关系
轨道角动量自旋角动量
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取±ħ/2两个值，所以
（1）三个算符的本征值都是有两个；
（2）它们的平方就都是；
（3）的本征值为：
依照，
s称为自旋量子数，只有一个数值1/2（为恒量），为角量子数，可取各种各样的值
，
ms自旋磁量子数±1/2
二、含自旋的状态波函数
电子的含自旋的波函数需写
由于sz只取±ħ/2两个值，所以上式可写为两个分量
写成列矩阵
规定列矩阵第一行对应于sz=ħ/2，第二行对应于sz=-ħ/2。
若已知电子处于sz=ħ/2或sz=-ħ/2的自旋态，则波函数可分别
三、自旋算符的矩阵表示与Pauli矩阵
1、sz的矩阵形式
在s2-sz表象中，sz的矩阵形式
sz是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值±ħ/2。
2、Pauli算符
（1）.Pauli算符的引进
令
分量形式
对易关系：
Þ
分量形式：
，，
因为sx,sy,sz的本征值都是±ħ/2，所以sx,sy,sz的本征值都是±1；sx2,sy2,sz2的本征值都是1。
即：
（2）.反对易关系
基于s的对易关系，可以证明s各分量之间满足反对易关系:
反对易（证明）
反对易（证明）
反对易（证明）
（3）、（证明）
（4）.Pauli算符的矩阵形式
根据定义
Þ
其他两个分量，令
利用反对易关系，得
®
Þ
sx简化为：
由力学量算符厄密性
Þ
得：
或
，
Þ
令：
（a为实），则
求sy的矩阵形式。
由Þ出发
写成矩阵形式，得
这里有一个相位不定性，习惯上取a=0，于是得到Pauli算符的矩阵形式为：
，，
从自旋算符与Pauli矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵
，，
四、含自旋波函数的归一化和几率密度
1、归一化
电子波函数表示成
矩阵形式后，波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分
2、几率密度
表示电子位置在r处的几率密度（在r点附近单位体积内找到电子的几率）
表示电子自旋向上（sz=ħ/2），位置在r处的几率密度；
表示电子自旋向下（sz=-ħ/2），位置在r处的几率密度；
在全空间找到sz=ħ/2的电子的几率：
在全空间找到sz=-ħ/2的电子的几率：
五、自旋波函数
波函数
在有些情况下，例如Hamilton量不含自旋变量，或可表示为空间坐标部分与自旋变量部分之和），波函数可以分离变量，即
其中是描述自旋态的波函数，其一般形式为
式中与分别代表电子sz=±ħ/2的概率，所以归一化条件表示为
求：
sz的本征态
sz的本征方程
令和分别为本征值ħ/2和-ħ/2的自旋波函数，
即
二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交
正交性
构成正交归一完全性。
a与b构成电子自旋态空间的一组正交完备基.一般自旋态可以用它们来展开,即
任一单电子自旋波函数
完全性
其中为电子的任一自旋态波函数。
例1．设氢原子的状态是，求能量E、角动量平方、角动量z分量lz、自旋角动量平方、自旋角动量z分量sz这五个力学量的可能取值、相应几率及其平均值。
§4.5全同粒子体系与波函数的交换对换性
一、全同粒子和全同性原理
1、全同粒子：
质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子为全同粒子。
如所有的电子、所有的质子。
2、经典粒子的可区分性
3、微观粒子的不可区分性
4、全同性原理
全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变。
全同性原理是量子力学的基本原理之一。
二、波函数的对称性质
表示第i个粒子的坐标和自旋
1、Hamilton算符的对称性
N个全同粒子组成的体系，其Hamilton量为：
其中表示第i个粒子在外场中的能量（势能），~表示第i个粒子和第j个粒子之间的相互作用能量，
调换第i和第j粒子，体系Hamilton量不变。
即：
表明，N个全同粒子组成的体系的Hamilton量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（qi,qj）后不变。
2、对称和反对称波函数
考虑全同粒子体系的含时Shrödinger方程
将方程中（qi,qj）调换，得：
由于Hamilton量对于（qi,qj）调换不变，表明：
（qi,qj）调换调换前后的波函数都是Shrodinger方程的解。
根据全同性原理：
描写同一状态。
因此，二者相差一常数因子。
Pij表示第i粒子与第j粒子的全部坐标的交换，即
用Pij再运算一次，得
显然，所以C2=1
Þ
Pij有（而且只有）两个本征值，即C=±1。
即全同粒子的波函数必须满足下列关系之一
式中i¹j=1,2,3,¼,N。
凡满足的，称为对称波函数，记为yS；满足的，称为反对称波函数，记为yA。
所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数一个很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称。
三、波函数对称性的不随时间变化
全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。
结论：
描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。
如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。
——波函数的特性。
例子：
下列波函数中，哪些上完全对称的？
哪些是完全反对称的？
1、
2、
3、
4、
5、
四、Fermi（费密子）子和Bose（玻色）子
（1）Bose子
凡自旋为ħ整数倍（s=0，1，2，……）的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为Bose子。
如光子（自旋为1），处于基态的氦原子（自旋为零），a粒子（自旋为0）；由玻色子组成的全同粒子体系的波函数是对称的。
如：
g光子（s=1）；p介子（s=0）。
（2）Fermi子
凡自旋为ħ半奇数倍（s=1/2，3/2，……）的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是反对称的，遵从Fermi统计，故称为Fermi子。
如电子、质子、中子~；由费密子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的。
例如：
电子、质子、中子（s=1/2）等粒子。
（3）由“基本粒子”组成的复杂粒子
五、两个全同粒子组成的体系
两个全同粒子体系对称和反对称波函数的构成
（1）、两个全同粒子（忽略它们的相互作用）Hamilton量表示为
h（q）表示单粒子的Hamilton量。
h（q1）与h（q2）形式上完全相同，只不过q1«q2互换而已。
显然
（2）、单粒子波函数
h（q）的本征方程为
ek为单粒子能量，jk（q）为相应的归一化单粒子波函数，k代表一组完备的量子数。
（3）、交换简并
设两个粒子中有一个处于jk1态，另一个处于jk2态，则jk1（q1）jk2（q2）与jk1（q2）jk2（q1）对应的能量都是ek1+ek2。
这种与交换相联系的简并，称为交换简并。
但这两个波函数还不一定具有交换对称性。
（4）、满足对称条件波函数的构成
对于Bose子，要求波
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