量子力学讲义第八章.doc

1、第8章 自 旋 与 全 同 粒 子Stern-Gerlach实验中得到了直接证实。1、 Stern-Gerlach（斯特恩-革拉赫）实验2、自旋的提出(1)、每个电子具有自旋角动量（电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：；(2)、每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量的关系是 ，-e是电子的电荷，m是电子的质量自旋磁矩在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 为玻尔磁子 ， 电子 （1） 无经典对应量 有经典对应量 （2） ， （3） 回转磁比率 实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。如原子、中子、介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），介子、

2、介子的自旋角动量为（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。8.1 电子自旋态与自旋算符一、自旋算符通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为它是角动量，满足同样的角动量对易关系 轨道角动量 自旋角动量 由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 /2 两个值， 所以 (1)三个算符的本征值都是有两个； (2)它们的平方就都是； (3)的本征值为： 依照， s称为自旋量子数，只有一个数值1/2 (为恒量)

3、，为角量子数，可取各种各样的值 ， ms自旋磁量子数1/2二、含自旋的状态波函数 电子的含自旋的波函数需写由于 sz 只取 /2 两个值， 所以上式可写为两个分量写成列矩阵 规定列矩阵第一行对应于sz = /2， 第二行对应于sz = - /2。若已知电子处于sz = /2或sz = - /2的自旋态，则波函数可分别 三、自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵1、sz的矩阵形式在s2-sz表象中，sz的矩阵形式 sz是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值 /2。2、Pauli 算符 (1). Pauli 算符的引进 令分量形式 对易关系：分量形式： ， 因为sx, sy, sz的本征值都是 /2，

4、所以sx, sy, sz的本征值都是1；sx2, sy2, sz2的本征值都是1 。即： (2). 反对易关系 基于s的对易关系，可以证明s各分量之间满足反对易关系: 反对易 （证明） 反对易 （证明） 反对易 （证明） (3)、（证明） (4). Pauli算符的矩阵形式根据定义 其他两个分量，令利用反对易关系，得sx简化为：由力学量算符厄密性 得：或，令：（a为实），则 求sy的矩阵形式。由出发写成矩阵形式，得 这里有一个相位不定性，习惯上取a= 0， 于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为：，从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵，四、含自旋波函数的归一化和几率密度1

5、、归一化电子波函数表示成 矩阵形式后，波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分 2、几率密度表示电子位置在 r处的几率密度(在 r点附近 单位体积内找到电子的几率)表示电子自旋向上（sz= /2），位置在 r处的几率密度；表示电子自旋向下（sz=- /2），位置在 r处的几率密度；在全空间找到sz = /2的电子的几率：在全空间找到sz=- /2的电子的几率：五、自旋波函数波函数 在有些情况下，例如Hamilton量不含自旋变量，或可表示为空间坐标部分与自旋变量部分之和），波函数可以分离变量，即 其中是描述自旋态的波函数，其一般形式为 式中与分别代表电子sz=/2的概率，所以归一化条

6、件表示为 求：sz的本征态sz的本征方程令和分别为本征值/2和-/2的自旋波函数，即二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交 正交性, 构成正交归一完全性。a与b构成电子自旋态空间的一组正交完备基.一般自旋态可以用它们来展开,即任一单电子自旋波函数 完全性其中为电子的任一自旋态波函数。例1设氢原子的状态是，求能量E、角动量平方、角动量z分量lz、自旋角动量平方、自旋角动量z分量sz这五个力学量的可能取值、相应几率及其平均值。4.5 全同粒子体系与波函数的交换对换性一、 全同粒子和全同性原理1、 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子为全同粒子。如所有的电子、所有的质子。2、

7、经典粒子的可区分性3、微观粒子的不可区分性4、全同性原理全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变。全同性原理是量子力学的基本原理之一。二、波函数的对称性质 表示第i个粒子的坐标和自旋1、Hamilton 算符的对称性N个全同粒子组成的体系，其Hamilton 量为： 其中 表示第i个粒子在外场中的能量（势能）， 表示第i个粒子和第j个粒子之间的相互作用能量，调换第i和第j粒子，体系Hamilton量不变。即：表明，N个全同粒子组成的体系的Hamilton量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（q i , q j ) 后不变。2、对称和反对称波函数考虑全同粒子体系的含时

8、Shrdinger方程 将方程中(qi , qj )调换，得： 由于 Hamilton 量对于(qi , qj )调换不变，表明：(qi , qj )调换调换前后的波函数都是Shrodinger方程的解。根据全同性原理：描写同一状态。因此，二者相差一常数因子。Pij表示第i粒子与第j粒子的全部坐标的交换，即 用Pij再运算一次，得 显然，所以C2=1 Pij有（而且只有）两个本征值，即C=1。即全同粒子的波函数必须满足下列关系之一 式中ij=1,2,3,N。凡满足的，称为对称波函数，记为yS；满足的，称为反对称波函数，记为yA。所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数一个很强的限制，即要求它们

9、对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称。三、波函数对称性的不随时间变化全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。波函数的特性。例子：下列波函数中，哪些上完全对称的？哪些是完全反对称的？1、 2、3、4、5、四、Fermi（费密子）子和Bose（玻色）子（1）Bose 子凡自旋为整数倍（s = 0，1，2，) 的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子

10、总是对称的，遵从Bose统计，故称为Bose子。如光子（自旋为1），处于基态的氦原子（自旋为零）， a粒子（自旋为0）；由玻色子组成的全同粒子体系的波函数是对称的。如：g 光子（s =1）；p介子 （s = 0）。（2）Fermi子凡自旋为半奇数倍（s =1/2，3/2，) 的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是反对称的，遵从Fermi统计，故称为Fermi子。如电子、质子、中子 ；由费密子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的。例如：电子、质子、中子（s =1/2）等粒子。（3）由“基本粒子”组成的复杂粒子五、两个全同粒子组成的体系两个全同粒子体系对称和反对称波函数的构成(1)、两 个全同粒子（忽略它们的相互作用）Hamilton量表示为 h(q)表示单粒子的Hamilton量。h(q1)与h(q2)形式上完全相同，只不过q1 q2互换而已。显然(2)、单粒子波函数 h(q)的本征方程为 ek为单粒子能量，jk (q) 为相应的归一化单粒子波函数，k代表一组完备的量子数。(3)、交换简并 设两个粒子中有一个处于jk1态，另一个处于jk2态，则jk1(q1)jk2(q2)与jk1(q2)jk2(q1)对应的能量都是ek1+ek2。这种与交换相联系的简并，称为交换简并。但这两个波函数还不一定具有交换对称性。(4)、满足对称条件波函数的构成 对于Bose子，要求波