科学和工程计算复习题201Word格式.docx
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若函数组kxkn0Ca,b满足
数序列.
14.复化梯形求积公式,其余项为
15.复化Simpson求积公式,其余项为
16.选互异节点x0,x1,,xn为Gauss点,则Gauss型求积公式的代数精度为.
17.如果给定方法的局部截断误差是Tn1Ohp1,其中p1为整数,则称该方法是.
18.微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响,给数值计算造成很大的实质性
困难的现象.
19.迭代序列xkk0a,b终止准则通常采用,其中的0
为.
20.在求解非线性方程组的阻尼牛顿迭代法中加进阻尼项的目的,是使线性方程组(牛顿方程)
的系数矩阵.
二、选择题
1.下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组Axb,Aaij的
nn
充分条件?
()
A.矩阵A的各阶顺序主子式均不为零;
B.A对称正定;
C.A严格对角占优;
D.A的行列式不为零.
2.高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的
B.
231333
n;
C.n;
D.n.
13
A.n;
3
344
敛的充分必要条件是().
A.B1;
B.B1;
C.detB0;
D.B严格对角占优
4.下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组Axb,Aaij的Gauss-Seidel迭代法收
敛的充分条件?
A.A为严格对角占优阵;
B.A为不可约弱对角占优阵;
C.A的行列式不为零;
D.A为对称正定阵.
5.设fxC2a,b,并记M2maxfx,则函数fx的过点
a,fa,,bf的线b性插值余项R1x,xa,b满足().
A.R1xM2ba;
B.R1xM2ba;
88
C.R1x
M2
6
设nx是在区间
nx的n个根(
A.都是单实根;
Legendre多项式是
2
ba;
D.
M22
R1x62ba.
a,b上带权x的首项系数非零的n次正交多项式n1,则
).
(
A.区间1,1上带权
都是正根;
C.有非负的根;
D.存在重根)的正交多项式.(
1
x11x
B.区间1,1上带权x1;
C.区间,上带权xex
离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的
A.基函数kxk
D.区间0,1上带权x1
Gram矩阵与()无关?
m
自变量序列xii0;
C.权数wii0;
离散点的函数值yiim0.
9.Simpson求积公式的余项是(
h3
A.Rf1h2f,a,b;
h5
B.Rf9h0f4,a,b;
14.
15.
h2ba
C.Rf12f,a,b;
4
D.Rfh9b0af4,a,b
n个互异节点的Gauss型求积公式具有(A.n;
B.n1;
C.2n1;
一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为(
B.Oh2;
C.oh2;
)次代数精确度.D.2n1.
D.Oh32.
A.Oh;
对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的
精度().
A.高;
B,低;
在常微分方程初值问题的数值解法中
A.
算术平均;
B.几何平均;
当(
C.相同;
梯形公式是显式
C.非等权平均;
D.不可比.
Euler公式和隐式Euler公式的
D.和.
)时,求解yy,0的显式Euler方法是绝对稳定的.
1h1;
B.2h0;
C.0h1;
D.2h2
求解yy,0的经典R-K公式的绝对稳定条件是(
):
A.2h0;
1hh1;
C.
234
1hhhh
23!
4!
1;
1h2h12
()阶的.A.1;
B.0;
17.在非线性方程的数值解法中
A.1;
18.在非线性方程的数值解法中
16.在非线性方程的数值解法中,只要x*1,(x*x*),那么不管原迭代法
xk1xk,k0,1,2,是否收敛,由它构成的Steffensen迭代法的局部收敛的阶是
C.2;
D.2.
Newton迭代法的局部收敛的阶是()阶的.
离散Newton迭代法的局部收敛的阶是()阶的.
B.2;
15
D.2.
19.在求解非线性方程时
迭代终止准则通常采用
),其中的0为给定的相对误差
容限.
20.在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的().
三、判断题
1.在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.()
2.用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;
在作加减法时,应避免接近的两个数相减;
在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.()
3.用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.()
4.单调减且有下界的数列一定存在极限。
5.设BRnn,则limBk0的充要条件是B的谱半径B1.()
k
6.若ARnn,则一定有A2B.()
7.求解线性代数方程组,当n很大时,Cholesky分解法的计算量比Gauss消去法大约减少了一半.()
8.在用迭代法求解线性代数方程组时,若Jacobi迭代矩阵为非负矩阵,则Jacobi方法和
Gauss-Seidel方法同时收敛,或同时不收敛;
若同时收敛,则Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛快.()
9.均差(或差商)与点列xi,fxii0的次序有关.()
10.线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关.()
11.复化梯形求积公式是2阶收敛的,复化Simpson求积公式是4阶收敛的.()
12.Gauss求积系数都是正的.()
13.在常微分方程初值问题的数值解法中,因为梯形公式是显式Euler公式和隐式Euler公式的算术平均,而Euler公式和隐式Euler公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法.()
14.在Runge-Kutta法中,通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶.()
15.求解yy,0的梯形公式是无条件稳定的.()
16.在常微分方程初值问题的数值解法中,不论单步法还是多步法,隐式公式比显式公式的稳定性好.()
17.迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率.()
18.在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是Steffensen迭代法和Newton迭代法.前者不需要求导数,但不宜推广到多元的情形;
后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组()
19.常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的
差分方程组,求解此方程组,得到边值问题在节点上函数的近似值.
()
20.在求解非线性方程组时,在一定条件下映内性可保证不动点存在
因而也能保证唯一性.
四、线性代数方程组的数值解法
1.用高斯消去法求解方程组Axb,即
211x14
132x26
122x35
(1)列出用增广矩阵A,b表示的计算过程及解向量x;
(2)列出由此得到的Doolittle三角分解ALU中的三角阵L和U;
(3)由U计算detA。
2.用高斯消去法求解方程组Axb,即
711x13
242x21
113x32
1)列出用增广矩阵
A,b表示的计算过程及解向量x;
2)列出由此得到的Doolittle三角分解ALU中的三角阵L和U;
3)由U计算detA。
3.用高斯消去法求解方程组Axb,即
3x11
1x22
4x32
4)
列出用增广矩阵
5)
列出由此得到的
Doolittle三角分解ALU中的三角阵L和U;
6)
由U计算
detA。
4.用高斯消去法求解方程组Axb,即
211x14
342x211
324x311
1)列出用增广矩阵A,b表示的计算过程及解向量x;
用高斯消去法求解方程组Axb,即
4x1
9
16
x2
10
8
27
64
x3
44
81
256
x4
190
2)
列出由此得到的Doolittle三角分解ALU中的三角阵L和U;
6.用高斯消去法求解方程组
Axb,即
41x121
52
79
12
82
1)
7.用追赶法求解三对角方程组Axf,其中
4101
A
141
f
014
8.用追赶法求解三对角方程组Axf,其中
A141,f3
01
9.用追赶法求解三对角方程组
Axf
其中
32
24
5
五、插值与拟合
1.已知函数fx的三个点0,1,1,5和2,1,写出Lagrange插值基函数,并求2次插值多项式L2x.
2.已知f10,f13,f24,求函数fx过这三点的二项Lagrange插值多项式L2x.
3.求不超过3次的多项式p3x,使它满足插值条件:
p12,p01,p10,p00.
4.求不超过4次的多项式px,使它满足插值条件:
p0p00,p1p11,p21.
5.给定数据如下:
x
1.5
fx
1.25
2.50
1.00
5.50
(1)作函数fx的均差表;
(2)用牛顿插值公式求三次插值多项式N3x.
6.求不超过3次的多项式Hx,使它满足插值条件
H19,H115,H11,H11.
7.己知函数fx的三个点处的值为:
f11,f00,f11
在区间[-1,1]上,求fx在自然边界条件下的三次样条插值多项式.
8.已知fx为定义在区间0,3上的函数,且有
f00,f10.5,f22.0,f31.5,f00.2,f31.试求区间0,3上满足上述条件的三次样条插值函数.
9.己知点列和权数xii402,1,0,1,2,wii400.5,1,1,1,1.5,试用三项
递推公式构造对应的正交多项式0x,1x,2x.
10.观察物体的直线运动,得出如下数据:
时间t/s
0.0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s/m
30
50
80
110
求运动方程satb,并作图.
11.试用二次多项式拟合下表中的离散数据
i
xi
0.00
0.25
0.50
0.75
yi
0.10
0.35
0.81
1.09
1.96
12.试用二次多项式拟合下表中的离散数据
1.0000
1.2840
1.6487
2.1170
2.7183
13.用自己的语言叙述最小二乘原理,并求参数和,使积分值
2sinxxdx最小.
六、数值积分和数值微分
1.求积公式
fxdxA0f0A1f1B0f0
已知其余项的表达式为Rfkf,0,1,试确定系数A0,A1,B0使该求积公式具有尽可能高的代数精确度,并给出该求积公式的余项和代数精确度的次数.
2.确定下列求积公式的待定参数,使该求积公式的代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数.
111
(1)1fxdxA0fA1fx1A2f
122
h
(2)hfxdxA0fhA1f0A2fh
(3)0fxdxA0f0A1f1A2f0
3.确定下列求积公式的待定参数,使该求积公式的代数精确度尽量高,指出其代数精确度的次数,并求出余项中的常数k.
(1)fxdxA0f0A1f1A2f1kf,0,1
(2)1fxdxA0f1A1fx1kf,1,1
4.给定数据表:
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
3.12014
4.42569
6.04241
8.03014
10.46675
2.6分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算fxdx的近似值.
5.分别用4段梯形公式和2段Simpson公式计算下列积分,运算时取5位有效数字。
(1)1xdx
(2)x1x2dx
6.己知求积公式:
2fxdx432f1f02f1
用两种不同的方法确定x1,x2,A1,A2,使下面公式为Gauss求积公式:
fxdxA1fx1A2fx2
取步长h0.1,试用显式Euler法求解初值问题:
yy2x,0x1y
y01.
并将计算解和精确解(要求求出)比较.
2.取h0.1,试用显式Euler法、隐式Euler法和梯形公式求解初值问题:
y4x2y,0x0.5y02.
4.考虑常微分方程初值问题:
yyxe1
y10
分别取h1,2,用经典R-K方法计算到x13.
八、非线性代数方程和方程组的解法
2x
1.对于方程fx3xe0,选择适当的初始值,分别用牛顿法和割线
法求它的全部根。
2.利用Steffensen迭代法,求方程fxxex10的根.
3.设x*是方程fx0的m重根m2,试证:
fx*1
(1)牛顿迭代函数xx满足x*1;
fxm
(2)迭代法xk1xkxkmfxk的迭代函数满足x*0.
fxk
试确定常数p,q和r,使迭代法
局部收敛于3a,并使收敛阶尽量高。
是几阶方法?