科学和工程计算复习题201Word格式.docx

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若函数组kxkn0Ca,b满足

数序列.

14.复化梯形求积公式,其余项为

15.复化Simpson求积公式,其余项为

16.选互异节点x0,x1,,xn为Gauss点,则Gauss型求积公式的代数精度为.

17.如果给定方法的局部截断误差是Tn1Ohp1,其中p1为整数,则称该方法是.

18.微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响,给数值计算造成很大的实质性

困难的现象.

19.迭代序列xkk0a,b终止准则通常采用,其中的0

为.

20.在求解非线性方程组的阻尼牛顿迭代法中加进阻尼项的目的,是使线性方程组（牛顿方程）

的系数矩阵.

二、选择题

1.下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组Axb,Aaij的

nn

充分条件?

（）

A.矩阵A的各阶顺序主子式均不为零;

B.A对称正定;

C.A严格对角占优;

D.A的行列式不为零.

2.高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的

B.

231333

n;

C.n;

D.n.

13

A.n;

3

344

敛的充分必要条件是（）.

A.B1;

B.B1;

C.detB0;

D.B严格对角占优

4.下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组Axb,Aaij的Gauss-Seidel迭代法收

敛的充分条件?

A.A为严格对角占优阵;

B.A为不可约弱对角占优阵;

C.A的行列式不为零;

D.A为对称正定阵.

5.设fxC2a,b，并记M2maxfx，则函数fx的过点

a,fa,,bf的线b性插值余项R1x,xa,b满足（）.

A.R1xM2ba;

B.R1xM2ba;

88

C.R1x

M2

6

设nx是在区间

nx的n个根（

A.都是单实根;

Legendre多项式是

2

ba;

D.

M22

R1x62ba.

a,b上带权x的首项系数非零的n次正交多项式n1,则

）.

（

A.区间1,1上带权

都是正根;

C.有非负的根;

D.存在重根）的正交多项式.（

1

x11x

B.区间1,1上带权x1;

C.区间,上带权xex

离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的

A.基函数kxk

D.区间0,1上带权x1

Gram矩阵与（）无关?

m

自变量序列xii0;

C.权数wii0;

离散点的函数值yiim0.

9.Simpson求积公式的余项是（

h3

A.Rf1h2f,a,b;

h5

B.Rf9h0f4,a,b;

14.

15.

h2ba

C.Rf12f,a,b;

4

D.Rfh9b0af4,a,b

n个互异节点的Gauss型求积公式具有（A.n;

B.n1;

C.2n1;

一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为（

B.Oh2;

C.oh2;

）次代数精确度.D.2n1.

D.Oh32.

A.Oh;

对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的

精度（）.

A.高;

B,低;

在常微分方程初值问题的数值解法中

A.

算术平均;

B.几何平均;

当（

C.相同;

梯形公式是显式

C.非等权平均;

D.不可比.

Euler公式和隐式Euler公式的

D.和.

）时,求解yy,0的显式Euler方法是绝对稳定的.

1h1;

B.2h0;

C.0h1;

D.2h2

求解yy,0的经典R-K公式的绝对稳定条件是（

）:

A．2h0;

1hh1;

C.

234

1hhhh

23!

4!

1;

1h2h12

（）阶的.A.1;

B.0;

17.在非线性方程的数值解法中

A.1;

18.在非线性方程的数值解法中

16.在非线性方程的数值解法中,只要x*1,（x*x*）,那么不管原迭代法

xk1xk,k0,1,2,是否收敛,由它构成的Steffensen迭代法的局部收敛的阶是

C.2;

D.2.

Newton迭代法的局部收敛的阶是（）阶的.

离散Newton迭代法的局部收敛的阶是（）阶的.

B.2;

15

D.2.

19.在求解非线性方程时

迭代终止准则通常采用

）,其中的0为给定的相对误差

容限.

20.在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的（）.

三、判断题

1.在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.（）

2.用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;

在作加减法时,应避免接近的两个数相减;

在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.（）

3.用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.（）

4.单调减且有下界的数列一定存在极限。

5.设BRnn,则limBk0的充要条件是B的谱半径B1.（）

k

6.若ARnn,则一定有A2B.（）

7.求解线性代数方程组,当n很大时,Cholesky分解法的计算量比Gauss消去法大约减少了一半.（）

8.在用迭代法求解线性代数方程组时,若Jacobi迭代矩阵为非负矩阵,则Jacobi方法和

Gauss-Seidel方法同时收敛,或同时不收敛;

若同时收敛,则Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛快.（）

9.均差（或差商）与点列xi,fxii0的次序有关.（）

10.线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关.（）

11.复化梯形求积公式是2阶收敛的,复化Simpson求积公式是4阶收敛的.（）

12.Gauss求积系数都是正的.（）

13.在常微分方程初值问题的数值解法中,因为梯形公式是显式Euler公式和隐式Euler公式的算术平均,而Euler公式和隐式Euler公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法.（）

14.在Runge-Kutta法中,通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶.（）

15.求解yy,0的梯形公式是无条件稳定的.（）

16.在常微分方程初值问题的数值解法中,不论单步法还是多步法,隐式公式比显式公式的稳定性好.（）

17.迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率.（）

18.在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是Steffensen迭代法和Newton迭代法.前者不需要求导数,但不宜推广到多元的情形;

后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组（）

19.常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的

差分方程组,求解此方程组,得到边值问题在节点上函数的近似值.

（）

20.在求解非线性方程组时,在一定条件下映内性可保证不动点存在

因而也能保证唯一性.

四、线性代数方程组的数值解法

1.用高斯消去法求解方程组Axb，即

211x14

132x26

122x35

（1）列出用增广矩阵A,b表示的计算过程及解向量x；

（2）列出由此得到的Doolittle三角分解ALU中的三角阵L和U；

（3）由U计算detA。

2.用高斯消去法求解方程组Axb，即

711x13

242x21

113x32

1）列出用增广矩阵

A,b表示的计算过程及解向量x；

2）列出由此得到的Doolittle三角分解ALU中的三角阵L和U；

3）由U计算detA。

3.用高斯消去法求解方程组Axb，即

3x11

1x22

4x32

4）

列出用增广矩阵

5）

列出由此得到的

Doolittle三角分解ALU中的三角阵L和U；

6）

由U计算

detA。

4.用高斯消去法求解方程组Axb，即

211x14

342x211

324x311

1）列出用增广矩阵A,b表示的计算过程及解向量x；

用高斯消去法求解方程组Axb，即

4x1

9

16

x2

10

8

27

64

x3

44

81

256

x4

190

2）

列出由此得到的Doolittle三角分解ALU中的三角阵L和U；

6.用高斯消去法求解方程组

Axb，即

41x121

52

79

12

82

1）

7.用追赶法求解三对角方程组Axf,其中

4101

A

141

f

014

8.用追赶法求解三对角方程组Axf,其中

A141,f3

01

9.用追赶法求解三对角方程组

Axf

其中

32

24

5

五、插值与拟合

1.已知函数fx的三个点0,1,1,5和2,1，写出Lagrange插值基函数,并求2次插值多项式L2x.

2.已知f10,f13,f24,求函数fx过这三点的二项Lagrange插值多项式L2x.

3.求不超过3次的多项式p3x，使它满足插值条件：

p12,p01,p10,p00.

4.求不超过4次的多项式px，使它满足插值条件：

p0p00,p1p11,p21.

5.给定数据如下:

x

1.5

fx

1.25

2.50

1.00

5.50

（1）作函数fx的均差表;

（2）用牛顿插值公式求三次插值多项式N3x.

6.求不超过3次的多项式Hx，使它满足插值条件

H19,H115,H11,H11.

7.己知函数fx的三个点处的值为：

f11,f00,f11

在区间[-1,1]上,求fx在自然边界条件下的三次样条插值多项式.

8.已知fx为定义在区间0,3上的函数,且有

f00,f10.5,f22.0,f31.5,f00.2,f31.试求区间0,3上满足上述条件的三次样条插值函数.

9.己知点列和权数xii402,1,0,1,2,wii400.5,1,1,1,1.5,试用三项

递推公式构造对应的正交多项式0x,1x,2x.

10.观察物体的直线运动,得出如下数据：

时间t/s

0.0

0.9

1.9

3.0

3.9

5.0

距离s/m

30

50

80

110

求运动方程satb,并作图.

11.试用二次多项式拟合下表中的离散数据

i

xi

0.00

0.25

0.50

0.75

yi

0.10

0.35

0.81

1.09

1.96

12.试用二次多项式拟合下表中的离散数据

1.0000

1.2840

1.6487

2.1170

2.7183

13.用自己的语言叙述最小二乘原理，并求参数和，使积分值

2sinxxdx最小.

六、数值积分和数值微分

1.求积公式

fxdxA0f0A1f1B0f0

已知其余项的表达式为Rfkf,0,1,试确定系数A0,A1,B0使该求积公式具有尽可能高的代数精确度,并给出该求积公式的余项和代数精确度的次数.

2.确定下列求积公式的待定参数,使该求积公式的代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数.

111

（1）1fxdxA0fA1fx1A2f

122

h

（2）hfxdxA0fhA1f0A2fh

（3）0fxdxA0f0A1f1A2f0

3.确定下列求积公式的待定参数,使该求积公式的代数精确度尽量高,指出其代数精确度的次数,并求出余项中的常数k.

（1）fxdxA0f0A1f1A2f1kf,0,1

（2）1fxdxA0f1A1fx1kf,1,1

4.给定数据表:

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

3.12014

4.42569

6.04241

8.03014

10.46675

2.6分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算fxdx的近似值.

5.分别用4段梯形公式和2段Simpson公式计算下列积分,运算时取5位有效数字。

（1）1xdx

（2）x1x2dx

6.己知求积公式:

2fxdx432f1f02f1

用两种不同的方法确定x1,x2,A1,A2，使下面公式为Gauss求积公式:

fxdxA1fx1A2fx2

取步长h0.1，试用显式Euler法求解初值问题：

yy2x,0x1y

y01.

并将计算解和精确解（要求求出）比较.

2.取h0.1，试用显式Euler法、隐式Euler法和梯形公式求解初值问题：

y4x2y,0x0.5y02.

4.考虑常微分方程初值问题:

yyxe1

y10

分别取h1,2,用经典R-K方法计算到x13.

八、非线性代数方程和方程组的解法

2x

1.对于方程fx3xe0，选择适当的初始值，分别用牛顿法和割线

法求它的全部根。

2.利用Steffensen迭代法,求方程fxxex10的根.

3.设x*是方程fx0的m重根m2,试证:

fx*1

（1）牛顿迭代函数xx满足x*1;

fxm

（2）迭代法xk1xkxkmfxk的迭代函数满足x*0.

fxk

试确定常数p,q和r,使迭代法

局部收敛于3a，并使收敛阶尽量高。

是几阶方法？