科学和工程计算复习题201Word格式.docx

1、若函数组 k x kn 0 C a,b 满足数序列 .14.复化梯形求积公式 ,其余项为15.复化 Simpson 求积公式 ,其余项为16.选 互 异 节 点 x0,x1, ,xn 为 Gauss 点 , 则 Gauss 型 求 积 公 式 的 代 数 精 度 为.17.如果给定方法的局部截断误差是Tn1 O hp1 ,其中 p 1为整数,则称该方法 是.18.微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象 .19.迭代序列 xk k 0 a,b 终止 准则通 常采 用 ,其 中的 0为.20.在求解非线性方程组的阻尼牛顿迭代法中加进阻尼项的目的 ,是使线性方

2、程组 （牛顿方程 ）的系数矩阵 .二、 选择题1.下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组 Ax b,A aij 的nn充分条件 ? （ ）A. 矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零 ; B. A对称正定 ;C. A严格对角占优 ; D. A 的行列式不为零 .2.高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的B.2 3 1 3 3 3n ; C. n ; D. n .13A. n ;33 4 4敛的充分必要条件是 （ ）.A. B 1; B. B 1; C. det B 0; D. B 严格对角占优4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组 Ax b, A aij 的

3、Gauss-Seidel迭代法收敛的充分条件 ?A. A为严格对角占优阵 ; B. A 为不可约弱对角占优阵 ;C. A的行列式不为零 ; D. A 为对称正定阵 .5. 设 f x C2 a,b ， 并 记 M 2 m a xf x ， 则 函 数 f x 的 过 点a, f a , ,b f的线b性插值余项 R1 x , x a,b 满足 （ ）.A. R1 x M 2 b a ; B. R1 x M 2 b a ;88C. R1 xM26设 n x 是在区间n x 的 n 个根 （A. 都是单实根 ;Legendre 多项式是2ba;D.M 2 2R1 x 62 b a .a,b 上带权

4、 x 的首项系数非零的 n 次正交多项式 n 1 , 则）.（A. 区间 1,1 上带权都是正根 ; C. 有非负的根 ; D. 存在重根 ） 的正交多项式 .（1x 11 xB. 区间 1,1 上带权 x 1;C. 区间 , 上带权 x e x离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的A. 基函数 k x kD. 区间 0,1 上带权 x 1Gram 矩阵与 （ ）无关 ?m自变量序列 xi i 0 ;C. 权数 wi i 0 ;离散点的函数值 yi im 0.9. Simpson 求积公式的余项是 （h3A. R f 1h2 f , a,b ;h5B. R f 9h0f 4 , a,b ;14.

5、15.h2 b aC. R f 12 f , a,b ;4D. R f h 9b0a f 4 , a,bn个互异节点的 Gauss 型求积公式具有 （ A. n; B. n 1; C. 2n 1;一阶导数的数值计算公式中 ,中心差商公式的精度为 （B. O h2 ; C. o h2 ;）次代数精确度 . D. 2n 1.D. O h3 2 .A. O h ;对于用插值法建立的数值求导公式 ,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度 （ ）.A. 高 ; B, 低 ;在常微分方程初值问题的数值解法中A.算术平均 ; B. 几何平均 ;当（C. 相同 ;, 梯形公式是显式C. 非等权平均

6、;D. 不可比 .Euler 公式和隐式 Euler 公式的D. 和 .）时 ,求解 y y, 0 的显式 Euler 方法是绝对稳定的 .1 h 1; B. 2 h 0; C. 0 h 1; D. 2 h 2求解 y y, 0 的经典 R-K 公式的绝对稳定条件是 （）:A 2 h 0;1 h h 1;C.2341 h h h h2 3! 4!1;1 h 2 h 12（ ）阶的 . A. 1; B. 0;17. 在非线性方程的数值解法中A. 1;18. 在非线性方程的数值解法中16. 在非线 性方程的数值 解法中 ,只 要 x* 1, （x* x* ）,那么 不管原 迭代 法xk 1 xk

7、, k 0,1,2, 是否收敛 ,由它构成的 Steffensen 迭代法的局部收敛的阶是C. 2; D. 2.,Newton 迭代法的局部收敛的阶是 （ ） 阶的 .,离散 Newton 迭代法的局部收敛的阶是 （ ） 阶的 . B. 2;15D. 2.19. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用）,其中的 0 为给定的相对误差容限.20. 在求解非线性方程组时 ,加进阻尼项的目的 ,是使线性方程组的 （ ）.三、 判断题1.在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题 .（ ）2.用计算机进行数值计算时 ,所有的函数都必须转化成算术运算 ; 在作加减法时 ,应避免接 近的两个数相

8、减 ;在所乘除法时 ,计算结果的精度不会比原始数据的高 .（ ）3.用计算机作加减法时 ,交换律和结合律成立 .（ ）4.单调减且有下界的数列一定存在极限。5. 设 B Rn n, 则 lim Bk 0的充要条件是 B 的谱半径 B 1.（ ）k6. 若 A Rn n,则一定有 A 2 B .（ ）7.求解线性代数方程组 ,当 n 很大时 ,Cholesky 分解法的计算量比 Gauss 消去法大约减少了 一半. （ ）8.在用迭代法求解线性代数方程组时 , 若 Jacobi 迭代矩阵为非负矩阵 ,则 Jacobi 方法和Gauss-Seidel 方法同时收敛 ,或同时不收敛 ;若同时收敛 ,

9、则 Gauss-Seidel 方法比 Jacobi 方 法收敛快 . （ ）9.均差（或差商 ）与点列 xi, f xi i 0 的次序有关 . （ ）10.线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关 . （ ）11.复化梯形求积公式是 2 阶收敛的 , 复化 Simpson 求积公式是 4 阶收敛的 . （ ）12.Gauss求积系数都是正的 . （ ）13.在常微分方程初值问题的数值解法中 , 因为梯形公式是显式 Euler 公式和隐式 Euler 公 式的算术平均 ,而 Euler 公式和隐式 Euler 公式是一阶方法 ,所以梯形公式也是一阶方法 . （ ）14.在 Runge-Kutta

10、 法中 , 通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶 . （ ）15.求解 y y, 0 的梯形公式是无条件稳定的 . （ ）16.在常微分方程初值问题的数值解法中 , 不论单步法还是多步法 , 隐式公式比显式公式的 稳定性好 . （ ）17. 迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率 . （ ）18. 在一元非线性方程的数值解法中 ,最有效的是 Steffensen迭代法和 Newton 迭代法 .前者不 需要求导数 ,但不宜推广到多元的情形 ;后者需要求导数 ,但可直接推广到多元方程组 （ ）19. 常微分方程边值问题的差分法 ,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的差分方

11、程组 ,求解此方程组 ,得到边值问题在节点上函数的近似值 .（ ）20. 在求解非线性方程组时 ,在一定条件下映内性可保证不动点存在,因而也能保证唯一性 .四、 线性代数方程组的数值解法1.用高斯消去法求解方程组 Ax b ，即21 1 x1 413 2 x2 61 2 2 x3 5（ 1） 列出用增广矩阵 A,b 表示的计算过程及解向量 x ；（ 2） 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 A LU 中的三角阵 L 和 U ； （3） 由U 计算 detA。2.用高斯消去法求解方程组 Ax b ，即7 1 1 x1 324 2 x2 11 1 3 x3 21） 列出用增广矩阵A,b

12、表示的计算过程及解向量 x ；2） 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 A LU 中的三角阵 L 和 U ；3） 由U 计算 det A。3. 用高斯消去法求解方程组 Ax b ，即3 x1 11 x2 24 x3 24）列出用增广矩阵5）列出由此得到的Doolittle 三角分解 A LU 中的三角阵 L 和 U ；6）由 U 计算detA。4. 用高斯消去法求解方程组 Ax b ，即2 1 1 x1 434 2 x2 1132 4 x3 111） 列出用增广矩阵 A,b 表示的计算过程及解向量 x ；用高斯消去法求解方程组 Ax b ，即4 x1916x21082764x3448

13、1256x41902）列出由此得到的 Doolittle 三角分解 A LU 中的三角阵 L 和 U ；6. 用高斯消去法求解方程组Ax b ，即4 1 x1 21527912821）7. 用追赶法求解三对角方程组 Ax f ,其中41 0 1A1 4 1,f0 1 48. 用追赶法求解三对角方程组 Ax f ,其中A 1 4 1 , f 3019. 用追赶法求解三对角方程组Ax f,其中32245五、 插值与拟合1. 已知函数 f x 的三个点 0,1 , 1,5 和 2, 1 ，写出 Lagrange 插值基函数 ,并求 2 次插值多项式 L2 x .2. 已知 f 1 0,f 1 3,f

14、 2 4,求函数 f x 过这三点的二项 Lagrange 插值 多项式 L2 x .3.求不超过 3 次的多项式 p3 x ，使它满足插值条件：p 1 2, p 0 1, p 1 0, p 0 0.4.求不超过 4 次的多项式 p x ，使它满足插值条件：p 0 p 0 0, p 1 p 1 1, p 2 1.5. 给定数据如下 :x1.5fx1.252.501.005.50（1） 作函数 f x 的均差表 ;（2） 用牛顿插值公式求三次插值多项式 N3 x .6.求不超过 3 次的多项式 H x ，使它满足插值条件H 1 9, H 1 15, H 1 1, H 1 1.7.己知函数 f x

15、 的三个点处的值为：f 1 1, f 0 0, f 1 1在区间 -1, 1上,求 f x 在自然边界条件下的三次样条插值多项式 .8.已知 f x 为定义在区间 0,3 上的函数 ,且有f 0 0, f 1 0.5, f 2 2.0, f 3 1.5, f 0 0.2, f 3 1. 试求区间 0,3 上满足上述条件的三次样条插值函数 .9. 己知点列和权数 xi i4 0 2, 1, 0, 1, 2 , wi i4 0 0.5,1,1,1,1.5 ,试用三项递推公式构造对应的正交多项式 0 x , 1 x, 2 x .10. 观察物体的直线运动 ,得出如下数据：时间 t /s0.00.91

16、.93.03.95.0距离 s /m305080110求运动方程 s at b,并作图 .11. 试用二次多项式拟合下表中的离散数据ixi0.000.250.500.75yi0.100.350.811.091.9612. 试用二次多项式拟合下表中的离散数据1.00001.28401.64872.11702.718313. 用 自 己 的 语 言 叙 述 最 小 二 乘 原 理 ， 并 求 参 数 和 ， 使 积 分 值2 sin x x dx 最小 .六、 数值积分和数值微分1.求积公式f x dx A0 f 0 A1 f 1 B0 f 0已知其余项的表达式为 R f kf , 0,1 ,试确

17、定系数 A0 , A1 , B0使该求积公式具 有尽可能高的代数精确度 ,并给出该求积公式的余项和代数精确度的次数 .2.确定下列求积公式的待定参数 ,使该求积公式的代数精确度尽量高 ,并指出其代数精 确度的次数 .1 1 1（1） 1 f x dx A0 f A1f x1 A2 f1 2 2h（2） h f x dx A0 f h A1f 0 A2 f h（3） 0 f x dx A0 f 0 A1f 1 A2f 03.确定下列求积公式的待定参数 , 使该求积公式的代数精确度尽量高 , 指出其代数精 确度的次数 , 并求出余项中的常数 k .（1） f x dx A0 f 0 A1f 1 A

18、2 f 1 kf , 0,1（2） 1f x dx A0 f 1 A1f x1 kf , 1,14. 给定数据表 :1.82.02.22.42.63.120144.425696.042418.0301410.466752.6 分别用复化梯形公式和复化 Simpson 公式计算 f x dx 的近似值 .5.分别用 4 段梯形公式和 2段 Simpson 公式计算下列积分 ,运算时取 5 位有效数字。（1） 1 xdx（2） x 1 x2dx6. 己知求积公式 :2f xdx 432f 1 f 0 2f 1用两种不同的方法确定 x1, x2 , A1, A2 ，使下面公式为 Gauss求积公式

19、:f x dx A1 f x1 A2 f x2取步长 h 0.1，试用显式 Euler 法求解初值问题：y y 2x , 0 x 1 yy 0 1.并将计算解和精确解 （要求求出 ）比较 .2. 取h 0.1，试用显式 Euler 法、隐式 Euler 法和梯形公式求解初值问题：y 4x 2y, 0 x 0.5 y 0 2.4.考虑常微分方程初值问题 :y y x e 1y 1 0分别取 h 1,2 ,用经典 R-K 方法计算到 x 13.八、 非线性代数方程和方程组的解法2x1. 对于方程 f x 3x e 0，选择适当的初始值， 分别用牛顿法和割线法求它的全部根。2. 利用 Steffensen迭代法 ,求方程 f x xex 1 0的根 .3. 设 x* 是方程 f x 0的 m 重根 m 2 , 试证:f x * 1（1） 牛顿迭代函数 x x 满足 x* 1 ;f x m（2） 迭代法 xk 1 xk xk m f xk 的迭代函数满足 x* 0.f xk试确定常数 p,q和r ,使迭代法局部收敛于 3 a ，并使收敛阶尽量高。是几阶方法？