（2）已知x<，则f（x）＝4x－2＋的最大值为________.
（3）函数y＝（x>1）的最小值为________.
解析
（1）x（4－3x）＝·（3x）（4－3x）≤·＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号.
（2）因为x<，所以5－4x>0，
则f（x）＝4x－2＋＝－（5－4x＋）＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.
故f（x）＝4x－2＋的最大值为1.
（3）由于x>1，故y＝＝
＝
＝（x－1）＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.
答案
（1）
（2）1 （3）2＋2
命题角度2 常数代换或消元法求最值
【例1－2】
（1）（2018·盐城模拟）已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________.
（2）（一题多解）（2018·南京模拟）已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
（3）（2017·苏州期末）已知ab＝，a，b∈（0，1），那么＋的最小值为________.
解析
（1）由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0.
∴x＋2y＝（x＋2y）×＝＋＋4≥4＋4＝8.
当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立.
（2）法一 （消元法）
由已知得x＝.
因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，
所以x＋3y＝＋3y
＝＋3（y＋1）－6≥2－6＝6，
当且仅当＝3（y＋1），
即y＝1，x＝3时，（x＋3y）min＝6.
法二 ∵x＞0，y＞0，
9－（x＋3y）＝xy＝x·（3y）≤·，
当且仅当x＝3y时等号成立.
设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，
∴（t－6）（t＋18）≥0，
又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，（x＋3y）min＝6.
（3）因为b＝，a∈（0，1），
所以＋＝＋＝＋＋2＝＋2.
令2a＋1＝t，则a＝，原式＝＋2＝＋2≥＋2＝4＋，当且仅当t＝，即a＝∈（0，1）时取等号，
故原式的最小值为4＋.
答案
（1）8
（2）6 （3）4＋
规律方法
（1）应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：
“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.
（2）在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
（3）条件最值的求解通常有三种方法：
一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.
易错警示
（1）利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；
（2）尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.
【训练1】
（1）（一题多解）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________.
（2）设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________.
解析
（1）法一 由x＋3y＝5xy及x，y均为正数可得＋＝1，
∴3x＋4y＝（3x＋4y）
＝＋＋＋≥＋＝5.
（当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立），
∴3x＋4y的最小值是5.
法二 由x＋3y＝5xy，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>，
∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y
＝＋·＋4
≥＋2＝5，
当且仅当y＝时等号成立，∴（3x＋4y）min＝5.
（2）∵a＋b＝2，b>0，
∴＋＝＋
＝＋
＝＋＋≥＋2＝＋1，
当且仅当＝时等号成立.
又a＋b＝2，b>0，
∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值.
答案
（1）5
（2）－2
考点二 基本不等式的综合应用
【例2】
（1）设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则＋的最小值为________.
（2）设正四面体ABCD的棱长为，P是棱AB上的任意一点（不与点A，B重合），且点P到平面ACD，平面BCD的距离分别为x，y，则＋的最小值是________.
解析
（1）由题意得z2＝xy，lgx>0，lgy>0，
∴＋＝＋
＝＋＋＋
＝＋＋
≥＋2＝，
当且仅当＝，即lgy＝2lgx，
即y＝x2时取等号.
（2）过点A作AO⊥平面BCD于点O，则O为△BCD的重心，所以OB＝××＝，
所以AO＝＝2.
又VP－BCD＋VP－ACD＝VA－BCD，
所以S△BCD·y＋S△ACD·x＝S△BCD·2，即x＋y＝2.所以＋＝（x＋y）
＝≥2＋，当且仅当x＝3－，y＝－1时取等号.
答案
（1）
（2）2＋
规律方法
（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
（3）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解.
【训练2】
（1）（2018·泰州模拟）已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为________.
（2）（2018·苏、锡、常、镇四市调研）若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为________.
解析
（1）因为2logab＋3logba＝7，所以2（logab）2－7logab＋3＝0，解得logab＝或logab＝3，因为a>b>1，所以logab∈（0，1），故logab＝，从而b＝，因此a＋＝a＋＝（a－1）＋＋1≥3，当且仅当a＝2时等号成立.
（2）因为xy>0，
所以＋＝＝＝1＋＝1＋≤1＋＝4－2，当且仅当＝，即x2＝2y2时取等号.
答案
（1）3
（2）4－2
考点三 利用基本不等式解决恒成立及实际
应用问题
【例3－1】若不等式x＋2≤a（x＋y）对任意的实数x，y∈（0，＋∞）恒成立，则实数a的最小值为________.
解析 由题意得a≥＝恒成立.
令t＝（t>0），则a≥，再令1＋2t＝u（u>1），则t＝，故a≥＝.
因为u＋≥2（当且仅当u＝时等号成立），故u＋－2≥2－2，从而0<≤＝，故a≥，即amin＝.
答案
【例3－2】
（1）已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为________.
（2）已知函数f（x）＝（a∈R），若对于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是________.
解析
（1）由＋≥，
得m≤（a＋3b）＝＋＋6.
又a>0，b>0，所以＋＋6≥2＋6＝12（当且仅当＝时等号成立），
∴m≤12，∴m的最大值为12.
（2）对任意x∈N*，f（x）≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－＋3.
设g（x）＝x＋，x∈N*，则g
（2）＝6，g（3）＝.
∵g
（2）>g（3），
∴g（x）min＝，∴－＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是.
答案
（1）12
（2）
规律方法
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立：
对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解.
（2）条件不等式的最值问题：
通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.
（3）求参数的值或范围：
观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.
【训练3】（2018·苏北四市联考）如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4m，最低点B离地面2m，观察者从距离墙x（x>1）m，离地面高a（1≤a≤2）m的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ.
（1）若a＝1.5，问：
观察者离墙多远时，视角θ最大？
（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围.
解
（1）当a＝1.5时，过C作AB的垂线，垂足为D，则BD＝0.5，且θ＝∠ACD－∠BCD，
由已知观察者离墙xm，且x>1，
则tan∠BCD＝，tan∠ACD＝，
所以tanθ＝tan（∠ACD－∠BCD）＝＝＝≤＝，
当且仅当x＝>1时取等号.
又tanθ在上单调递增，
所以当观察者离墙m时，视角θ最大.
（2）由题意得tan∠BCD＝，tan∠ACD＝，
又tanθ
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