高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第42讲 基本不等式及其应用学案 理.docx

1、高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第42讲 基本不等式及其应用学案 理第42讲基本不等式及其应用考试要求1.基本不等式的证明过程(A级要求)；2.利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(C级要求).应关注利用基本不等式把等式转化为不等式，然后研究最值问题.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)当a0，b0时，.()(2)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的.()(3)函数yx的最小值是2.()(4)函数f(x)sin x的最小值为2.()(5)x0且y0是2的充要条件.()解析(2)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR；不等式成立的条件是a0，b0.(3)函数

2、yx值域是(，22，)，没有最小值.(4)函数f(x)sin x的最小值为5.(5)x0且y0是2的充分条件.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(教材改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为_.解析x0，y0，即xy81，当且仅当xy9时，(xy)max81.答案813.(教材改编)若0x1，则的取值范围是_.解析由0x0，故，当且仅当x时，上式等号成立.00，y0，x2y1，所以(x2y)123232，当且仅当x22y2时取得最小值32.答案325.(教材改编)若x(0，)，则sin x2；若a，b(0，)，则lg alg b2；若xR，则4.其中正确结论的序号是_.解析因为x(

3、0，)，所以sin x(0，1，所以成立；只有在lg a0，lg b0，即a1，b1时才成立；|x|24，当且仅当x2时“”成立.答案知 识 梳 理1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)适用于求含两个代数式的最值.2.几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)2(a，b同号).(3)ab，(a，bR).(4)(a，bR).(以上不等式要根据条件合理选择其中之一)以上不等式等号成立的条件均为ab.3.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于

4、它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等.4.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值(简记：和定积最大).考点一利用基本不等式求最值(多维探究)命题角度1配凑法求最值【例11】 (1)已知0x1，则x(43x)取得最大值时x的值为_.(2)已知x1)的最小值为_.解析(1)x(43x)(3x)(43x)，当且仅当3x43x，即x时，取等号.(2)因为x0，则f(x)4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立.故f(x)4x2的最大值

5、为1.(3)由于x1，故y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立.答案(1)(2)1(3)22命题角度2常数代换或消元法求最值【例12】 (1)(2018盐城模拟)已知正数x，y满足x2yxy0，则x2y的最小值为_.(2)(一题多解)(2018南京模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.(3)(2017苏州期末)已知ab，a，b(0，1)，那么的最小值为_.解析(1)由x2yxy0，得1，且x0，y0.x2y(x2y)4448.当且仅当，即x4，y2时等号成立.(2)法一(消元法)由已知得x.因为x0，y0，所以0y3，所以x3y3y3(y1)6266，当且仅当3

6、(y1)，即y1，x3时，(x3y)min6.法二x0，y0，9(x3y)xyx(3y)，当且仅当x3y时等号成立.设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.(3)因为b，a(0，1)，所以22.令2a1t，则a，原式2224，当且仅当t，即a(0，1)时取等号，故原式的最小值为4.答案(1)8(2)6(3)4规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，

7、要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练1】 (1)(一题多解)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_.(2)设ab2，b0，则取最小值时，a的

8、值为_.解析(1)法一由x3y5xy及x，y均为正数可得1，3x4y(3x4y)5.(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y425，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(2)ab2，b0，21，当且仅当时等号成立.又ab2，b0，当b2a，a2时，取得最小值.答案(1)5(2)2考点二基本不等式的综合应用【例2】 (1)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则的最小值为_.(2)设正四面体ABCD的棱长为，P是棱AB上的任意一点(不与点A，B重合)，且点P到平面ACD，平面BCD的距离分别为x

9、，y，则的最小值是_.解析(1)由题意得z2xy，lg x0，lg y0，2，当且仅当，即lg y2lg x，即yx2时取等号.(2)过点A作AO平面BCD于点O，则O为BCD的重心，所以OB，所以AO2.又VPBCDVPACDVABCD，所以SBCDySACDxSBCD2，即xy2.所以(xy)2，当且仅当x3，y1时取等号.答案(1)(2)2规律方法(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】 (1)(2018泰

10、州模拟)已知ab1且2logab3logba7，则a的最小值为_.(2)(2018苏、锡、常、镇四市调研)若实数x，y满足xy0，则的最大值为_.解析(1)因为2logab3logba7，所以2(logab)27logab30，解得logab或logab3，因为ab1，所以logab(0，1)，故logab，从而b，因此aa(a1)13，当且仅当a2时等号成立.(2)因为xy0，所以11142，当且仅当，即x22y2时取等号.答案(1)3(2)42考点三利用基本不等式解决恒成立及实际应用问题【例31】 若不等式x2a(xy)对任意的实数x，y(0，)恒成立，则实数a的最小值为_.解析由题意得a

11、恒成立.令t(t0)，则a，再令12tu(u1)，则t，故a.因为u2(当且仅当u时等号成立)，故u222，从而00，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为_.(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_.解析(1)由，得m(a3b)6.又a0，b0，所以62612(当且仅当时等号成立)，m12，m的最大值为12.(2)对任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a3.设g(x)x，xN*，则g(2)6，g(3).g(2)g(3)，g(x)min，3，a，故a的取值范围是.答案(1)12(2)规律方法(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不

12、等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.【训练3】 (2018苏北四市联考)如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4 m，最低点B离地面2 m，观察者从距离墙x(x1)m，离地面高a(1a2)m的C处观赏该壁画，设观赏视角ACB. (1)若a1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？(2)若tan ，当a变化时，求x的取值范围.解(1) 当a1.5时，过C作AB的垂线，垂足为D，则BD0.5，且ACDBCD，由已知观察者离墙x m，且x1，则tanBCD，tanACD，所以tan tan(ACDBCD)，当且仅当x1时取等号.又tan 在上单调递增，所以当观察者离墙 m时，视角最大.(2)由题意得tanBCD，tanACD，又tan