第1章引言题解1 用定义验证下列各集合是凸集 1 SX1Word文档下载推荐.docx
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x
(1)+(1-λ)
x
(2)=λ
Aρ1
+(1-λ)Aρ2
=A
[λρ1+(1-λ)ρ2].由于C是凸集,必有λρ1+(1-λ)ρ2
∈C,因此λx
(1)+(1-λ)
x
(2)∈S,故S是凸集.
3.证明下列集合S是凸集:
S={x|x=Ay,y≥0},
其中A是n×
m矩阵,x∈Rn,y∈Rm.
证对任意的x
(1),x
(2)∈S及每个数λ∈[0,1],
存在y1,y2≥0,使x
(1)=Ay1,x
(2)=Ay2,因此有λx
(1)+(1-λ)x
(2)=
A
[λy1+(1-λ)y2],而
λy1+(1-λ)y2≥0,故
λx
(1)+
(1-λ)
x
(2)
∈S,即S是凸集.
4.设S是Rn中一个非空凸集.证明对每一个整数k≥2,若x
(1),x
(2),…,x(k)∈
S,则
∑ki=1λix(i)∈S,
其中λ1+λ2+…+λk=1(λi≥0,i=1,2,…,k).
证
用数学归纳法.当k=2时,由凸集的定义知上式显然成立.设k=m时结论成立,当k=m+1时,有
∑m+1i=1λi
x(i)=
∑mi=1λi
x(i)+
λm+1x(m+1)
=∑mi=1λi
∑mi=1
λi∑mi=1λi
λm+1x(m+1),
其中∑m+1i=1λi=1.根据归纳法假设,
x^=
x(i)
∈S.
由于∑mi=1
λi+λm+1=1,因此∑mi=1λix^+λm+1
x(m+1)∈S,即
∑m+1i=1λix(i)∈S.于是当k=m+1时结论也成立.从而得证.
5.设A是m×
n矩阵,B是l×
n矩阵,c∈Rn,证明下列两个系统恰有一个有解:
系统1Ax≤0,Bx=0,cTx>0,对某些x∈Rn.
系统2ATy+BTz=c,y≥0,对某些y∈Rm和z∈Rl.
证由于Bx=0等价于
Bx≤0,
Bx≥0.
因此系统1有解,即
B
-B
x≤0,cTx>0有解.
根据Farkas定理,得
(ATBT-BT)
y
u
v
=
c,
≥0
无解.记u-v=z,即得
ATy+
BTz=c,y≥0
无解.反之亦然.
6.设A是m×
n矩阵,c∈Rn,则下列两个系统恰有一个有解:
系统1Ax≤0,x≥0,cTx>0,对某些x∈Rn.
系统2ATy≥c,y≥0,对某些y∈Rm.
证若系统1有解,即
-I
x
≤0,cTx>0
有解,则根据Farkas定理,有
(AT-I)
=c,
无解,即ATy-u=c,y≥0,u≥0无解,亦即
ATy
≥c,y≥0
无解.
反之,若
≥c,y≥0有解,即
-u=c,
y≥0,u≥0
有解,亦即
有解.根据Farkas定理,有
无解,即
Ax≤0,x≥0,cTx>0
7.证明Ax≤0,cTx>0有解.其中
A=1-21
-111,c=2
1
0.
证根据Farkas定理,只需证明
ATy=c,y≥0
无解.事实上,ATy=c,即
1-1
-21
11
y1
y2
2
对此线性方程组的增广矩阵做初等行变换:
1-12
-211
110
0-15
02-2
01-5
008
此线性方程组ATy=c的系数矩阵与增广矩阵的秩不等,因此无解,即ATy=c,y≥0无解.根据Farkas定理,Ax
≤0,cTx>0有解.
8.证明下列不等式组无解:
x1+3x2<0,
3x1-x2<0,
17x1+11x2>0.
证将不等式组写作
Ax
<0,其中A=
13
3-1
-17-11
根据Gordan定理,只需证明ATy=0,y≥0,y≠0有解.对系数矩阵AT做初等行变换:
13-17
3-1-11
0-1040
10-5
01-4
ATy=0
的同解线性方程组为
y1=5y3,
y2=4y3,y3任意.
显然ATy=0,y≥0,y≠0有解.根据Gordan定理,原来的不等式组无解.
9.判别下列函数是否为凸函数:
(1)f(x1,x2)=x21-2x1x2+x22+x1+x2;
(2)f(x1,x2)=x21-4x1x2+x22+x1+x2;
(3)f(x1,x2)=(x1-x2)2+4x1x2+ex1+x2;
(4)f(x1,x2)=x1e-(x1+x2);
(5)f(x1,x2,x3)=x1x2+2x21+x22+2x23-6x1x3.
解
(1)2f(x)=
2-2
-22
为半正定矩阵,故f(x1,x2)是凸函数.
(2)2f(x)=
2-4
-42
为不定矩阵,故f(x1,x2)不是凸函数.
(3)fx1=2(x1-x2)+4x2+ex1+x2,
fx2=-2(x1-x2)+4x1+ex1+x2,
2fx21=
2+ex1+x2,
2fx1x2=
2fx2x1=
2fx22=
因此Hesse矩阵
2f(x)=
2+ex1+x22+ex1+x2
=(2+ex1+x2)
为半正定矩阵,因此f(x)是凸函数.
(4)fx1=e-(x1+x2)-x1e-(x1+x2)=(1-x1)
e-(x1+x2),fx2=-x1e-(x1+x2),
2fx21=(x1-2)e-(x1+x2)
2fx1x2=2fx2x1=(x1-1)e-(x1+x2)
2fx22=x1e-(x1+x2),
于是Hesse矩阵
e-(x1+x2)
x1-2x1-1
x1-1x1
为不定矩阵,故f(x)不是凸函数.
(5)f(x)的Hesse矩阵为
41-6
120
-604
做合同变换:
400
07432
032-5
070
00-447
由此可得2f(x)为不定矩阵,因此f(x)不是凸函数.
10.设f(x1,x2)=10-2(x2-x21)2,
S={(x1,x2)|-11≤x1≤1,-1≤x2≤1},
f(x1,x2)是否为S上的凸函数?
解fx1=8x1(x2-x21),fx2=-4(x2-x21),
2fx21=8(x2-3x21),2fx1x2=
2fx2x1=8x1,2fx22=-4,
函数f(x1,x2)的Hesse矩阵为
8(x2-3x21)8x1
8x1-4
易知2f(x)在集合S上不是半正定矩阵,如在点(0,1)处的Hesse矩阵是
80
0-4
,是不定矩阵.因此f(x1,x2)不是S上的凸函数.
11.证明f(x)=12xTAx+bTx为严格凸函数的充要条件是Hesse矩阵A正定.
证先证必要性.设f(x)=12xTAx+bTx是严格凸函数.根据定理1.4.14,对任意非零向量x及x-=0,必有
f(x)>f(0)+
f(0)Tx.
(1)
将f(x)在x-=0处展开,有
f(x)=f(0)+f(0)Tx
+12xT
2f(0)x+o(||x||2).
(2)
由
(1)式和
(2)式知
12xT
2f(0)x+o(||x||2)>0.
由于f(x)是二次凸函数,2f(0)=A,o(||x||2)=0,因此xTAx>0,即A正定.
再证充分性.设A正定,对任意两个不同点x和x-,根据中值定理,有
f(x)=f(x-)+
f(x-)T(x-x-)+12(x-x-)T2f(x^)(x-x-)
=f(x-)+
f(x-)T(x-x-)+12(x-x-)TA
(x-x-)
>f(x-)+f(x-)T(x-x-).
根据定理1.4.14,f(x)=12xTAx+bTx是严格凸函数.
12.设f是定义在Rn上的凸函数,x
(1),x
(2),…,x(k)是Rn中的点,λ1,λ2,…,λk是非负数,且满足λ1+λ2+…+λk=1,证明:
f(λ1x
(1)+λ2x
(2)+…+λkx(k))≤λ1f(x
(1))+λ2f(x
(2))+…+λkf(x(k)).
证用数学归纳法.当k=2时,根据凸函数的定义,必有
f(λ1x
(1)+
λ2x
(2))
≤
λ1f(x
(1))+
λ2f(x
(2)).
设k=m时不等式成立.当k=m+1时,有
λ2x
(2)+
…+λmx(m)+
λm+1x(m+1))
=f
∑
mi=1
λi
λ1∑
x
(1)
+
λ2∑
+…+
λm∑
x(m)
λm+1
x(m+1)
记
由于f(x)是凸函数,∑
mi=1λi+λm+1=1,λi≥0,根据凸函数定义,有
f
x^+λm+1x(m+1
)
f(x^)+λm+1
f(x(m+1)).
根据归纳法假设,有
f(x^)≤
f(x
(1))
f(x
(2))
f(x(m)).
代入上式,则有
λ2x
(2)+…+
λ2f(x
(2))+…+
λm+1f(x(m+1)),
即k=m+1时,不等式也成立.从而得证.
13.设f是Rn上的凸函数,证明:
如果f在某点x∈Rn处具有全局极大值,则对一切点x∈Rn,f(x)为常数.
证用反证法.设f(x)在点x-处具有全局极大值,且在点x
(1)处有f(x
(1))<f(x-).在过点x
(1)和x-的直线上任取一点x
(2),使得
x-
=λx
(1)+
(1-λ)x
(2),
λ∈(0,1).
分两种情形讨论:
(1)若f(x
(2))
f(x
(1)),由于f(x)是凸函数,必有
f(x-)
=f(λx
(1)+(1-λ)x
(2))
≤λf(x
(1))+
(1-λ)f(x
(2))
≤λf(x
(1))+(1-λ)f(x
(1))=f(x
(1)),矛盾.
(2)若f(x
(2))
>
<λf(x
(2))+(1-λ)f(x
(2))=f(x
(2)),矛盾.
综上,f(x)必为常数.
14.设f是定义在Rn上的函数,如果对每一点x∈Rn及正数t均有f(tx)=tf(x),则称f为正齐次函数.证明Rn上的正齐次函数f为凸函数的充要条件是,对任何x
(1),x
(2)∈Rn,有
f(x
(1)+x
(2))≤f(x
(1))+f(x
(2)).
先证必要性.设正齐次函数f(x)是凸函数,则对任意两点x
(1),x
(2)∈Rn,必有
f12x
(1)+12x
(2)
12f(x
(1))+
12f(x
(2)).
由于f(x)是正齐次函数,有
12f(x
(1)+
x
(2)).
代入前式得
x
(2))≤12f(x
(1))+
12f(x
(2)),
即
f(x
(1)+
x
(2))≤
f(x
(1))+
f(x
(2)).
再证充分性.设正齐次函数f(x)对任意的
x
(1),x
(2)∈Rn满足
f(x
(2)),
则对任意的x
(1),x
(2)∈Rn及每个数λ∈(0,1),必有
f(λx
(1)+(1-λ)x
(2))≤f(λx
(1))+
f((1-λ)x
(2))
=λf(x
(1))+(1-λ)f(x
(2)).
因此f(x)是Rn上的凸函数.
15.设S是Rn中非空凸集,f是定义在S上的实函数.若对任意的x
(1),x
(2)∈S及每一个数λ∈(0,1),均有
f(λx
(1)+(1-λ)x
(2))≤max{f(x
(1)),f(x
(2))},
则称f为拟凸函数.
试证明:
若f(x)是凸集S上的拟凸函数,x-是f(x)在S上的严格局部极小点,则x-也是f(x)在S上的严格全局极小点.
证用反证法.设x-是严格局部极小点,即存在x-的δ邻域Nδ(x-),对于每个x∈S∩Nδ(x-)且x≠x-,有f(x)>f(x-),但x-不是严格全局极小点,即存在点x^∈S,x^≠x-,使得
f(x-).
由于f(x)是凸集S上的拟凸函数,对每个λ∈(0,1)有
f(λx^+(1-λ)x-)≤
对充分小的λ,λx^+(1-λ)x-∈S∩Nδ(x-),这与x-是严格局部极小点相矛盾.因此,x-也是严格全局极小点.
16.设S是Rn中一个非空开凸集,f是定义在S上的可微实函数.如果对任意两点x
(1),x
(2)∈S,有(x
(1)-x
(2))Tf(x
(2))≥0蕴含f(x
(1))≥f(x
(2)),则称f(x)是伪凸函数.
若f(x)是开凸集S上的伪凸函数,且对某个x-∈S有f(x-)=0,则x-是f(x)在S上的全局极小点.
证设存在x-∈S使得f(x-)=0.由于f(x)是开凸集S上的伪凸函数,按伪凸函数的定义,对任意的x∈S,(x-x-)Tf(x-)=0蕴含f(x)≥f(x-),因此x-是f(x)在S上的全局极小点.
第2章线性规划的基本性质题解
1.用图解法解下列线性规划问题:
(1)min5x1-6x2
s.t.x1+2x2≤10,
2x1-x2≤5,
x1-4x2≤4,
x1,x2≥0.
(2)min-x1+x2
s.t.3x1-7x2≥8,
x1-x2≤5,
(3)min13x1+5x2
s.t.7x1+3x2≥19,
10x1+2x2≤11,
(4)max-20x1+10x2
s.t.x1+x2≥10,
-10x1+x2≤10,
-5x1+5x2≤25,
x1+4x2≥20,
(5)min-3x1-2x2
s.t.3x1+2x2≤6,
x1-2x2≤1,
x1+x2≥1,
-x1+2x2≤1,
(6)max5x1+4x2
s.t.-2x1+x2≥-4,
x1+2x2≤6,
5x1+3x2≤15,
(7)max3x1+x2
s.t.x1-x2≥0,
x1+x2≤5,
6x1+2x2≤21,