1、x(1)+(1-)x(2)=A1+(1-)A2=A1+(1-)2.由于C是凸集,必有1+(1-)2C,因此x(1)+(1-)x(2)S,故S是凸集.3. 证明下列集合S是凸集:S=x|x=Ay,y0,其中A是nm矩阵,xRn,yRm.证对任意的x(1),x(2)S及每个数0,1,存在y1,y20,使x(1)=Ay1,x(2)=Ay2,因此有x(1)+(1-)x(2)=Ay1+(1-)y2,而y1+(1-)y20,故x(1)+(1-)x(2)S,即S是凸集.4. 设S是Rn中一个非空凸集.证明对每一个整数k2,若x(1),x(2),,x(k)S,则ki=1ix(i)S,其中1+2+k=1(i0,
2、i=1,2,,k).证用数学归纳法.当k=2时,由凸集的定义知上式显然成立.设k=m时结论成立,当k=m+1时,有m+1i=1ix(i)=mi=1ix(i)+m+1x(m+1)=mi=1imi=1imi=1im+1x(m+1),其中m+1i=1i=1.根据归纳法假设,x=x(i)S.由于mi=1i+m+1=1,因此mi=1ix+m+1x(m+1)S,即m+1i=1ix(i)S.于是当k=m+1时结论也成立.从而得证.5. 设A是mn矩阵,B是ln矩阵,cRn,证明下列两个系统恰有一个有解:系统1Ax0,Bx=0,cTx0,对某些xRn.系统2ATy+BTz=c,y0,对某些yRm和zRl.证由
3、于Bx=0等价于Bx0,Bx0.因此系统1有解,即B-Bx0,cTx0有解.根据Farkas定理,得(ATBT -BT )yuv=c,0无解.记u-v=z,即得ATy+BTz=c,y0无解.反之亦然.6. 设A是mn矩阵,cRn,则下列两个系统恰有一个有解:系统1Ax0,x0,cTx0,对某些xRn.系统2ATyc,y0,对某些yRm.证若系统1有解,即-Ix0,cTx0有解,则根据Farkas定理,有(AT -I)=c,无解,即ATy-u=c,y0,u0无解,亦即ATyc,y0无解.反之,若c,y0有解,即-u=c,y0, u0有解,亦即有解.根据Farkas定理,有无解,即Ax0,x0,c
4、Tx07. 证明Ax0,cTx0有解.其中A=1-21-111,c=210.证根据Farkas定理,只需证明ATy=c,y0无解.事实上,ATy=c, 即1-1-2111y1y22对此线性方程组的增广矩阵做初等行变换:1-12-2111100-1502-201-5008此线性方程组ATy=c的系数矩阵与增广矩阵的秩不等,因此无解,即ATy=c,y0无解.根据Farkas定理,Ax0,cTx0有解.8. 证明下列不等式组无解:x1+3x20,3x1-x20,17x1+11x20.证将不等式组写作Ax0,其中A=133-1-17-11根据Gordan定理,只需证明ATy=0,y0,y0有解.对系数
5、矩阵AT做初等行变换:13-173-1-110-104010-501-4ATy=0的同解线性方程组为y1=5y3,y2=4y3,y3任意.显然ATy=0,y0,y0有解.根据Gordan定理,原来的不等式组无解.9. 判别下列函数是否为凸函数:(1) f(x1,x2)=x21-2x1x2+x22+x1+x2;(2) f(x1,x2)=x21-4x1x2+x22+x1+x2;(3) f(x1,x2)=(x1-x2)2+4x1x2+ex1+x2;(4) f(x1,x2)=x1e-(x1+x2);(5) f(x1,x2,x3)=x1x2+2x21+x22+2x23-6x1x3.解(1) 2f(x)=
6、2-2-22为半正定矩阵,故f(x1,x2)是凸函数.(2) 2f(x)=2-4-42为不定矩阵,故f(x1,x2)不是凸函数.(3) fx1=2(x1-x2)+4x2+ex1+x2,fx2=-2(x1-x2)+4x1+ex1+x2,2fx21=2+ex1+x2,2fx1x2=2fx2x1=2fx22=因此Hesse矩阵2f(x)=2+ex1+x22+ex1+x2=(2+ex1+x2)为半正定矩阵,因此f(x)是凸函数.(4) fx1=e-(x1+x2)-x1e-(x1+x2)=(1-x1)e-(x1+x2),fx2=-x1e-(x1+x2),2fx21=(x1-2)e-(x1+x2),2fx
7、1x2=2fx2x1=(x1-1)e-(x1+x2)2fx22=x1e-(x1+x2),于是Hesse矩阵e-(x1+x2)x1-2x1-1x1-1x1为不定矩阵,故f(x)不是凸函数.(5) f(x)的Hesse矩阵为41-6120-604做合同变换:40007432032-507000-447由此可得2f(x)为不定矩阵,因此f(x)不是凸函数.10. 设f(x1,x2)=10-2(x2-x21)2,S=(x1,x2)|-11x11,-1x21,f(x1,x2)是否为S上的凸函数?解fx1=8x1(x2-x21),fx2=-4(x2-x21),2fx21=8(x2-3x21),2fx1x2
8、=2fx2x1=8x1,2fx22=-4,函数f(x1,x2)的Hesse矩阵为8(x2-3x21)8x18x1-4易知2f(x)在集合S上不是半正定矩阵,如在点(0,1)处的Hesse矩阵是800-4,是不定矩阵.因此f(x1,x2)不是S上的凸函数.11. 证明f(x)=12xTAx+bTx为严格凸函数的充要条件是Hesse矩阵A正定.证先证必要性.设f(x)=12xTAx+bTx是严格凸函数.根据定理1.4.14,对任意非零向量x及x-=0,必有f(x)f(0)+f(0)Tx.(1)将f(x)在x-=0处展开,有f(x)=f(0)+f(0)Tx+12xT2f(0)x+o(|x|2).(2
9、)由(1)式和(2)式知12xT2f(0)x+o(|x|2)0.由于f(x)是二次凸函数,2f(0)=A,o(|x|2)=0,因此xTAx0,即A正定.再证充分性.设A正定,对任意两个不同点x和x-,根据中值定理,有f(x)=f(x-)+f(x-)T(x-x-)+12(x-x-)T2f(x)(x-x-)=f(x-)+f(x-)T(x-x-)+12(x-x-)TA(x-x-)f(x-)+f(x-)T(x-x-).根据定理1.4.14,f(x)=12xTAx+bTx是严格凸函数.12. 设f是定义在Rn上的凸函数,x(1),x(2),x(k)是Rn中的点,1,2,k是非负数,且满足1+2+k=1,
10、证明:f(1x(1)+2x(2)+kx(k)1f(x(1)+2f(x(2)+kf(x(k).证用数学归纳法.当k=2时,根据凸函数的定义,必有f(1x(1)+2x(2)1f(x(1)+2f(x(2).设k=m时不等式成立.当k=m+1时,有2x(2)+mx(m)+m+1x(m+1)=fmi=1i1x(1)+2+mx(m)m+1x(m+1)记由于f(x)是凸函数,mi=1i+m+1=1,i0,根据凸函数定义,有fx+m+1x(m+1)f(x)+m+1f(x(m+1).根据归纳法假设,有f(x)f(x(1)f(x(2)f(x(m).代入上式,则有2x(2)+2f(x(2)+m+1f(x(m+1),
11、即k=m+1时,不等式也成立.从而得证.13. 设f是Rn上的凸函数,证明: 如果f在某点xRn处具有全局极大值,则对一切点xRn,f(x)为常数.证用反证法.设f(x)在点x-处具有全局极大值,且在点x(1)处有f(x(1)f(x-).在过点x(1)和x-的直线上任取一点x(2),使得x-=x(1)+(1-)x(2),(0,1).分两种情形讨论:(1) 若f(x(2)f(x(1),由于f(x)是凸函数,必有f(x-)=f(x(1)+(1-)x(2)f(x(1)+(1-)f(x(2)f(x(1)+(1-)f(x(1)=f(x(1),矛盾.(2) 若f(x(2)f(x(2)+(1-)f(x(2)
12、=f(x(2),矛盾.综上,f(x)必为常数.14. 设f是定义在Rn上的函数,如果对每一点xRn及正数t均有f(tx)=tf(x),则称f为正齐次函数.证明Rn上的正齐次函数f为凸函数的充要条件是,对任何x(1),x(2)Rn,有f(x(1)+x(2)f(x(1)+f(x(2).先证必要性.设正齐次函数f(x)是凸函数,则对任意两点x(1),x(2)Rn,必有f12x(1)+12x(2)12f(x(1)+12f(x(2).由于f(x)是正齐次函数,有12f(x(1)+x(2).代入前式得x(2)12f(x(1)+12f(x(2),即f(x(1)+x(2)f(x(1)+f(x(2).再证充分性
13、.设正齐次函数f(x)对任意的x(1),x(2)Rn满足f(x(2),则对任意的x(1),x(2)Rn及每个数(0,1),必有f(x(1)+(1-)x(2)f(x(1)+f(1-)x(2)=f(x(1)+(1-)f(x(2).因此f(x)是Rn上的凸函数.15. 设S是Rn中非空凸集,f是定义在S上的实函数.若对任意的x(1),x(2)S及每一个数(0,1),均有f(x(1)+(1-)x(2)maxf(x(1),f(x(2),则称f为拟凸函数.试证明: 若f(x)是凸集S上的拟凸函数,x-是f(x)在S上的严格局部极小点,则x-也是f(x)在S上的严格全局极小点.证用反证法.设x-是严格局部极
14、小点,即存在x-的邻域N(x-),对于每个xSN(x-)且xx-,有f(x)f(x-),但x-不是严格全局极小点,即存在点xS,xx-,使得f(x-).由于f(x)是凸集S上的拟凸函数,对每个(0,1)有f(x+(1-)x-)对充分小的,x+(1-)x-SN(x-),这与x-是严格局部极小点相矛盾.因此,x-也是严格全局极小点.16. 设S是Rn中一个非空开凸集,f是定义在S上的可微实函数.如果对任意两点x(1),x(2)S,有(x(1)-x(2)Tf(x(2)0蕴含f(x(1)f(x(2),则称f(x)是伪凸函数. 若f(x)是开凸集S上的伪凸函数,且对某个x-S有f(x-)=0,则x-是f
15、(x)在S上的全局极小点.证设存在x-S使得f(x-)=0.由于f(x)是开凸集S上的伪凸函数,按伪凸函数的定义,对任意的xS,(x-x-)Tf(x-)=0蕴含f(x)f(x-),因此x-是f(x)在S上的全局极小点.第2章线性规划的基本性质题解1. 用图解法解下列线性规划问题:(1) min5x1-6x2s.t.x1+2x210,2x1-x25,x1-4x24,x1,x20.(2) min-x1+x2s.t.3x1-7x28,x1-x25,(3) min13x1+5x2s.t.7x1+3x219,10x1+2x211,(4) max-20x1+10x2s.t.x1+x210,-10x1+x210,-5x1+5x225,x1+4x220,(5) min-3x1-2x2s.t.3x1+2x26,x1-2x21,x1+x21,-x1+2x21,(6) max5x1+4x2s.t.-2x1+x2-4,x1+2x26,5x1+3x215,(7) max3x1+x2s.t.x1-x20,x1+x25,6x1+2x221,
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