完整word版全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导第十二讲联赛训练之直线圆圆锥曲线平面向量Word文件下载.docx
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与
「个疋点和一条疋
和等于常数
差的绝对值等于常数
直线的距离相等
2x
.21
y_-
2y
2px
~2
标准方程
a
b
（或x
2py）
22
（或一
-乙1）
21力
（或—
-丄1）
2.21/
x
acos
asec
2pt2
参数方程
y
bsin
btan
2pt
（或
）
c丄2）
焦占
八'
、八\、
（
c,0）或（0,c）
（c
0）或（0,c）
（号,0）
或（0,_P）
正数a,b,c,
p的关系
2c
（a
2,2
ab
b0）
0,b0）
离心率
c,
e
1
准线
ta
a2a2
卫（或y卫）
_（或y—）
-（或y—）
cc
渐近线
bb
■
-x（或x-y）
aa
PF-|aex
PF-
PF
x卫
x。
IPF2Iaex
PF2
ex^a
y°
号）
焦半径
aey0
ey°
a,
PF2Iaey。
|PF2
（点P
ey。
a）,
在左或下支）
统一定义
到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值
的点的集合
（注:
焦点要与对应准线配对使用）
二，解题思想与方法导引•
1,函数与方程思想2,数形结合思想.3,分类讨论思想.4,参数法.5,整体处理
三，习题导引
选择题
xyxyl
1,在平面直角坐标系中，方程1（a,b为相异正数）,所表示的曲线是
2a2b
A,三角形B,正方形C,非正方形的长方形D,非正方形的菱形
一54
2,平面上整点（坐标为整数的点）到直线yx的距离中的最小值是
35
.343411
A,B,C,D,—;
170852030
20
3,过抛物线y8（x2）的焦点F作倾斜角为60的直线，若此直线与抛物线交于A,B
两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点,则线段PF的长等于
16816门o-
A,B,C,\3D,8.3
333
4,若椭圆——1上一点P到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍，则P点坐标为
3620
A,（3^.15）B,（3,一15）C,（3,.15）D,（3,.15）
5,过椭圆笃占1（ab0）中心的弦AB,F（c,0）是右焦点，则AFB的最大面积为
A,bc
B,ab
C,ac
D,b2
6,已知P为双曲线1上的任意
1占
八、、
F1,
F2为焦点,若F1PF2
，则Sf.,pf2
A,b2cot—
B,—absin
C,
b2a2
tan-
D,（a2b2）sin
二>
填空题
7,给定点P（2,
3）,Q（3,2）,已知直线ax
0与线段PQ（包括P,Q在内）有公共点
则a的取值范围是
8,过定点F（a,0）（a0）作直线l交y轴于Q点，过Q点作QTFQ交x轴于T点,
xy
9,已知椭圆—21（ab0）与直线xy1交于M,N两点，且OMON,（O为
MN，且MN是MF1和MF2的等比中项则MN的值等于
11,已知点A为双曲线xy1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，ABC是
等边三角形，则ABC的面积等于.
2222
12,若椭圆——1（mn0）和双曲线——1（a0,b0）有相同的焦点
mnab
F2,P为两条曲线的一个交点，则PFj|PF2的值为
三>
解答题
PAB,射线OP与x轴正向成一角，直线AP,BP的斜率
3
适合条件kAPkBP0.
（1）,求证:
过A,B的直线的斜率k是定值；
（2）,求PAB面积的最大值.
14,已知AOB（为常数且0—）,动点P,Q分别在射线OA,OB上使得POQ
的面积恒为36•设POQ的重心为G,点M在射线OG上,且满足OM—OG.
（1）,求OG的最小值;
（2）,求动点M的轨迹方程.
15,过抛物线y2px（p为不等于2的素数）的焦点F,作与x轴不垂直的直线l交抛物线
于M,N两点，线段MN的垂直平分线交MN于P点，交x轴于Q点.
（1）,求PQ中点R的轨迹L的方程；
（2）,证明：
L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数四，解题导引
1,D令yx,得yxa,令yx得xyb,由此可见，曲线必过四个点：
（a,a）,
（a,a）,（b,b）,（b,b）,从结构特征看，方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形，易知
它是非正方形的菱形.
即PF=I6
彳b2
1m
£
2亠
321
—
12
—,得
_有
-a（2-
2a
2,解得2a6
延长NM与椭圆——1的右准线I:
x
1612
8相交于D,设M（x,y）,则
V3寸322一
过A（1,0）点，故方程为yx，代入双曲线方程xy1,得点B的坐标为
33
（2,.3），同理可得C的坐标为（2,.3）,所以ABC的面积为[2
（1）]-、333.
12,ma不妨设P为第一象限的一点，则PF1PF22/m,PF1PF22xl~a,.得
PFi7a斥，PF2VmVa,于是PRPF2ma.
13,:
（1）证明：
易知直线OP的方程为y、,3x,将此方程代入3x2y26,可求得交点
P（1,J3）•由题意可设直线PA,PB的方程分别为
.3k（x1）和y
3k（x1）,
分别与椭圆方程联立，可求得A,B的横坐标分别为
Xa
k223k3
Xb
k22、,3k3
从而yA
k（2®
6）3y
—3,yB
k（2、3k
6
3k2
所以kAB
YbYa
XbXa
12k3k2
3k24：
3k
.3（定值）.
⑵不妨设直线AB的方程为y、.3x
b，与椭圆方程联立，并消去y得6x2
2、、3bx+
（b6）0，有AB
（XaXb）（YaYb）4（XaXb）4[（Xa
Xb）2
4XaXb]
22242
=4[（亍）3（b6）]-b16
点P到战线AB的距离d
「所以S2pab1E
244
（16
-b2）=
222
轨12b2）右[巳3]23,当且仅当b212b2,即b
、、6时,
（SPAB）max'
、3•
14,解
（1）,以0为原点，AOB的平分线为x轴建立直角坐标系，则可设
P（acos—,asin）
Q（bcos，,
OG
2Xg2
bsin3）.
J
（acos—32
l（asin32
診2b2）
是OPQ的重心G（Xg,Yg）的坐标为
Xg
Yg
2ababcos
99
又已知SOPQ
bcos0）
bsin0）
-ab（cos2-
92
4abcos.
〔absin36,得ab竺
sin
（ab）cos,
32
（ab）sin
sin2—）=」（a2b2）-abcos
299
4722
cos
9sin2
x2
36cot-
16cot-4
cos—
36tan—
15,解:
（1）抛物线y
由
则X1
而PQ
代入
（2）,设M（x,y），则由OM
，代入ab
丄,b
sincos—
，故OGmin
b）cos-0,y詁=扣b）
72
并整理得
1（x0）,这就是所求动点M的轨迹方程.
2px的焦点为
p得k2x2（pk2
k（xf）
X2
叭空，得XP
k
Xi
（号,o）,设I的直线方程为yk（x-P）（k
122
2p）x;
pk
x2pk22p
22k2
I，故PQ的斜率为,PQ的方程为y
ya0得xq
pk22p
2k2
3pk22p
0）.
0，设M,N的横坐标分别为
-pk（气尹舟）
.设动点R的坐标（x,y）,则
2（XpxQ）
：
（ypya）
_p
k2
，因此p（xp_
2k
p2
p）24y（y0）,
故PQ中点R的轨迹L的方程为4y2
p（xp）（y0）.
（2）,显然对任意非零整数t，点（p（4t2
i）,pt）都是l上的整点，故l上有无穷多个整点.
反设L上有一个整点（x,y）到原点的距离为整数
m,不妨设x0,y0,m0,则
xym（i）
4yp（xp）（ii）
，因为p是奇素数汙是p
pm,令xpx1,ypy1,mpm1,则有
X1
4y12
y,从（ii）可推出px,再由（i）可推出
yi
（iii）
（iv）
由（iii）,（iv）得/2LJ厲2,于是（8x11）2（8g）217,即
4
（8x118m1）（8x118mi）17于是8x118mi17,8x118m11,
得x1mi1,故y0,有ypy10但L上的点满足y0,矛盾！
因此丄上任意点到原点的距离不为整数•
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