最新考研数学冲刺班高等数学讲义.docx
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最新考研数学冲刺班高等数学讲义
2011考研数学冲刺班高等数学讲义
2010考研数学冲刺班高等数学讲义
主讲：
汪诚义
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第一章函数、极限、连续
§1.1函数
一、有关四种性质（奇偶性、单调性、周期性、有界性）
1.«SkipRecordIf...»
口诀
（1）：
奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。
2.在（a,b）内，若«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»单调增加
若«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»单调减少
口诀
（2）：
单调增加与减少；先算导数正与负
例1求«SkipRecordIf...»
解«SkipRecordIf...»是奇函数，∵«SkipRecordIf...»是奇函数，
∵«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
因此«SkipRecordIf...»是奇函数。
于是«SkipRecordIf...»。
例2设«SkipRecordIf...»，则下列结论正确的是
（A）若«SkipRecordIf...»为奇函数，则«SkipRecordIf...»为偶函数。
（B）若«SkipRecordIf...»为偶函数，则«SkipRecordIf...»为奇函数。
（C）若«SkipRecordIf...»为周期函数，则«SkipRecordIf...»为周期函数。
（D）若«SkipRecordIf...»为单调函数，则«SkipRecordIf...»为单调函数。
解（B）不成立，反例«SkipRecordIf...»
（C）不成立，反例«SkipRecordIf...»
（D）不成立，反例«SkipRecordIf...»
（A）成立。
证明«SkipRecordIf...»为奇函数，
«SkipRecordIf...»
所以，«SkipRecordIf...»为偶函数。
例3设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»是恒大于零的可导函数，且«SkipRecordIf...»，则当«SkipRecordIf...»时，下列结论成立的是
（A）«SkipRecordIf...»（B）«SkipRecordIf...»
（C）«SkipRecordIf...»（D）«SkipRecordIf...»
解∵«SkipRecordIf...»，∴«SkipRecordIf...»单调减少
于是x二、有关复合函数
1.已知«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»求«SkipRecordIf...»
2.已知«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»
例1、已知«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»
求«SkipRecordIf...»
解：
«SkipRecordIf...»
例2、已知«SkipRecordIf...»，且«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»
解：
令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，因此
«SkipRecordIf...»
于是，«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
§1.2极限
一、有关无穷小量
1.有界变量乘无穷小（量）仍是无穷小（量）；
2.等价无穷小代换；
3.无穷小的阶的比较。
例1求«SkipRecordIf...»
解原式«SkipRecordIf...»
例2设当x→0时（1-cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比«SkipRecordIf...»高阶的无穷小，则正整数n等于
（A）1（B）2
（C）3（D）4
解：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
由题意可知，4>n+1>2，
∴n+1=3,n=2选（B）
例3设«SkipRecordIf...»，则当x→0时，«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的（）
（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小
（C）同阶但不等价的无穷小（D）等价无穷小
解«SkipRecordIf...»
选（C）
二、有关两个准则
准则1单调有界数列极限一定存在。
准则2夹逼定理。
例1设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，证明«SkipRecordIf...»存在，并求其值。
解∵«SkipRecordIf...»，∴«SkipRecordIf...»（几何平均值≤算术平均值）
用数学归纳法可知n>1时，«SkipRecordIf...»，∴«SkipRecordIf...»有界。
又当n>1时，«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
∴«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»单调增加。
根据准则1，«SkipRecordIf...»存在
把«SkipRecordIf...»两边取极限，得«SkipRecordIf...»（舍去）得«SkipRecordIf...»，
∴«SkipRecordIf...»。
口诀（3）：
递推数列求极限；单调有界要先证；
两边极限一起上；方程之中把值找。
例2求«SkipRecordIf...»。
解令«SkipRecordIf...»，
则0由夹逼定理可知«SkipRecordIf...»，于是原极限为0。
三、有关两个重要公式
公式1、«SkipRecordIf...»
公式2、«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
例1求«SkipRecordIf...»。
解当x=0时，原式=1
当x≠0时，原式=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»（∵«SkipRecordIf...»）
例2设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内可导，且«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，求c的值。
解«SkipRecordIf...»
则拉格朗日中值定理，有
«SkipRecordIf...»
其中ξ介于（x-1）与x之间，那么
«SkipRecordIf...»
于是，e2c=e,2c=1，则«SkipRecordIf...»
口诀（4）：
函数之差化导数；拉氏定理显神通。
四、用洛必达法则求极限
洛必达法则主要处理七种待定型极限：
“«SkipRecordIf...»”型，“«SkipRecordIf...»”型，“0·∞”型，“∞-∞”型，
“1∞”型，“00”型和“∞0”型
口诀（5）：
待定极限七类型，分层处理洛必达。
第一层次：
直接用洛必达法则
“«SkipRecordIf...»”型用洛必达法则Ⅰ
“«SkipRecordIf...»”型用洛必达法则Ⅱ
第二层次：
间接用洛必达法则
“0·∞”型例«SkipRecordIf...»变为“«SkipRecordIf...»”型
“∞-∞”型例«SkipRecordIf...»变为“«SkipRecordIf...»”型
第三层次：
间接再间接用洛必达法则
“1∞”型，“00”型，“∞0”型均为«SkipRecordIf...»形式
而«SkipRecordIf...»称为冪指函数，比较复杂。
口诀（6）：
冪指函数最复杂；指数、对数一起上。
«SkipRecordIf...»
而上面三种类型化为«SkipRecordIf...»
这时«SkipRecordIf...»一定是“0·∞”型
再用第二层次的方法处理即可
例«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
例1求«SkipRecordIf...»。
解原式=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
例2设函数«SkipRecordIf...»连续，且«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»
解原式=«SkipRecordIf...»（分母令«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»（用积分中值定理）
=«SkipRecordIf...»（ξ在0和x之间）
=«SkipRecordIf...».
口诀（7）：
变限积分是函数；遇到之后先求导。
公式：
«SkipRecordIf...»（当«SkipRecordIf...»连续时）
例3高a>0,b>0常数，求«SkipRecordIf...»
解先考虑«SkipRecordIf...»它是“«SkipRecordIf...»”型。
令«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
因此，«SkipRecordIf...»
于是，«SkipRecordIf...»。
口诀（8）离散数列“洛必达”；先要转化连续型。
五、求分段函数的极限
例求«SkipRecordIf...»。
解«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
∴«SkipRecordIf...»
口诀（9）：
分段函数分段点；左右运算要先行。
六用导数定义求极限
例设曲线«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»在原点相切，求«SkipRecordIf...»
解由题设可知«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»
于是«SkipRecordIf...»
七用定积分定义求极限
公式：
«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»连续）
例1求«SkipRecordIf...»。
分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑
«SkipRecordIf...»
而«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»
由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。
解«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
例2求«Ski
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